Matematika ta’lim yo’nalishi kurs ishi mavzu

3.1- teorema. f (x) funksiya biror to‘plamda istalgan tartibdagi hosilaga ega bolib, (4) qator uning nuqtadagi Teylor qatori bo’lsin. Bu qator da f (x) ga yaqinlashishi uchun uning

Teylor formulasi qoldiq hadi xϵ da nolga intilishi, ya’ni bo’lishi zarur va yetarli.
Ma'lumki, Teylor formulasi qoldiq hadi:

1. 
   integral ko'rinishda
   

2. 
   Lagranj ko‘rinishida
   

bunda +ϴ( ,0<ϴ<1 ;

3. 
   Koshi ko‘rinishida
   

bunda , +ϴ( ,0<ϴ<1
e) Peano kobrinishida

bo'ladi.
3.2 - teorema. f(x) funksiya ( - ρ , + ρ) (ρ > 0) oraliqda darajali qatorga yoyilgan, ya’ni:

bo’lsa bu qator f(x) funksiyaning Teylor qatori bo’ladi, bunda

3.3- teorema. Agar f(x) funksiya biror ( - ρ , + ρ) intervalda istalgan tartibdagi hosilaga ega bolib, shunday o‘zgarmas M >0 son topilsaki, barcha
ϵ ( - ρ , + ρ) hamda barcha nϵN lar uchun

bajarilsa, u holda ( - ρ , + ρ) intervalda f (x) funksiya Teylor qatoriga yoyiladi, ya’ni

bo'ladi.
3.1 -misol. f (x) = cosax funksiyani nuqta atrofida Teylor qatoriga yoying.
Yechilishi. Bizga ma’lumki, berilgan cos ax funksiyaning n- tartibli ( n ϵ N) hosilasi quyidagicha bo’ladi:

Bundan, da bo’lishi kelib
chiqadi. Demak, berilgan funksiyaning Teylor qatori
(

bo'ladi. Bu qatorning yaqinlashish intervalini topamiz. Buning uchun


bo'lganligini inobatga olib, Dalamber alomatiga ko'ra, ning har bir berilgan qiymatida quyidagi limitni hisoblaymiz:


D = 0 < 1 bo'lganligi uchun qaralayotgan qatorning yaqinlashish intervali (-∞;+∞) bo'lishini aniqlaymiz. f(x) = cosax funksiya Teylor formulasining Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadi

bo'ladi, bunda , 0<ϴ<1. Endi Teylor formulasidagi r(x) qoldiq hadning nolga intilishini ko'rsatamiz. Harqanday nϵN va CϵR uchun
,
o'rinli. Demak, harqanday chekli uchun bo'ladi.
Shunday qilib, berilgan cosax' funksiya istalgan tartibdagi hosilaga ega va lim r(x) = 0 bo’lgani uchun, 3.1-teoremaga asosan, bu funksiya ning darajalari bo'yicha Teylor qatoriga yoyiladi.
(