Ptolomey teoremasini kompleks sonlar maydonida isbotlash Umuman olganda kompleks sonlar maydoni ustida isbotlash bir qarashda hech qanday bo’g’liq emasdek tuyilsa ham, lekin ushbu teoremani isbotlashning eng kuchli vositalaridan biri hisoblanadi. Dalilni tushunish uchun sizga faqat kompleks sonlar haqidagi quyidagi bilimlar kerak bo’ladi;
Kompleks sonlartekislikdagi nuqtalar bilan ifodalanadi va koordinata boshidan keladigan mos vektorlar bilan bir xil tarzda qo’shiladi;
Kompleks sonlar mos keladigan vektor uzunligiga teng bo’lgan modulga ega;
Natijada har qanday ikkita va kompleks sonlar uchun quyidagi quyidagi uchburchak tengsizligi bajariladi;
Haqiqiy sonlar uchun bajarilishi mumkin bo’lgan ko’paytirish qonuni kompleks sonlar uchun ham bajariladi
Bu xususiyatlar A, B, C va D nuqtalariga mos keladigan kompleks sonlarni belgilashga imkon beradi. Bu nuqtalarni mos ravishda a, b, c va d kabi belgilab Polomey tengsizligini quyidagicha qayta yozish imkonini beradi.
Ammo bu tengsizlik kompleks sonlar uchun uchburchak tengsizligi aniq
va beradi. Kompleks sonlarni biroz chuqurroq o’rganish va ularning dalillarini burchaklar bilan bo’g’lash orqali Ptolomey teoremasini to’liq isbotlash mumkin.
II bob. Ptolomey va Umumlashgan Ptolomey teoremalarining qo’llanilishi va ularga doir masalalar yechish. 1-§. Ptolomey, Keysi teoremalarining qo’llanilishi
Ptolomey teoremasi hulosa sifatida aylanaga ichki chizilgan teng tomonli uchburchak haqida juda yaxshi teoremani beradi.
3-rasm.
Berilgan teng tomonli uchburchak aylanaga ichki chizilgan va aylanadan ixtiyoriy bitta nuqta tanlangan . Nuqtadan uchburchakning eng uzoq burchagigacha bo’lgan masofa unga yaqin joylashgan ikkita burchakkacha bo’lgan masofalar yig’indisiga tengdir.
Isbot. Ptolomey teoremasini qo’llash orqali darhol kelib chiqadi.
Avvalo aylanadagi D nuqtadan C uchigacha bo’lgan masofani q deb olaylik. Hamda mos ravishda AD=p, BD=r deb hisoblaylik. Berilgan uchburchak tomoni s ga teng bo’lsin.
Ptolomey teoremasidan quyidagi natijaga erishamiz.
Qs=ps+rs q=p+r ekanligi kelib chiqadi.Demak berilgan teng tomonli uchburchak uchun ushbu teorema o’rinlidir.
To’rtburchak
Bu Pifagor teoremasiga ko’ra ham o’rinli.
Umuman olganda ,agar to’rtburchak tomonlari a va b diagonali d bo’lgan to’rtburchak bo’lsa, Ptolomey teoremasi Pifagor teoremasiga keladi. Bu holda aylananing markazi dioganallari kesishish nuqtasiga to’g’ri keladi. U holda diagonallarning ko’paytmasi
o’rinli bo’ladi.O’zining trigonometrik ishlarida Ptolomey teoremasidan keng foydalangan Kopernik bu natijani “porizm” yoki o’z-o’zidan ravshan xulosa deb aytadi.
Muntazam beshburchak
Oltin nisbat Ptolomey teoremasining ushbu qo’llanilishi natijasida kelib chiqadi.
Bu yerda Ptolomey teoremasini qo’llasak beshburchak tomoni uzunligi a va dioganali uzunligi b ga teng bo’lsin. ABCD to’rtburchak uchun Ptolomey teoremasi o’rinli bo’ladi.
Bu oltin nisbat deb ataladi. Agar to’g’ri to’rtburchakning tomonlari nisbati oltin nisbat qiymatiga teng bo’lsa, bunday to’g’ri to’rtburchakni ham oltin to’rtburchak deyiladi. Bunday to’g’ri to’rtburchakdan kvadrat qirqib olinsa, unda yana bir oltin to’rtburchak hosil bo’ladi. Agar o’sha kichik oltin to’rtburchakdan ham yana kvadrat qirqib olinsa undan ham kichik oltin to’rtburchak hosil bo’ladi, bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin. Leonardo da Vinchi yaqin do’sti bo’lgan italyan matematigi Luka Pacholi o’zining “Ilohiy proporsiya” deb tarjima qilish mumkin bo’lgan risolasida, oltin kesma deb nomlangan va hozirda ko’pchilikka tanish bo’lgan nisbat haqida gap boradi. Yunon alifbosidagi harfi bilan belgilanadigan mazkur oltin nisbat matematika va tabiatda juda ko’p uchraydi. Oltin nisbatni tasavvur qilishning eng oson yo’li bu- shundaykesmani ko’z oldiga keltirish kerakki, uni ikki qismga shunday tarzda bo’linadiki, bunda kesmaning to’liq uzunligining uning katta bo’lagiga nisbati ushbu katta bo’lakning kichik bo’lagiga nisbatiga aytiladi. Va bu nisbat doim 1,61803… qiymatga teng chiqadi.
Oltin to’g’ri to’rtburchak o’zidan kvadrat qirqib olinganda ham yana o’ziga o’xshash oltin to’rtburchak yasaydigan yagona to’g’ri to’rtburchakdir. Agar hosil bo’lgan shakllarning qirralari tutashtirilsa, bunday chiziq logarfmik spiralning approksimatsiyasini hosil qiladi va ushbu spiral o’sha “Ilohiy ko’z” atrofida aylananadi.
Logarifmik spirallarni esa tabiatda hamma joyda uchratish mumkin; chig’anoqlar ham, hayvonlarning shohi ham xatto insondagi quloq burmalari ham shunday shaklga ega.
Bu berilgan fazoni eng qulay va ravon shaklda to’ldirish usulidir.Shuningdek bunday spiral qurilishi uchun minimal materiallar talab qilinadigan va shakl jihatdan mustahkam
Ptolomey teoremasi aylana va unga tashqi chizilgan aylana berilganda, o’sha qavariq to’rtburchakning diagonallari va tomonlari orasidagi munosabatni belgilaydi. Qavariq to’rtburchakdan tashqari ushbu teorema ba’zi bir qiziqarli masalalarni yechish uchun ham qo’llash mumkin. Bundan tashqari ushbu teorema yordamida dioganallarining ko’paytmasidan tashqari ularning bo’linmasi masalasini ham qarash mumkin. Uning ko’plab isbotlari keltirilgan. Shular orasida eng mashhurlari kosinuslar teoremasi orqali isbotlash, qo’shimcha burchak kiritib isbotlash, Simson teoremasi orqali isbotlash, trigonometric idenfikatsiyalash orqali isbotlash hamda biz uchun qiziqarli bo’lgan kompleks sonlar maydoni ustidagi isbotlari mavjud. Ushbu Ptolomey teoremasining umumiy ko’rinishini Umumlashgan Ptolomey teoremasi yoki Keysi teoremasi deb ataladi. Keysi teoremasi ko’plab olimpiada masalalariga qo’llaniladi. Bundan tashqari Keysi teoremasini Feyerbax teoremasini isbotlash uchun ham qo’llash mumkin.
Ushbu bobda biz Keysi teoremasining qo’llanilishini, Ptolomey teoremasiga oid bir qancha qiziqarli masalalar keltirib o’tilgan.
Keling dastlab Keysi teoremasining biz uchun mashhur bo’lgan Feyerbax teoremasi uchun qo’llanilishini ko’rib chiqaylik.
