«Matematika o’qitish metodikasi» bakalavr ta’lim yo’nalishi

2-§. Keysi teoremasi va isboti
Bu bobda biz Keysi teoremasi deb ataluvchi Umumlashgan Ptolamey teoremasi uning isbotini keltiramiz va ikkita lemmalarni ham keltirib o’tamiz.
1-Teorema (Casey’s theorem) 4 ta aylanalar berilgan. Bu aylanalarga umumiy aylana mavjud va faqat, agar quyidagi shart bajarilsa (1-rasm)

1-rasm
Bu yerda, aylanalarning umumiy urinmasi (agar aylanalar ga bir xil ravishda , aniqrog’i ikkalasi ham ichki yoki tashqi urinsa , bu aylanalarning umumiy tashqi urinmasi, aks holda umumiy ichki urinmasi). Yana yuqoridagi tenglikda urinmaning uzunligi nazarda tutilmoqda.
Tenglikda ko’rsatilgan mos ravishda Ptolomey teoremasiga o’xshab o’zgaradi.
Shunday qilib 1-rasm ga ko’ra ergashadigan bo’lsak, teoremadagi ko’rinish quyidagicha bo’ladi: . Bu teorema birinchi bo’lib Keysi tomonidan berilgan bo’lsada u to’liqmas formatda bo’lgan . Ya’ni Keysi faqat bir tomonlama keltirgan:
2-Teorema. Agar aylanalarga urinuvchi aylana mavjud bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.
Ushbu Umumlashgan Ptolomey teoremasining isbotini keltirishdan oldin quyidagi Lemmani qaraylik
1-Lemma. aylana berilgan va u 2 ta , aylanalarga mos ravishda va nuqtalarda urinadi. Agar ularning umumiy urinmasi bo’lsa, bu yerda va , u holda bo’ladi.
( aylanalarning aylanaga qanaqa urinishiga bog’liq)
Lemmaning isbotini va lar bitta to’g’ri chiziqda yotishidan va formuladan foydalangan holda oson keltirish mumkin. Ya’ni bu isbot quyidagicha bo’ladi.
Isboti. Umumiylikni yo’qotmasdan deb olaylik. Biz bular mos ravishda va aylanalarning radiuslari va ular aylanaga ichki tomondan urinadi deb faraz qilaylik.

2-rasm
Bu yerda to’g’ri burchakli uchun Pifagor teoremasini qo’llasak quyidagi natija kelib chiqadi.

Burchak bo’lsin. uchburchak uchun Cosinuslar teoremasini qo’llasak,

bo’ladi. teng yonli uchburchagi uchun ham Cosinuslar teoremasini qo’llasak quyidagi natijaga ega bo’lamiz.

Olingan uchta natijadan va ni o’rniga mos qiymatlarini qo’yamiz va ushbu ifodaga ega bo’lamiz

Keyingi soddalashtirish esa quyidagi natijani beradi.

Shunga o’xshab agar , tashqi urinmalar bo’lsa biz quyidagi natijani olamiz.

_Agar tashqi urinma, va esa ichki urinmalar bo’lsa shunga o’xshash muloxaza yuritish natijasida va urinmalar orasidagi umumiy urinma uzunligini quyidagicha topamiz

Demak 1-lemmaning 2 ta aylana uchun o’rinli ekanligini ko’rsatdik. Biz endi bu lemmadan Casey teoremasi uchun foydalanish haqida o’ylaymiz.
Faraz qilaylik, aylanalar aylanaga mos ravishda nuqtalarda urinsin va ularning radiuslari deb ni radiusini deb olaylik.Demak biz 1-lemmadan quyidagi natijaga ega bo’lamiz.



Ravshanki, aylanada yotgan nuqtalar uchun va Ptolomey teoremasining o’zidan va yuqoridagi tengliklardan quyidagi natijani topamiz

ni topamiz. Isbot tugadi.
Aslida, Ptolomey teoremasi bu Keysi teoremasining nollik aylanalar orqali ifodalanish, ya’ni xususiy holi va eng sodda ko’rinishi deyish mumkin. Yuqoridagi isbot qisqacha “warm up” edi. Endi, asosiy qismga o’tsak: ya’ni, bizni asosiy hisoblangan 1-teorema kutmoqda. Umuman olganda 2-teoremani isbotlashda ham bunday hisob kitoblarni ortda qoldirib, isbotlash ham mumkin. Qolaversa, hali teoremaning teskari holi bizga qarab turibdi va unga yuqorida keltirilgan analitik yo’lni davom ettirish ancha dargumon. Keysi teoremasini isbotlashning asosiy va nominal varianti- bu inversiya. To’g’ri, Ptolomey teoremasini o’zini ham inversiya orqali keltirish mumkin. Lekin bu juda oddiy ko’rinish, hozir bizga inversiyani juda kuchli qo’llash talab etiladi. Inversiyani yaxshi tushunganlar uchun bu isbot hech qanday qiyinchilik tug’dirmaydi. Keysi teoremasini butunligicha, bittada isbotlaymiz.