Bitiruv malakiviy ishining obekti: Ptolomey va umumlashgan Ptolomey teoremalari.
Bitiruv malakiviy ishining predmeti: Ptolomey va Umumlashgan Ptolomey teoremalarini isbotlashda ishlatiladigan usullar tanlandi.
Bitiruv malakiviy ishining maqsad va vazifalari: Keysi va Ptolomey teoremalarini isbotini va masalalar yechishni o’rganish. Nostandart masalalarni Keysi va Ptolomey teoremasi yordamida yechish usullarini o’rganish.
I-bob Keysi teoremasi haqida ba’zi bir ma’lumotlar 1-§.Keysi teoremasi haqida ma’lumotlar Kopchilik Ptolomey teoremasi haqida eshitgan bo’lishi mumkin. Ptolomeyning umumlashgan teoremasi haqidachi? Nomidan ham bilish qiyin emaski, ushbu Ptolomeyning teoremasiga o’xshash, balki undan ham murakkab va qiziqarli. Albatta kalavani uchi topilmasa, kalavani topishdan umid qilmasa ham bo’ladi. Ya’ni Ptolomey teoremasi tarixi uzoqqa borib taqalishi mumkin, ammo, biz aytayotgan “Ptolomeyning umumlashgan teoremasi” ning tarixi unchalik ham uzoqqa borib taqalmaydi. Aslida bu teorema “Casey’s Theorem” nomi bilan ataladi. Jon Keysi (John Casey [12 May 1820 – 3 Yanvar 1891]) Irland matematiki, Evklid geometriyasiga o’z hissasini qo’shgan. Ko’proq Keysi teoremasi va Appaloniya masalasi ustida olib borgan ishlari bilan tanilgan. Ayniqsa, 1875-yillar atrofida E. Lemuan (Emile Lemoine) bilan birgalikda uchburchak va aylana geometriyasida ko’plab hususiyatlarni, teoremalarni topishga va isbotlar keltirishga muaffaq bo’lishgan. Ptolomey teoremasi esa Keysi tomonidan kengaytirildi; u to’rtburchak uchlarini tashqi aylana ichidagi va unga tegib turgan doiralar bilan almashtirdi va Ptolomeyning teoremasini umumlashtirdi. Keysining yana bir teoremasi grafik dizynerlar uchun muhimdir. Bu Keysi burchagi deb ataladi. AC va BD diametrli doiralar O nuqtada kesishgan chiziqdagi tartibda A, B,C va D to’rt nuqta uchun BOC burchagi Keysi burchagi deb ataladi. Uning ahamiyati shundaki, bu burchak o’zgarmasdir. Rassomlarga haqiqiy tasvirlar va grafik dizaynerlarga haqiqiy o’xshashlikka erishishga yordam beradi.
O’z faoliyati davomida yigirmadan ortiq matematik maqolalarni nashr ettirdi, ularning ko’pchiligi “Irlandiya Qirollik akademiyasi” da nashr etilgan. Shuning bilan bir qatorda u geometriya bo’yicha oltita darslik yozgan va ular keng qo’llanilib kelinmoqda. 1881 yilda Xodges, Figgis &Co tomonidan Nashr etilgan “Evklidning natijasi” kitobida Keysi o’z tadqiqot natijalari bilan bo’lishdi. Natijada u uchburchak va aylana geometriyasining asoschilaridan biriga aylandi.
Aynan mana shu yilda Keysi o’z teoremasini isbotladi.
Klavdiy Ptolomey milodiy 100 –yilda tug’ilgan. Astronom, geograf va matematik sifatida tanilgan. Ptolomeyning hayoti haqida deyarli uncha ko’p ma’lumotlar mavjud emas, faqat uning asarlari haqida malum ma’noda hulosalar qilishimiz mumkin. Uning birinchi eng yirik astronomik asari “Almagest” hisoblanadi taxminan eramizning 150-yillarida yakunlangan Ptolomeyning chorak asr davomida kuzatishlari haqidagi hisobotlarni o’z ichiga oladi. Almagest –bu o’n uch kitobdan iborat risoladir. Garchi asar hozir bizga Almagest sifatida tanish bo’lsa ham bu uning asl nomi emas edi. Yunoncha sarlavhasi “Matematik to’plam” deb tarjima qilingan, tez orada bu nom boshqa yunoncha nom bilan almashtirilib Almagest ya’ni “Eng buyuk to’plam’’ bo’lib o’zgartirildi. Bu arab tilida “al-majisti’’ so’zidan kelib chiqqan. Ptolomeyning “Almagesti” Evklidning “Negizlar’’ bilan birgalikda eng uzoq vaqtdan beri qo’llanilib kelgan ilmiy asarlar sifatida alohida shon –sharafga ega. Bu asar 2-asrda paydo bo’lganidan to kech Uyg’onish davrigacha bo’lgan astronomiyani fan sifatida belgilab berdi.Polomey o’zini asar yozishda nima qilishga harakat qilayotganini aniq tasvirlab beradi:
“ Biz hozircha kashf qilingan deb o’ylagan hamma narsani qayd qilishga harakat qilamiz. Biz buni imkon qadar qisqacha va bu sohada allaqachon bilimlarga erishganlarni kuzatib borishimiz mumkin bo’lgan tarzda qilamiz . Ishimizda to’liqlik uchun biz osmon nazariyasi uchun foydali bo’lgan hamma narsani tegishli tartibda ko’rsatamiz, lekin ortiqcha xatolikka yo’l qo’ymaslik uchun biz qadimgi o’tmishdoshlarimiz tomonidan aniqlangan narsalarni aytib beramiz. Biroq bizning o’tmishdoshlarimiz tomonidan umuman ko’rib chiqilmagan mavzular imkonimiz boricha uzoq vaqt muhokamizda bo’ladi.’’
Ptolomey bu bilan birinchi navbatda Aristotel tomonidan tomonidan tasvirlangan
Yerga asoslangan tizimga asoslanib, olamni tavsifini oladi . Ptolomey geometrik modellardan foydalanib epitsikklar deb nomlanuvchi dumaloq harakat foydalangan holda , oy va sayyoralrning pozitsiyalarni bashorat qilgan . Ushbu modelni o’rgangandan so’ng , Ptolomey ishining qolgan qismida zarur bo’lgan matematik amallarni ishlab chiqadi.
Uning keyingi adabiy asaridan tahmin qilish mumkinki u milodiy 170-yilgacha yashaganligini ko’rsatadi. Ptolomey matematika tarixida birinchi navbatda astronomik masalalarga qo’llagan matematik usullari tufayli tanilgan. Uning ishlari orasida trigonometriya alohida ahamiyatga ega. Masalan Ptolomeyning aylanadagi yoylar uzunliklari jadvali trigonometrik funksiyalarning saqlanib qolgan eng qadimgi jadvali hisoblanadi.
Ptolomey Gipparxning asarlarini chuqur o’rgangan va uning ijodini chuqur hurmat qilgan bo’lsada , uning asosiy maqsadi uni avlodlarga etkazish emas balki oqilona foydalanish va iloji bo’lsa yaxshilash edi. Ptolomey shu niyatda o’zining astronomik tizimini yaratdi. U shuningdek sferik trigonometriyadagi fundamental teoremalarni ko’plab asosiy astronomik masalarni yechishda qo’llagan. Ptolomey teoremasi nisbatan elemantar bo’lib Evklid geometriyasiga oid masalalarni o’z ichiga qamrab oladi. Keyinroq uning batafsil isbotini keltirib o’tamiz.
Ptolomey teoremasi Evklid geometriyasida qavariq to’rtburchakning to’rt tomoni va 2 ta dioganali o’rtasidagi munosabatdir. Agarda ushbu qavariq to’rtburchakga tashqi aylana chizilgan taqdirdagina teorema o’rinli bo’ladi va noqavariq to’rtburchak uchun o’rinli emas. Ptolomeyning o’zi bu teoremadan akkordlar jadvalini tuzishda astronomiyaga foydalangan, trigonometrik jadvalni yaratishda yordam sifatida foydalangan.
