Matematika tarixi asoslari

§5. Geometriya darslarida tarixiy ilmiy merosning o`rni
Geometrik faktlarni hozirgi zamon faktlari bilan taqqoslash yoki tarixiy masalalar yechish geometriyaning har bir darsida to`g’ri kelavermaydi, ammo dars jarayonida tarixiy faktlarga tez-tez murojaat qilishga to`g’ri keladi. Ammo bularning hammasi o`quvchilarni o`rganilayotgan asosiy mavzudan chalg’itmasligi kerak. Tarixiy masalalardan darsning boshi yoki oxirida foydalangan ma’qul. Agar o`qituvchi dars rejasini bajarishiga ishonsa, unda dars davomida ham foydalansa bo`ladi.
O`quvchilardan hamma aytilgan tarixiy faktlar, ismlar va yillarni esda saqlashni talab etish shart emas. Darsda ular muammo yoki masalaning qisqacha tarixi bilan tanishishlari, biror kashfiyot ro`y bergan davrni esida tutishlari, kashfiyot qilgan matematikning ismi va familiyasini eshitishlari, agar bo`lsa, portretini ko`rishilari kifoya. Bu aytilganlarning hammasi bo`lmasa-da,bir qismi ularning esida qoladi va o`qituvchi o`qitadigan “ Fanning quruqligi” haqidagi da’vodan qutiladi, darsning esa anchagina qiziqarli bo`lishiga erishadi.
Geometriyaning kelib chiqishi. Geometriya dastlab, Qadimgi Misr va Bobilda shakllanib, keyinchalik Qadimgi Gretsiyada rivojlandi. Umuman geometriyaning paydo bo`lishi va rivojlanishi insoniyat taraqqiyoti bilan chambarchas bog’liqdir. Uning aynan yuksak sivilizatsiyaga ega bo`lgan davlatlarda shakllanishi va rivojlanishi ham fikrimizni tasdiqlaydi. Mashhur grek tarixchisi Gerodot (miloddan avvalgi V asr) geometriyaning paydo bo`lishi haqida bunday deydi: “ Misr shohi Stseotros har bir misirlikka qur’a bo`yicha yer maydoni ajratib berar va yer egasidan shu yerga mos soliq undirar edi. Agar Nil daryosi toshib biror kishining yerini yuvib ketsa, u shohga xabar berar va shoh tanobchilar yuborib, u kishining yeri qanchaga kamayganligini aniqlatar hamda unga mos ravishda soliqni ham kamaytirar edi. Geometriya mana shunday paydo bo`lgan va so`ngra Gretsiyaga o`tgan.”
Bu haqda grek olimlaridan Yevdem (miloddan avvalgi IV) bunday yozadi: “Geometriyani misrliklar kash etgach, u yer o`lchash natijasida vujudga kelgan. Bu o`lchashlar doim yerlarning chegarasini yuvib ketadigan Nil daryosining toshqinlari tufayli hosil bo`lgan. Bu fan ham boshqafanlar singari, kishilarning ehtiyoji tufayli hosil bo`lgan.”
Demak, geometriyani insoniyatning ehtiyoji vujudga keltirilgan, ya’ni ular to`g’ri chiziqlar o`tkazishlari, maydonlarning yuzini hisoblashlari, buyumlarning hajmini aniqlashlari zarur bo`lgan.
Qadimgi misirliklar bir necha yillar davomida asta-sekin turli sohalarda ilmy ma’lumotlar to`play boshlagan. Ular ba’zi bir figuralarning yuzlarini, ba’zi jismlarning hajmalarini juda aniq
hisoblay olar, ba’zi masalalarning yechish usullarini ham bilishar edi. Biroq, ularda geometriya hali fan sifatida mavjud emas edi. Ularda o`zaro bog’lanmagan,tartibsiz holdagi juda ko`p qoidalar mavjud bo`lgan.
Milloddan avvalgi VII asr o`rtalarida Kichik Osiyoning g’arbiy chegaralari yunonistonga qarar edi. Uning o`rta qismi loniya deb atalar va undan boshqa mamlakatlar bilan savdo-sotiq ishlarini olib boruvchi katta-katta shaharlar juda ko`p edi. Shunday shaharlardan biri Miletda Fales ( milloddan avvalgi 640-548 y.y) yashagan.U Misrga sayohat qilgan va u yerda turli fanlar bilan tanishgan. Falesni ko`proq geometriya qiziqtirgan. U loniya maktabining asoschisi hisoblanadi. Fales geometriyaga tegishli juda ko`p kashfiyotlar qilgan. Shuning uchun ham Fales fan tarixida birinchi geometric olim sifatida tan olinadi.
Misr va Yunoniston o`rtasida savdo-sotiq ishlari rivojlangan bo`lib, savdogarlar bilan birga yunon olimlari ham Misrga safar qilib turishganva misirliklarning turli fanlar sohasida erishgan yutuqlarini o`rganib o`rganish. Bilan chegaralanmasdan, ulardagi kamchiliklarni tuzatib, tartibga solib, nazariy jihatdan to`ldirib, yaxli holga keltirishdi. Natijada bundan taxminan 2500 yillar ilgari Yunonistonda geometriya fan sifatida shakllandi.
Miloddan avvalgi V asrda Gippokrat geometriyadan to`plangan barcha bilimlarni bitta kitobda sistemali ravishda bayon etib ko`rishga urinib ko`rdi. Uning bu asari bizgacha yetib kelmagan.
Miloddan oldingi III asrda Yevklid bu ishni muvaffaqiyatli amalga oshirdi va geometriyaning mustaqil matematik fan sifatida shakllanishiga ulkan va beqiyos hissa qo`shdi. U o`zining mashhur ‘Negizlar’ asarida boshlang’ich tushunchalar va asos sifatida ba’zi aksioma va postulatlarni aniqladi va ulardan mantiqiy yo`l bilan teoremalarni keltirib chiqardi.
V-VI sinflarda o`quvchilar geometriyaning ba’zi elementlari bilan tanishgan bo`lsalar, VII sinfda bu fanni sistemali ravishda o`rganishni boshlaydilar.
Geometriyaning eng sodda tushunchalari, son tushunchasi singari, kishilarning ehtiyoji tufayli vujudga kelgan. Dastlabki geometrik o`lchov birliklari inson tanasining biror a’zosi bilan bog’liq bo`lgan ( masalan, ‘qarich’, ‘qadam’, ‘tirsak’ va hokazo).
Mamlakatimiz hududida olib borilgan arxeologik qazish ishlari geometriyaning dastlabki rivojlanishi dehqonchilik, kulolchilik, tikuvchilik ishlari, qurilish va uning texnikasi bilan bog’liq ekanligini ko`rsatadi. Qazish paytida topilgan turli spool idishlar, ularga solingan turli-tuman figuralar qadimgi avlod va ajdodlarimiz geometriyadan ancha boxabar ekanligidan dalolat beradi. Ular o`z turar joylarini turli xil geometric figuralar – uchburchaklar, ko`pburchaklar va spirallar bilan bezaganliklarini ko`ramiz. O`sha bezaklarda figuralarning tengligi, o`xshashligi, simmetriyasi va hokazolar uchraydi. Albatta, qadimgi xalqlarda uchraydigan bunday shakllar bevosita tabiatdan olingan.
O`rta asrlarga kelib , Sharqda ilm-fan yuksak taraqqiyotga erishdi. Xususan geometriya fani ham yangi kashfiyotlar bilan boyitilib, rivojlana boshladi. Bunda albatta, O`rta Osiyodan yetishib chiqqan buyuk olimlarimizning xizmatlari juda kattadir. Al-Xorazmiy, Ahmad al-Farg’oniy, Abu Nasr Forobiy, Abu Ali ibn Sino, Abu Rayhon Beruniy, Abul Vafo Buzjoniy , G’iyosiddin Al-Koshiy, Mirzo Ulug’bek va boshqa olimlarning ilmiy merosi, hayot yo`llari haqida, jumladan geometriyaning rivojiga qo`shgan hissalari haqida o`quvchilarimiz zarur ma’lumotlarga ega bo`lishlari, bilishlari kerak. Bu haqda bilim berish, tushuntirish ma’naviy yetuk, bilimdon, buyuk ajdodlari bilan faxrlanuvchi va ularga munosib voris bo`lishga intilayotgan barkamol avlodni tarbiyalashda muhim ahamiyatga ega. Bugungi kunda yosh Beruniylar, Ibn Sinolar, Ulug’beklarning yetishib chiqishida o`qituvchilarimizning ma’suliyati juda katta bo`lishi kerak.
1.Geometriya
Geometriya- eng qadimgi matematik fanlardan biri. Biz geometriyaga taaluqli birinchi faktlarni Bobilning mixxatli jadvallaridan va misrliklarning papiruslaridan, shuningdek, boshqa manbalardan topamiz. ‘Geometriya’ fanining nomi qadimgi yunon tilidan olingan. U qadimgi 2 yunon so`zi (ge-‘yer’ va metreo-‘o`lchayman’) –dan olingan.
Geometrik bilimlarning vujudga kelishi odamlarning amaliy faoliyati bilan bog’liq. Bu ko`pgina geometrik figuralarning nomlarida o`z aksini topgan. Masalan trapetsiyaning nomi trareziop-so`zidan olingan va ‘stolcha’ ni bildiradi. ‘Liniya’-‘chiziq’ atamasi lotincha linit-‘ziqir, zig’ir ip’ so`zidan hosil bo`lgan.
Qadimdanoq, geometriya aksiomalar sistemasiga asosan tuzilgan qat’iy mantiqiy dediktiv fanga aylangan. U uzluksiz rivojlangan, yangi teoremalar, g’oyalar va metodlar bilan boyib brogan. Geometrlarning qiziqishlari va ilmiy tadqiqotlarning yo`nalishlari vaqti-vaqti bilan o`zgarib turgan. Shu sababli hozirgi geometriyaning predmeti, mazmuni hamda metodlarini qamrab oluvchi aniq ta’rifini berish qiyin.
Eramizdan avvalgi IIasrda qadimgi yunon olimi Yevklid ‘Negizlar’ nomli asar yozdi. Yevklid bu kitobida shu davrgacha to`plangan geometric bilimlarni jamladi va bu fanning tugallangan aksiomatik bayonini berishga harakat qildi. Yevklid kitobida puxta o`ylanib, chuqur mantiqiylik bilan bayon etilgan geometriya matematiklarni, Yevklid geometriyasidan boshqacha geometriya mavjud bo`lmaydi degan fikrga olib keldi.
XIX asrdagina, 1-navbatda rus matematigi N.I.Lobachevskiyning ishlari tufayli , Yevklid geometriyasi mumkin bo`lgan yagona geometriya emasligi aniqlandi. Bizning mumkin bo`lgan geometric fazolar haqidagi tasavvurlarimizning kengayishida XIX asrda yashagan nemis matematigi B.Rimanning ayniqsa xizmatlari katta. U cheksiz ko`p geometriyalar qurish usulini kashf etdi.
Geometriyaning hozirgi zamon fizikasi bilan bog’lanishini kuzatish g’oyat qiziqarli. Ko`pincha, matematikani biyitadigan yangi tushunchalar, metodlar fizika hamda kimyo va tabiatshunoslikning boshqa bo`limlaridan keladi. Mexanikadan matematikaga kelgan vector tushunchasi bunga tipik misol bo`la oladi. Xususan, Lobachevskiy geometriyasi maxsus nisbiylik nazariyasiga tatbiq etildi va bu fanning nazariy asosiga aylandi, Riman geometriyasi esa Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasining asosi bo`lib xizmat qildi.
A.Eynshteynning o`z nazariyasini yaratayotganida nemis matematigi D.Hilbert hamkorligi, uning g’oyalarining ta’siri ko`zga tashlanadi. Riman geometriyasi elastiklik nazariyasi , fizika va texnikaning boshqa bo`limlarida ham muhim tadbiqqa ega.
2.Aylana va doira
Biz aylana va doiraning shaklini hamma joyda uchratamiz: bu mashinaning g’ildiragi, ufq chizig’i, oy gardishi. Matematiklar geometric figura- tekislikdagi doira bilan juda qadimdan shug’ullanishadi.
Tekislikning O nuqtasidan Rdan katta bo`lmagan masofagacha uzoqlashgan nuqtalardan iborat aylana bilan chegaralangan. O markazni aylananing nuqtalari bilan tutashtiruvchi kesmalar R uzunlikka ega va ular ham doiraning, ham aylananing radiuslari deb ataladi. Doiraning 2 radiusi bilan ajraladigan qismlari doiraviy sektorlar deb ataladi. Aylananing 2 nuqtasini tutashtiruvchi kesmalar vatar deyilib, u doirani 2 ta segmentga, aylanani esa 2 ta yoyga ajratadi.
Markazdan vatarga tushurilgan perpendikulyar vatarni va u tortib turgan yoyni 2 ga bo`ladi. Vatar qanchalik markazga yaqin joylashgan bo`lsa, shunchalik uzun bo`ladi; eng uzun vatarlar- markazdan o`tuvchi vatarlar. Ular doira va aylananing diametrlari deb ataladi.
Agar to`g’ri chiziq doira markazidan d masofada yotsa, d >R bo`lgan holda, to`g’ri chiziq doirani kesmaydi; dUrinma urinish nuqtasiga o`tkazilgan radiusga perpendikular bo`ladi Doiraga udan tashqarida yodgan nuqtadan ikkita urinma o`tkazish mumkin. bunda ularning berilgan nuqtadan urinish nuqtasigacha bo`lgan kesmalari teng. Aylananing yoylarini uning burchaklari singari graduslar va uning ulushlarida o`chash mumkin.
Butun aylananing 1:360 qisim gradus deb olinadi. Markaziy AOB burchak o`zi tiraladigan AB yoydagi graduslar soni bilan o`lchanadi, ichki chizilgan ACB burchak AB yoyning yarmi bilan o`lchanadi. Agar APB burchakning P uchi doyra ichida yodsa, u holda bu burchakning gradusi o`lchovi AB va A1B1 yoylar yig`indisining yarmida teng. P uchi doiradan tashqarida bo`lib,aylanadan AB va AB yoylar ayirmasining yarmi bilan o`lchanadi.Nihoyat, urinma bilan vatar orasidagi burchak ular orasidagi yoyning yarmiga teng.
Doira va aylana cheksin ko`b simmetriya o`qiga ega. Burchaklarini o`lchash va uchburchaklarning o`xshashligi haqidagi teoremalardan doiradagi proporsional kesmalar haqidagi teoremada, agar M nuqda doira ichida yotsa, u holda bu nuqda orqali o`tuvchi vatar kesmalari uzunliklarining ko`paytmasi MA o MB o`zgarmas bo`ladi deyiladi.
Qadim zamonlarda doir bilan bog`liq masalalar aylananing uzinligi yoki uning yoyining uzunligini topish ,doira yoki sektor va segmentlarning yuzasini hisoblash masalalarini yechishga urinishgan.Ulardan birinchisi sof “amaliy” yechimga ega: aylana bo`ylab ip qo`yib chiqish, keyin uni yoyib, chizqichga qo`yish, yoki aylanada nuqda belgilab, uni chizgich bo`yicha “dumalatish”(yoki aksincha, chizqichni aylana bo`ylab “dumalatish”) mumkin . Qanday qilmang, o`lchashlar aylana uzunligi L ning uning diametri d=2R ga nisbati hamma aylanalar uchun ayni bir son ekanini ko`rsatadi. Bu nisbatni yunon harfi π bilan belgilash qabul qilingan ( “pi”- yunoncha reritetrop so`zning bosh harfi, bu so`z “aylana”ni bildiradi). Biroq qadimgi yunon matematiklarini aylana uzunligini bunday empirik, tajriba yo`li bilan aniqlash qanoatlantirmagan: aylana-bu chiziq, ya`ni Yevklid ta`rifiga ko`ra “ensiz uzunlik”, unday ipning esa o`zi yo`q. Agar biz aylanani chizqich bo`yicha dumalatsak, “nega biz aylana uzunligini hosil qilamiz, boshqa biror bir kattalikni hosil qilmaymiz”-degan savol tug`iladi. Bundan tashqari, ana shunday usul doira yuzasini aniqlash imkonini bermagan.
3.Pifagor ( e. a. taxminan 570-500 y.)
Pifagor Samosskiy haqida yozma hujjatlar qolmagan, ancha keyingi ma’lumotlar bo`yicha esa uning hayoti va erishgan yutuqlari borasida haqiqiy manzarani tiklash qiyin. Pifagor Egey dengizining Kichik Osiyo sohilidagi o`zi tug’ilgan Samos orolini uning hukmdori zulmiga qarshi norozilik alomati sifatida tark etadi va yetuk yoshida Italiya janubidagi Kroton shahriga borib qoladi. Pifagor va uning izdoshlari Italiyadagi yunon koloniyalari hayotida katta rol o`ynagan yashirin ittifoq tuzadilar. Pifagorchilar bir-birlarini beshburchak yulduz- pentagramma bo`yicha tanishardi.
Pifagor ta’limiga Sharq falsafasi va dini katta ta’sir ko`rsatdi. U Sharq mamlakatlari bo`ylab ko`p sayohatda bo`ldi: Misr va Bobilda bo`ldi. U yerda Pifagor Sharq matematikasi bilan tanishdi. Matematika Pifagor ta’limotining bir qismi, ayni paytda muhim qismi bo`lib qoladi.
Pifagorchilar son qonuniyatlariga olamning sirlari yashiringaniga ishonardilar. Pifagorchi sonlar olami uchun alohida olam bilan yashardi. Sonlar o`z hayotiy mazmuniga ega edi. O`z bo`luvchilarining yig’indisiga teng sonlar mukammal sonlar deb qabul qilinardi (6, 28, 496, 8128,); biri ikkinchisining bo`luvchilari yig’indisiga teng sonlar juftini (masalan, 220 va 284) do`st sonlar deb atashardi. Pifagor birinchi bo`lib sonlarni juft va toq, tub va murakkab sonlarga ajratdi, figurali son tushunchasini kiritdi. Uning maktabida Pifagor sonlari deyiladigan natural sonlar uchliklari to`la qarab chiqilgan.
Ushbu iborani Pifagor aytgan deyishadi: ‘hamma narsa sondan iborat’. Pifagor butun olamni, xususan matematikani ham son tushunchasiga keltirmoqchi bo`lgan. Ammo Pifagor maktabining o`zidayoq bu garmoniyani buzuvchi kashfiyot ochildi. Ayrim sonlar ratsional son emasligi, ya’ni ratsional sonlar orqali ifodalanmasligi isbot qilindi. Tabiiyki, geometriya Pifagorda arifmetikada bo`ysundirilgan edi, bu hol, ayniqsa, Pifagor nomi bilan yuritiluvchi teoremada yorqin nomoyon bo`ldi. U keyinchalik sonli metodlarni geometriyaga qo`llash uchun asos bo`lib xizmat qildi. Aftidan pifagorchilar muntazam jismlar: tetraedr, kub va dodekaedrni bilishgan.
Geometriyada isbotlashlarni muntazam qo`llay boshlash, to`g’ri chiziqli figuralar planimetriyasini yaratish, o`xshashlik haqidagi ta’limotlar Pifagor nisbat beriladi. Arifmetik, geometrik va garmonik proporsiyalar, o`rta qiymatlar haqidagi ta’limotlarni ham Pifagor nomi bilan bog’lashadi. Shuni ta’kidlash kerakki, Pifagor Yerni quyosh atrofida harakatlanuvchi shar deb hisoblagan. XVI asrda cherkov Kopernik ta’limotini ayovsiz ta’qib ostiga ola boshlaganda bu ta’limotni qat’iy pifagorchilar ta’limoti deb, Pifagorni qoralamoqchi bo`lishgan.
4.Arximed (e. a. taxminan 287-212 y.)
Ulug’ matematik va mexanik Arximed haqida qadimgi boshqa olimlarga nisbatan ko`proq ma’lumot mavjud. Avvalo, uning vafot etgan yili ishonchli, chunki bu yil Sirakuza shahrining taslim bo`lgan yilidir, bunda olim Rim qo`shinining askari tomonidan o`ldiriladi. Ammo qadimgi tarixchilar- Plibiy, Liviy, Plutarx olimning matematikaga doir ishlari haqida juda kam hikoya qiladilar. Ularning asarlaridan bizgacha olim shoh Gieron II saroyida xizmat qilgan paytda yaratgan ajoyib kashfiyotlari haqidagi ma’lumotlargina yetib kelgan. Shohning oltin toji haqidagi voqea ma’lum: bu toj tarkibining sofligini Arximed o`zi kashf qilgan itaruvchi kuchlar qonuni yordamida tekshiradi: Shunda u qilgan xitob ‘Evrika’ ya’ni ‘Topdim’ so`zi ham mashhur. Boshqa bir afsonada Arximed qurgan bloklar sistemasi yordamida bir kishining yakka o`zi ‘Sirakosiya’ deb ataluvchi ulkan kemani suvga tushira olishi haqida hikoya qilinadi. O`sha vaqtda Arximed tomonidan aytilgan: ‘Menga tayanch nuqtasini bering va men Yerni aylantirib yuboraman’ degan so`zlar afsonaga aylanib borgan. Arximedning injenerlik dahosi Sitsiliya orolidagi boy savdo shahri Sirkuzaning qamal qilinishi vaqtida alohida qudrat bilan namoyon bo`ldi. Rim konsuli Marsellning qo`shinlari shahar devoir oldida ko`z ko`rmagan mashinalar bilan uzoq vaqt to`xtatib turildi: kuchli katapultalaryirik-yirik toshlarni mo`ljalga urar edilar, tuynuklarga sochma o`qlarni do`ldek yog’diruvchi mashinalar o`rnatilgan edi, qirg’oq yaqinida kranlar shahar devoridan tashqariga burilib, dushman kemalari ustiga tosh tashlashardi, ilgaklar bilan dushman kemalarini ko`tarib, ancha yuqoridan pastga tashlashardi, botiq ko`zgularni quyoshga tutib, kemalar yondirib yuborilardi. “Marsell tarixi’ asarida Plutarx Rim harbiylari qal’a devoir orqasidan arqon yoki xoda ko`rinishi bilan Arximed bizlarni o`ldirmoq uchun yana yangi mashina o`ylab topibdi, deb ayuxannos solib qochardilar’.
Arximedning matematika rivojiga qo`shgan hissasi g’oyat ulkan. Aylanayotgan doira bo`ylab harakatlanuvchi nuqta tomonidan chiziladigan chiziq- Arximed spirali uning zamondoshlariga ma’lum bo`lgan ko`p sondagi egri chiziqlar orasida alohida ajralib turadi. Undan keyin kinematic usulda aniqlangan egri chiziq- sikloida XVII asrdagina paydo bo`ldi. Arximed o`z spiraliga urinma o`tkazish yo`lini o`ylab topdi, spiralining bir o`rami chegaralangan yuzani hisobladi, shuningdek ellips yuzini, konus va shar sirtini, shar va sferik segmentning hajmini topdi. U ayniqsa shar hajmi bilan shu sharga tashqi chizilgan silindr hajmi orasidagi nisbatni topganligi bilan g’ururlanardi.
Arximed doira kvadraturasi muammosi bilan ko`p shug’ullangan. Olim aylana uzunligining shu aylana diametriga nisbatini hisoblagan va u 3 bilan 3 sonlari orasida ekanini topgan. U yaratgan aylana uzunligi va figura yuzasini hisoblash metodi 200 y. o`tganidan keyin paydo bo`lgan differinsial va integral hisobning yaratilishiga muhim qadam bo`ldi. Arximed, shuningdek maxraji ¼ ga teng bo`lgan cheksiz geometrik progressiya yig’indisini ham topgan. Matematikada bu cheksiz qatorning birinchi misoli edi.
Matematikaning rivojlanishida uning ‘Psammit’- ‘qum zarrachalari soni haqida’ risolasi katta rol o`ynaydi. Bu asarda Arximed mavjud sanoq sistemasi yordamida istalgan katta sonni qanday ifodalash mumkinligini ko`rsatadi. U o`z mulohazalarining sababchisi sifatida ko`rinib turgan Koinot ichidagi qum zarrachalarini hisoblash haqidagi masalani oladi. Bu bilan o`sha vaqtda mavjud bo`lgan sirli ‘eng katta sonlar’ haqidagi fikr rad qilingan edi.
5. Ahmad Farg’oniy
Abul Abbos ibn Muhammad ibn Kasir Farg’oniy (861 y. Bag’dodda vafot etgan) – buyuk astronom, matematik va geograf. O`rta asr Yevropa ilmiy adabiyotida uni Al’fraganus deb ataganlar. Farg’oniy arab xalifaligining Bag’dod va Damashq shaharlarida IX asrda yashagan. U Bag’dodda Xorun ar-Rashidning o`g’li al-Ma’mun hukmronligi ( 813- 833 ) davrida O`rta Osiyolik olimlar Muhammad ibn Muso Xorazmiy, Abbos ibn Sa’id Javhariy va b. bilan birga ishlagan. Ular dastlab yunon olimlarining asarlarini arab tiliga tarjima qilishgan, keyin esa o`zlari mustaqil asarlar yaratishgan. Xalifa al Ma’mun 829-yilda Bag’doddagi ‘Baytal-hikmat’ (‘Donishmandlar uyi’) qoshida, 832-yil Damashqda rasadxona (observatoriya) qurdirgan.
Bu rasadxonalarda muntazam ravishda kuzatuv olib borilgan. Ularda Farg’oniy ham faol qatnashgan. Kuzatuvlarning natijasini ‘Al-Ma’munning tekshirilgan jadvallari’ nomi bilan kitob holiga keltirgan. Bu astronomik jadvallarni aslida faylasuf al-Kindiy oxiriga yetqizishi zarur edi, ammo u xalifa Mutavakkil (846-862) ning g’azabiga uchrab qatl qilinganidan so`ng ishni davom ettirish va oxiriga yetkazish Farg’oniyga qolgan. Farg’oniy bu vazifani muvaffaqiyatli hal etgan. Farg’oniyning birinchi mustaqil asari “ Astronomiyaga kirish” deb ataldi. Bu asarda u o`zgacha yashagan astronomlarning ishlarini tartibga solib, izchil davom etadi va ularda uchraydigan ba’zi kamchiliklarni tanqid qiladi. Shu asari bilan Farg’oniy o`zining yetuk astronom ekaninin ko`rsatadi. Farg’oniy avvalroq astronomiyani chuqur egallanganini isbotlab, 812-yil quyosh tutilishini oldindan aytib bergan edi.
Farg’oniyning bunday yutuqlarga erishishida uning qunt bilan qadimgi yunon matematikasini va astronomiyasini o`rganishi bilan birga hamkasb do`stlarining ham xizmati katta bo`ldi. “Baytal-hikmat”da Farg’oniy bilan birga, Xorazmiy va Javhariydan tashqari, IX asrning mashhur matematik va astronomlari Muso ibn Shokir o`g’illari- Muhammad, Ahmad va al-Hasan ishlar edilar. Farg’oniy Muso o`g’illari bilan Qizil dengiz yaqinidagi Sanjor va Kufa sahrosida kuzatuvlar olib borgani haqida ma’lumotlar bor.
Farg’oniyning yana bir asari “Osmon harakatlari va astronomiya fani to`plami haqida kitob “deb ataladi. Bu asar astronomiyadan arab tilida yozilgan birinchi kitoblardan hisoblanadi.
Farg’oniyning bu asari XII asrda lotin tiliga, XIII asrda esa ko`pgina Yevropa tillariga tarjima qilingan. Asarning anchagina qismini astronomik asboblar yasash va ulardan foydalanish metodlari, xususan, astronomik kuzatuvlar uchun eng zarur asboblardan biri-quyosh soatining bayoni egallaydi.
Farg’oniyning asarlariga qiziqish Yevropada XIII asrdan so`ng ham davom etdi. Uning “Astronomiya elementlari “ nomli asarini Yakob Galius 1669-yil lotin tiliga tarjima qildi va arabcha teksti bilan Amsterdamda nashr qildi. Farg’oniy risola ham yaratgan, masalan, Ptolemeyning “Almagest “ asarining sharhiga bag’ishlab “Almagestning kirish bo`limlari haqida o`ttiz bobdan iborat risola” nomli asar yozgan. U astronomik asboblar haqida kitoblar yozishni davom ettirib, “Asturlob haqida mukammal kitob “va “Asturlob yasash haqida” degan asarlar ham yaratgan.
6. Umar Hayyom (1048-1123)
Qadimda va o`rta asrlarda yashagan olimlarning ko`pchiligi fanning turli sohalarida muvaffaqiyatli ijod etishgan. Shoir Umar Hayyom ana shular jumlasiga kiradi. Uning to`liq ismi G’iyosiddin Abulfath Umar ibn Ibrohim al-Hayyom. U xuroson viloyati ko`chmanchi turk qabilalaridan biri – saljuqiylarning markaziy viloyatiga aylangan davrda Nishopurda chodrachi (Xayyomi- chodrachi degani) oilasida tug’ildi.
Umar hayyomning bolalik yillari haqida ma’lumot yo`q, ammo u haqida ba’zi rivoyatlar saqlanib qolgan. Tarixchi Bayhahiy Umar Hayyom mustahkam xotiraga ega bo`lganligini yozgan. Shunday xotira egasi, albatta, bolalik yillarida ko`p narsalarni o`rgana olgan.
Umar Hayyom matematika sohasida, ayniqsa algebra va geometriya sohasida katta kashfiyotlar qilgan olim. U birinchi bo`lib son tushunchasini haqiqiy musbat songacha kengaytirgan. Bu haqda u o`zining “ Al-jabr va al-muqobala isbotlari haqida risola” asarida quyidagilarni yozadi: “hindlarda kvadratlarning tomonlarini va kublarning qirralarini unchalik katta bo`lmagan ketma-ket tanlashga va 9ta raqam- bir, ikki, uch va hokazo sonlarning kvadratlarini hamda ulardan birini ikkinchisiga, ya’ni ikkini uchga va hokazo ko`paytmasini bilishga asoslangan metod mavjud. Bu metodlarning to`g’riligini isbotlashga va bu metodlar haqiqatdan ham maqsadga yetqazishiga doir risola bizga tegishli. Bundan tashqari, biz oldin bo`lmagan sonlar turini ham orttirdik, ya’ni biz kvadrat-kvadrat, kvadrat-kub, kub-kub va hokazolarning asosini aniqlashni ko`rsatdik”.
Hayyom saljuqiylardan ancha aziyat tortadi va ulardan qochib Movarounnahrga keladi. Avval Samarqandda yashaydi. Keyin u Buxoroda Shams al-Mulk saroyida, 1074 yildan esa Isfaxonda Malikshoh saroyida ishlaydi. Umar Hayyom kub tenglamalarni geometrik usulda yechish va ularni klassifikatsiya qilish bilan shug’ullanadi. Kub tenglamalarni yechish usuli uning yuqorida aytilgan asarida keltirilgan. O`sha asarida Hayyom noma’lumning darajasi uchdan ortiq bo`lganda ularning ildizlari haqiqiy miqdorlarga to`g’ri kelmasligini uqtiradi. U bu asarida to`liq kub tenglamalarni yecha olmaganini ammo keyingi avlod orasida bunday tenglamani yecha oladiganlari chiqishini aytadi. Darhaqiqat, Hayyomdan qariyb 400 yil keyin italiyalik matematiklar N.Tartalya va J. Kardanolar kub tenglamalarni kub radikallarda yechish formulasini topishdi.
Umar Hayyom geometriyaga ham katta hissa qo`shgan. Uning Yevklidning V postulatini “isbotlash” sohasidagi ishi juda mashhur. Yevklid o`zining “Negizlar” asarida V postulatni “ikki to`g’ri chiziqni uchinchi to`g’ri chiziq bilan kesganda, uning bir tomonli burchaklarining yig’indisi qaysi tomonda ikki to`g’ri burchakdan kichik bo`lsa, ular o`sha tomonda kesishsin”-dedi. Yevklidning bu ta’rifi unchalik aniq bo`lmaganidan qadim zamonlardan boshlab matematikalarda shubha tug’dirgan. Ular bu postulat emas, teorema bo`lishi kerak, yanglish holda postulatlar qatoriga kiritilgan deb o/ylashgan va uni isbotlashga urinishgan ( Lobachevskiy geometriyasi ).
Hayyom “Evklid kitobining kirish qismidagi qiyinchiliklarga sharxlar “ nomli asarining parallellik nazariyasiga bag’ishlangan qismida o`sha V postulatga to`xtalgan. U Yevklidning postulati teorema ekanligini isbotlash uchun pastki asosidagi ikki burchagi to`g’ri bo`lgan to`g’ri to`rtburchakni qaragan va agar uning pastki ikki burchagi to`g’ri bo`lsa, yuqoridagi ikki burchagi ham to`g’ri bo`lishi lozim degan xulosaga kelgan. Umar Hayyom “bitta to`g’ri chiziqqa perpendikulyar bo`lgan ikki to`g’ri chiziq to`g’ri chiziqning ikkala tomonida ham kesisha olmaydi- ku “,- deydi. Umar Hayyomning bu ishlaridan bexabar italiyalik matematik J.Sakkeri (1667-1733) ham V postulat bilan shug’ullanib, to`g’ri to`rtburchakka murojaat qilgan. Geometriya asoslariga bu to`g’ri to`rtburchak “Hayyom- Sakkeri to`rtburchagi nomi bilan kirgan.
Umar Hayyom ajoyib astronom ham edi. Uni Malikshoh 1074 yildan so`ng Eron Quyosh kalendarini isloh qilish uchun Hamadonga taklif qilgan.
Umar Hayyom zamonida eronliklar ikki calendar -Quyosh Oy kalendaridan foydalanar edi. Eronliklar bir yilni 365 sutka deb hisoblashar edi, bu esa chalkashliklarga iolib kelar edi. Hayyom uni tugatishi va amaldagi calendar bilan quyosh yilini mos keltirishi kerak edi. U isloh loyihasinin “Ziji malikshoh” nomli asarida beradi. Islohga ko`ra Hayyom kalendarida 33 yilning 8 tasi ( 4 ga qoldiqsiz bo`linadiganlari) kabisa yili bo`lib, juda aniq edi.
7. Yevklid va uning «Negizlar»i
Ikki ming yil davomida geometriyani yo Yevklidning “Negizlar”idan, yoki unga asoslanib yozilgan darsliklardan bilishgan. Faqat professional matematiklar boshqa qadimgi yunon matematiklari – Arximed, Apolloniy hamda keyinroq yashagan geometriklarning ishlariga murojaat qilishgan. XIX asrda vujudga kelgan “noyevklid geometriya” dan farq qilishi uchun klassik geometriyani Yevklid geometriyasi deb ataydigan bo`ldilar.
Bu ajoyib inson haqida tarix shunchalik kam ma’lumot saqlaganki, ba’zan shunday odam bo`lganki, kabi fikrlar ham aytiladi. Bizgacha quyidagi ma’lumotlar yetib kelgan: Eramizning V asrda yashagan Vizantiyalik Prokl Diadoxning yunon geometriyasi haqidagi katalogi – yunon geometriyasi haqidagi ma’lumotlarning birinchi haqiqiy manbai. Katalogdan Yevklid e.a. 306-283-yilda hukmronlik qilgan shoh Ptolemey birning zamondoshi ekani ko`rinadi.
Yevklid Arximeddan katta bo`lishi kerak, chunki Arximed o`z ishlarida “Negizlar” ga murojaat qiladi. Bizgacha Yevklid Ptolemey I ning poytaxti, endigina ilmiy markazlardan biriga aylanayotgan Iskandariyada o`qituvchilik qilgani haqidagi ma’lumot yetib kelgan. Yevklid qadimgi yunon faylasufi Platonning izdoshi bo`lib, u Platonning fikriga muvofiq har bir kishi falsafa bilan shug’ullanishdan oldin bilishi lozim bo`lgan to`rt fan – arifmetika, geometriya, garmoniya nazariyasi, astronomiya o`qitgan bo`lishi ehtimol. “Negizlar” dan tashqari Yevklidning garmoniya va astronomiyaga bag’ishlangan kitoblari ham bizgacha yetib kelgan.
Yevklidning fanda tutgan o`rni esa uning o`z ilmiy tekshirishlari bilan emas,balki pedagogik xizmatlari bilan belgilanadi.Yevklid bir necha teorema va ularning isbotini kashf etgan deyishadi, ammo ularning ahamiyatini buyuk yunon geometrlari – Fales va Pifagor (e.a. VIa.), Yevdoks va Teetet (e.a.VI a.) larning yutuqlari bilan solishtirib bo`lmaydi. Yevklidning buyuk xizmatlari shundaki, u geometriya tuzishni yakunladi va uni bayon etishga shunchalik mukammal shakl berdiki, natijada “Negizlar” ikkiming yil davomida geometrik qomus bo`lib qoldi. Yevklid bayon qilinadigan materialni 13 ta kitobga shunday buyuk bir sa’nat bilan, biror qiyinchilik vujudga kelmaydigan qilib joyladi. Keyinroq yunon matematiklari “Negizlar” ga boshqa muallif tomonidan yozilgan XIV va XV kitoblarni qo`shganlar.
Yevklidning birinchi kitobi 23 ta “ta’rif”dan boshlanadi, ular orasida quyidagilar bor: nuqta qismlatga ega bo`lmagan narsa; chiziq- ensiz uzunlik; chiziq nuqtalar bilan chegaralangan; to`g’ri chiziq- o`z nuqtalariga nisbatan bir xilda joylashgan chiziq nihoyat agar bitta tekislikda yotgan ikki to`g’ri chiziq har , qancha davom ettirilganda ham uchrashmasa, ular parallel deb ataladi. Bular asosiy obyektlar haqidagi tasavvurlar, ya’ni hozirgi tushunchadagi ‘ta’rif’ so`zi Yevklid ishlatgan yunoncha “xoroy” so`zining aniq ma’nosini bera olmaydi.
Birinchi kitobda uchburchaklar, to`g’ri to`rtburchaklar, parallellogramlarning asosiy xossalari qaraladi va ularning xossalari taqqoslanadi. Uchburchak burchaklarining yig’indisi haqidagi teorema ham mana shu yerda beriladi. So`ngra 5ta geometrik postulat keltiriladi: ikki nuqta orqali bitta to`g’ri chiziq o`tkazish mumkin; har bir to`g’ri chiziqni istalgancha davom ettirish mumkin; markazi berilgan nuqtada radiusi ma’lum aylana chizish mumkin; barcha to`g’ri burchaklar teng; agar ikki to`g’ri chiziq shunday o`tkazilsaki, ular uchinchi to`g’ri chiziq bilan hosil qilgan burchaklar yig’indisi ikki to`g’ri burchakdan kichik bo`lsa, ucinchi to`g’ri chiziqning shu tomonida uchrashadi. Bu postulatlarning biridan boshqa hammasi hozirgi zamon geometriya asoslari faniga kirgan. Postulatlardan keyin umumiy farzlar yoki aksiomalar- tengliklar va tengsizliklar haqidagi 8ta umummatematik jumlalar keltiriladi. Kitob Pifagor teoremasi bilan tugaydi.
II kitobda geometrik algebra bayon qilinadi, kvadrat tenglamalarga keltiriladigan masalalar geometrik chizmalar yordamida yechiladi. U vaqtda algebraik belgilar yo`q edi. III kitobda doira, urinma va vatarlaening xossalari, IV kitobda muntazam ko`pburchaklar qaraladi, o`xshashlik ta’limotining asoslari uchraydi.
VII-IX kitoblarda eng katta bo`luvchini topishning Yevklid algoritmiga asoslangan sonlar nazariyasining asoslari bayon etilgan, bo`linuvchanlik nazariyasi va tub sonlar to`plamining cheksizligi haqidagi teorema ham shu kitobga kirgan.
Oxirgi kitoblar stereometriyaga bag’ishlangan. XI kitobda stereometriya asoslari, XII kitobda qamrash usuli yordamida ikki doira yuzalarining nisbati, piramidalar va prizmalar, konus va silindrlar hajmlarining nisbati bayon etiladi.
Yevklid geometriyasining eng yuqori cho`qqisi- muntazam ko`pyoqliklar nazariyasi: “Negizlar” ga yunongeometriyasining buyuk yutuqlaridan biri – konus kesimlari yuzasi kirmay qolgan. Ular haqida Yevklid “Konus kesimlari negizi” nomli alohida kitob tozgan, ammo bu kitob bizgacha yetib kelmagan. Arximed o`z asarlarida bu haqda sitatalar keltiradi.
Yevklidning “Negizlar” i bizgacha asl nusxada yetib kelmagan. Hozir ma’lum eng qadimgi ko`chirmalar Yevkliddan 12 asr keyin , “Negizlar” haqidagi mufassalroq ma’lumotlar esa 7 asr keyin yozilgan. O`rta asrlarda matematikaga qiziqish kamaydi, “Negizlar” ning ba’zi kitoblari yo`qoldi. Keyin ular arabcha va lotincha tarjimalaridan qayta tiklandi. Bu davrda matnlar keyingi sharhlovchilarning “pardozlashi” bilan ko`payib ketdi.
Yevropa matematikasining Uyg’onish davrida “Negizlar” ni o`rganishdi va qayta tiklashdi. “Negizlar” larning mantiqiy tuzilishi , Yevklid aksiomatikasi XIX asrlargacha , matematika erishgan yutuqlarga tanqidiy fikr bilan qarash boshlangan davrgacha matematiklar tomonidan mukammal deb qabul qilindi. Bu davr Yevklid geometriyasining yangi aksiomatikasi bilan yakunlanadi. “Negizlar” dagi geometriyaning nomi namunaviy sanalar, matematik bo`lmagan olimlar ham unga ergashishga intilar edilar.
8. Beruniy (973-1048)
Beruniy (to`liq ismi – Abu Rayxon Beruniy Muhammad ibn Ahmad) – o`rta asrning buyuk qomuschi olimi. U Xorazm o`lkasining Qiyot shahrida tug’ilgan. Qiyot Amudaryoning o`ng qirg’og’i- hozirgi Beruniy shahrining o`rnida bo`lgan, u yaqin vaqtlargacha Shobboz deb atalgan. Beruniy ota-onasidan juda yosh yetim qolgan va Iroqiylar qo`lida tarbiyalangan. Iroqiylarning oxirgi vakili Xorazmshoh Abu Abdulloh Muhammad ibn Ahmad ibn Iroq hisoblanadi. Xorazmshohning jiyani- amakisining o`g’li Abu Nasr Mansur ibn Iroq Beruniyning ustozi edi.
Beruniy juda yoshligidan ilm va fanga qiziqardi. U sevgan fanlar- astronomiya, matematika, geodeziya, geografiya va mineralogiya edi. U o`zining “Geodeziya” asarida 990-yil Qiyot shahrining geografik kengligini aniqlaganini yozadi. Ma’lumki, geografik kenglikni aniqlash uchun geografiya, matematika va astronomiyadan yetarlicha bilimga ega bo`lish lozim. 995-yil Qiyotni Xorazmning ikkinchi poytaxti Gurganchning amiri Ma’mun ibn Muhammad bosib oladi. Beruniy Iroqiylar xonadoniga mansubligi uchun Ma’munning g’azabidan qochib, Ray shahriga keladi. U Rayda mashhur olim- matematik va astronom al-Xujandiy, tabib va faylasuf ar-Roziylar bilan tanishadi. Beruniy Rayda o`zining “Al-Faxriy sekstanti” risolasini yozadi.
997-yil Beruniy Qiyotga qaytadi. Bu davrda Xorazmda o`zgarishlar bo`lib, Ma’mun vafot etgan, uning o`rniga Ali ibn Ma’mun taxtga chiqqan edi. 998-yil Beruniy Jurjonga keldi. U Jurjonda 1004-yilgacha yashadi. O`zining o`n beshga yaqin asarini u shu yerda yaratdi. Jumladan, olimning “Qadimgi xalqlardan qolgan yodgorliklar” asari 1000-yillar atrofida shu yerda yozilgan. 1004-yil bahorida Beruniy Xorazmga qaytdi. Bu vaqtda Xorazmning poytaxti Gurganj edi. Gurganjda u oy tutilishini kuzatdi. Saroyda al-Masihiy, tabib al-Hammar, Ibn Iroq va boshqalar ishlar edilar. 1005-yil bahorida mashhur tabib Abu Ali ibn Sino ham Gurganjga keldi. Gurganjda Beruniy matematika, astronomiya bilan bir qatorda fizika va mineralogiyaning ba’zi masalalari bilan shug’ullandi. Minerallarni aniqlash, ularni sistemaga solishda solishtirma og’irliklardan foydalanish g’oyasi ham mana shu yerda tug’ildi. 10170yil yozida Mahmud G’aznaviy Xorazmni bosib oldi. G’aznaviyning buyrug’iga ko`ra Beruniy asir sifatida G’aznaga olib ketildi. U yerda og’ir sharoitda yashadi. 1019-yildan keyin ilmiy ish bilan shug’ullanish sharoitiga erishdi.
1022-1024-yillar Mahmud Hindistonga qilgan yurishida Beruniyni o`zi bilan olib ketdi. Safarda ham Beruniy ilm bilan shug’ullandi. U Panjobdagi Nandna qal’asi yonida yer shari meridiani bir gradusining uzunligini o`lchadi va u 110,895 km ekanini aniqladi. Bu ma’lumot hozirgi zamon o`lchashlari natijasi- 111,1 bilan taqqoslansa, Beruniy o`lchashlarining qay darajada aniqligi ko`rinadi. U Hindistonda bo`lajak asari “Hindiston tarixi” uchun material yig’di va uni 1030-yil yozib tugatdi. O`sha yili Mahmud vafot etdi va uning o`rniga Mas’ud taxtga chiqdi. Mas’ud Beruniyga ko`p iltifotlar ko`rsatdi. Shu sababli , Beruniy o`zining shoh asarini Mas’udga bag’ishlab “Qonuni Mas’udiy” deb nomladi. Bu asosan astronomiyaga oid bo`lsa ham Beruniyning matematikaga oid, ya’ni trigonometriya va sferik trigonometriyada qilgan kashfiyotlari shu asarda bayon etilgan.
Beruniyning matematikaga va fanning boshqa sohalariga qo`shgan hissasini yozib qoldirgan 100 dan ortiq asaridan ham ko`rish mumkin. Ulardan eng yiriklari “Hindiston”, “Yodgorliklar”, “qonuni Mas’udiy”, “Geodeziya”, “Mineralogiya” va “Astronomiya” . qolganlarini quyidagicha taqsimlash mumkin: matematikaga doirlari-22ta; astronomik asboblar haqida-10ta; astrologiyaga doir-21ta; turli fanlar-38ta; tarjimalar-21ta. Afsuski, Beruniyning bu asarlaridan atigi 30 ga yaqini bizga yetib kelgan. Beruniy G’aznada vafot etgan.