Математика институти

Теорема 14. Если a ≠ 0 и выполнено условие [A], то


_a0 
A(s)^

M(s) = ⋅ ^1 −



A(0)^{ ,}

здесь функция A(s) задана в (4).
Теорема 15. Пусть a = 0 . Если f ^′′(s ↑ 1) =: 2b < ∞ , то

M(t;s) = ^a0
b
_⋅ s
1 − s
+ α(t;s) ,

где α(t;s) = O ₍1 t₎ при t → ∞ равномерно для всех 0 ≤ s ≤ r
< 1.

Следующая теорема показывает, что переходные вероятности
P_ij (t)

некритических МВП убывают при t → ∞ к нулю со скоростью определяет асимптотическое представление этих вероятностей.
O₍β^t ₎ и

45

Теорема 16. Если a ≠ 0 и выполнено условие [A] , то для всех i, j ∈ N

ij
β^−tP (t) =
A(0) _iqi−1µ
M(q) ^j
(^{1 + O(1)})^,
t → ∞,

здесь функция A(s) задана в (4).

В этом параграфе исследованы свойства процесса
Z(t)
с точки зрения

общей классификации состояний непрерывных цепей Маркова. Введем
множество S := _{j ∈ N : P_1j (t) > 0, t ∈ T _}. Известно, что если переходные
вероятности непрерывной цепи Маркова экспоненциально убывает к нулю, то положительная и не зависящая от i ∈ S величина
_{λ = −lim} ln P_ii (t)

^S t →∞ _t
характеризует «степень распада» пространства состояний этой цепи и называется параметром распада. В этом случае инвариантная мера рассматриваемой цепи называется λ_S -инвариантной мерой. Состояния этой цепи классифицируются в зависимости от значения интеграла
_∫ +∞ e^λStP (t)dt .
₀ ii
Если последний интеграл равен ∞, то цепь Маркова с переходными

вероятностями
P_ij (t)
называется λ_S -возвратной. Если интеграл конечен, то

цепь называется λ_S -невозвратной. В соответствии с общей классификацией возвратных марковских процессов, состояние i ∈ S называется λ_S -

положительным, если lim_{t →∞}
e^λStP (t) > 0 , в противном случае λ
-нулевым.

ii

S
Имеет место следующая теорема.
Теорема 17. Пусть a ≠ 0 и выполнено условие [A] . Тогда
λ_S = ln β

и Z(t)
является λ_S -положительным. Множество чисел _{µ _{j }}
является

единственной (с точностью до постоянного множителя) λ_S -инвариантной
мерой для процесса Z(t).
Введем в рассмотрение условные вероятности перехода
^P~ij ^{(t) := Pi} {^{Z(t) = j t < H < ∞}}
и соответствующую ПФ

i
^{V (t;s) =} _∑^P~ij ^{(t)s j .}
j ∈N
Доказаны следующие теоремы.

Теорема 18. Если a ≠ 0 , то пределы
^{lim P~}ij ^{(t) = νj,}
t →∞


j ∈ N ,

существуют независимо от i ∈ N , и ПФ
V(s) = _∑ ν s ^j
имеет вид

j ^j∈N
_{V(s) =} M(qs)
M(q)

46

для всех s ∈ [0,1), где функция M(s) определена в Теореме 14.
Теорема 19. Пусть a = 0 . Если 2b := f ^′′(s ↑ 1) < ∞ , то для всех i ∈ N

= ⋅
tV (t;s) ^{1 1} + ρ(t;s),

ⁱ b 1 − s

где ρ(t;s) = O ₍1 t₎ при t → ∞ , равномерно для всех s ∈ [0,1).
Последние две теоремы подтверждают, что случайный процесс


Z^~(t),

определенный вероятностной мерой эргодическую цепь Маркова.
^P~ij ^(t)
образует непрерывную

В §3.4 рассматривается марковский ветвящийся процесс с иммиграцией
(МВПИ) непрерывного времени. Помимо превращения частиц, эти процессы развиваются за счет возможного случайного притока в популяцию
«посторонних» частиц того же типа извне, управляемый случайным
механизмом, такой, что за малый промежуток времени (t,t + ε) с

вероятностью
b_j ε + O(ε)
в популяцию иммигрируют j ∈ N частицы. С

вероятностью 1 + b₀ε + O(ε) иммиграция отсутствует. Интенсивность притока

«частиц-иммигрантов»
b_j ≥ 0
для j ∈ N и
0 < −b₀
^{= ∑}j ∈N ^bj
< ∞.

j
Поступившие в популяцию «частицы-иммигранты» в дальнейшем претерпевают превращения по закону интенсивностей _{a_{j }}. МВПИ полностью задается определением инфинитезимальных ПФ

j
f (s) = _∑ a s ^j и
j ∈N₀
g(s) = _∑ b s ^j .
j ∈N₀

Пусть величина
X(t)
обозначает численность популяции частиц в

момент времени t . Состояния МВПИ образуют однородную цепь Маркова

непрерывного времени на множестве
^{N0 . Процесс} {^X(t)}
называется

докритическим, критическим и надкритическим, если a < 0 ,
a = 0
и a > 0 ,

соответственно. Вследствие марковской природы, переходные вероятности

^{pij (t) := Pi} {^{X(t) = j}}
удовлетворяют уравнениям Колмогорова-Чепмена для

любых i, j ∈ N и t ∈ T . Соответствующая ПФ имеет представление
^{P(t;s) :=} _∑ ^{p (t)s j =} [^F(t;s)]i ^exp_{∫ t ^g (^F(τ;s))^dτ_}^,
i ij
j ∈N₀ ⁰
где F(t;s) = Es^Z(t) ПФ МВП без иммиграции Z(t).

В некритическом случае свойства процесса
X(t)
исследованы в

соответствии с общей классификации состояний непрерывных цепей

j
Маркова. В частности показано, что при a ≠ 0 и
^∑j ∈N
b q ^j ln j < ∞
параметр

распада рассматриваемого процесса λ_X
= g(q)
и все его состояния являются

λ_X -положительными. Доказано также, что числа
υ := lim ^{p0 j (t)}

p
^j t →∞
00
(t)

47

образуют единственную (с точностью до постоянного множителя)
λ_X -

инвариантную меру. Кроме этого доказано, что в этих же условиях, для всех
s ∈ [0,q) выполняется сходимость

i
e^λXt ⋅ P(t;s) →qⁱ ⋅ C(s), t → ∞, (5)

где ПФ
C(s) = _∑ σ s ^j
имеет следующий вид:

j ∈N₀ ^j
C(s) = exp_^_∫ q ^{g(x) − g(q)}dx^_ .

^{ s}
f (x) _

j
Следующая теорема улучшает результат А.Пэйкса, доказанный при

конечности моментов
^∑j ∈N
a j² ln j
^{и ∑}j ∈N
b_j j ln j
для критического случая.

Теорема 20. Пусть a = 0 . Если 2b := f ^′′(s ↑ 1) < ∞ , α := g ^′(s ↑ 1) < ∞ , то для всех i ∈ N и для s ∈ [0,1)

i
t ^λP(t;s) → π(s), t → ∞,

где λ = α b
и ПФ π(s) = _∑ π s ^j
имеет следующий вид:

j ∈N₀ ^j
₁ _


^{1 } g(u)
_{λ } _

π(s) =
_λ exp_∫
 ₊
^ du_.

[^{b(1 − s)}]
_ s
^_ f (u) 1 − u ^_{ }

ПФ π(s) порождает инвариантную меру _{π_{j }} для МВПИ.
Основным результатом §3.5 является следующая теорема, в которой
оценена скорость в сходимости (5).

j
Теорема 21. Пусть a ≠ 0 . Если

1. 
   , то для всех i ∈ N
   

^∑j ∈N
b q ^j ln j < ∞
и выполнено условие

|g (q )|t i
_^ _^g ^′(q)
_{i }


t ^

e P_i (t;s) ∼ q C(s)⋅ _1 + _
— _A(0)⋅ β _,
t → ∞ ,

_^ _^ ln β
_{q } _

где β := exp_{f ^′(q)_}, функция A(s) определена равенством (4).
В §3.6 продолжено исследование свойства МВП, при условии f ^′′ (s ↑ 1) = ∞. Из первоначальных рассуждений Главы III следует, что для того чтобы инвариантное распределение _{ν_{j }}, определенное в Теореме 18 для некритического случая, имело конечное математическое ожидание

m := V^′(s ↑ 1) = _∑ jν_j =
q _,
A(0)

j ∈N
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [A] .

Пусть
F^{^}(t;s) = F(t;qs) q , где q есть вероятность вырождения МВП. В

случае
q < 1 ПФ
F^{^}(t;s)
определяет докритический МВП без иммиграции. В

следующей лемме найдено асимптотическое представление функции
R^{^}(t;s) = 1 − F^{^}(t;s).
Лемма 5. Пусть a ≠ 0 . Тогда для всех s ∈ [0,1)

48

β
R^{^}(t;s) = (1 − s)l (t;1 − s)⋅ β^t ,

где
l_β (t;x ↓ 0) = 1 для всех t ∈ T и, функция
l_β (x) := l_β (t₀;x) ∈ S₀
для любого

фиксированного
t₀ ∈ T . Если дополнительно, выполнено условие [A] , то

l_β (t;1) = l_a
(^βt ) ^{→ 1 m}
при t → ∞ .

В случае, когда процесс критический, основным предположением
является возможность представления инфинитезимальной ПФ f (s) в виде

f (s) = (1 − s)^1+ν L ^
1 _
[^ℜ ]

^1 − s ^{ ν}

для
s ∈ [0,1), где 0 < ν < 1 и
L(t) ∈ S_∞ . Последнее предположение дает

возможность исследовать асимптотические свойства критического процесса

Z(t)
в случае
f ^′′(s ↑ 1) = ∞. В этом случае доказана следующая Основная

лемма теории критических МВП.
^{Лемма 6. Если выполнено условие} [^ℜν ]^{, то для всех s ∈ [0,1)}

R(t;s) =
N (t) _⋅ ^_{1 −} M(t;s)_^_,




 _νt 

где функция
N (x)
определена условием [ N ]. Для функции
M(t;s)

справедливы свойства
M(t; 0) = 0
и M(t;s) → M(s)
при t → ∞ , здесь ПФ

j ^j∈N
M(s) = _∑ m s ^j
имеет вид
M(s) = _∫ s ^dx
. (6)

⁰ f (x)
Последние две леммы играют важную роль в исследовании асимптотических свойств случайного процесса Z(t). В частности, с помощью этих лемм доказаны следующие локальные предельные теоремы.
Теорема 22. Если a ≠ 0 , то

11
β^−t ⋅ P
(t) =
a₀
⋅ l_a
(β^t ₎(1 + O(1)),
t → ∞ ,

где
l_a (x) ∈ S₀
. Если выполнено условие [A] , то
^l (^βt ) ^{→ 1 m}
при t → ∞ .

a
Теорема 23. Если a = 0
^{и выполнено условие} [^ℜν ]^{, то}

(νt)^{1+1 ν} ⋅ P
(t) = ¹

11
a
^{N (t)}(^{1 + O(1)})^,
t → ∞,

где функция
N (t) ∈ S_∞
0
определена условием [ N ].

Следующая теорема является аналогом Теоремы 14.

Теорема 24. Пусть
a ≠ 0
и q^ɶ = a₀ | ln β |. Если выполнено условие [A] ,

то имеет место соотношение
M_i (t;qs)

^{1 −} q^ɶ ⋅ iqⁱ⁻¹
→(1 − s)l_µ (1 − s),
t → ∞,

где функция
l_µ (x) ∈ S₀
такая, что
l_µ (1) = 1 и
l_µ (0) = m . Более того
49

M(q) = q^ɶ
и M^′(q) = ^qɶ m .
q

Из предыдущих параграфов известно, что случайный процесс определенный вероятностной мерой
^P~ij ^{(t) := Pi} {^{Z(t) = j t < H < ∞}}^,
Z^~(t),

образует эргодическую цепь Маркова. В следующей теореме установлены свойства инвариантных мер, порожденных ПФ

i
^{V (t;s) =} _∑^P~ij ^{(t)s j .}
j ∈N
^{Теорема 25. Пусть выполнено условие} [^ℜν ]^{. Тогда для всех i ∈ N}

νt ⋅ V_i (t;s) → M(s),
t → ∞ ,

где ПФ
M(s) = _∑ m s ^j
определена в (6) и она порождает инвариантную

j ^j∈N

ν
меру {m_j , j ∈ N} для эргодической цепи Z^~(t). Более того

n
∑ ^mj
j =1
= ¹ n
ν² ⋅ Γ(ν)
L_µ (n),

где Γ(∗) – Гамма функция Эйлера и
L_µ (n)⋅ L(n) → 1
при n → ∞.

Последняя четвертая глава названа «Марковские Q-процессы с непрерывным временем», в ней изучен непрерывный аналог Q-процесса. В первом параграфе определен процесс W (t) вероятностной мерой
^Q_ij (t)^ := ^lim P_{i {}Z(t) = j t + τ < H < ∞_}^{
  }_τ→∞ ^_
для любого t ∈ T . Этот процесс называется марковским Q-процессом
(МQП) с пространством состояний E ⊂ N . Показано, что переходные
вероятности МQП имеет следующий вид:
_jq j −i

^Pi {^{W (t) = j}} ^{= Q}_ij ^{(t) =}
iβ^t
P_ij (t),
i, j ∈ E , (7)

где
β = exp{f ^′(q)}
и P_ij (t) = P_i {Z(t) = j}
– переходные вероятности

^{процесса} {^Z(t)}^{. Найдено следующее локальное представление,}

определяющее изменение вероятностей Q_1j
за малый промежуток времени:

здесь
Q_1j (ε) = 1 + λ_j ε + O(ε),

ε ↓ 0 ,

λ₁ = a₁ − ln β и
λ = jq ^j−1a
≥ 0 для
j ∈ E \ {1} . (8)

j

j
Из полученного представления следует, что процесс
определяется следующей инфинитезимальной ПФ:
W (t)
полностью

j
g(s) := _∑λ s ^j
j ∈E
= s _^f ^′(qs) − f ^′(q)^_ ,

где g(s ↑ 1) = _{∑j ∈E} λ _j

50
= 0 и

0 < −λ₁ =
∑ ^λ j j ∈E \{1}


< ∞.

Известно, что свойство дифференцируемости переходных вероятностей играет важную роль в теории непрерывных цепей Маркова. В частности,

матрица с компонентами q_ij
:= Q_ij^′(ε ↓ 0), называемая q-матрицей, определяет

инфинитезимальные характеристики МQП. Если предел
_{q = −lim} 1 − Q_ii (ε)

ⁱⁱ ε↓0 _ε

конечен, то состояние i ∈ E процесса W (t) называется стабильным.
Теорема 26. Все состояния МQП стабильны. Функция перехода


Q_ij (t)

 
непрерывно дифференцируемая по t ∈ T и, q-матрица
W (t) имеет следующие компоненты:
^q_ij ,i, j ∈ E^
процесса

^_iλ₁ + (i − 1)ln β,

i = j,

^qij
₌ _

^jλ j−i +1


, i ≠ j,

где λ_i
 j − i + 1
определены в (8). Более того, имеет место
Q_i^′_j (t) = _∑q_ikQ_kj (t)
k ∈E

– обратная система уравнений Колмогорова.

Введем в рассмотрение ПФ
G_i (t;s) = _∑


j ∈E
Q (t)s ^j , соответствующую

ij
переходным вероятностям Q_ij (t). Из равенства (7) следует
G (t;s) = ^F^{^}(t;s)^i−1 G(t;s) ,

i
где F^{^}(t;s) = F(t;qs) q и
_ _

G(t;s) = Es^W(t) =
.
u=qs

В §4.2 исследованы свойства траекторий процесса W (t). Как и в
дискретном случае, классификация состояний этого процесса зависит от значения структурного параметра β = exp{f ^′(q)} .
Теорема 27. Пусть имеется МQП со структурным параметром

_< 1 ,
β = ^_
^= 1 ,
^
при


при
k = 1,
k = 2.

Если конечен первый момент α = g ^′(s ↑ 1) , то

i
^{tk−δ1k ⋅G (t;s) = U(s)}(^{1 + O(1)})^,


t → ∞,

где k = 1, 2 и δ_1k – дельта Кронекера. ПФ
U(s)
порождает инвариантную

меру _{u_j , j ∈ E_} для МQП. Причем

1. 
   если
   

β < 1 , то _{u_{j }}
есть распределение вероятностей и

51

U(s) = s


f (qs)
A(qs) ;

2. 
   если
   

β = 1, то
^∑j ∈E ^uj
= +∞ и
U(s) = ^2s .

αf (s)
Следующая теорема показывает, что существование инвариантной меры

для процесса
W (t)
можно доказать без предположения моментных

ограничений относительно вероятностей Q_ij (t).
Теорема 28. Для всех i, j ∈ E существуют пределы
ω := lim ^{Qij (t)} .

Q
^j t →∞
11
(t)

Множество чисел _{ω_j , j ∈ E_}
представляет собой инвариантную меру для


МQП и соответствующая ПФ имеет вид
j _
^s | h(z) | ^_

W(s) = _∑ω_js
= s exp_{∫ ɵ}
dz_

j ∈E
^{ 0}
f (z) _

и, она сходится для s ∈ [0,1), где h(s) = g(s) s
и ^ɵf (s) = f (qs) q .

В §4.3 с целью отыскания других предельных законов, отличающихся от законов, полученных в предыдущих параграфах, отказано от условия
α := g ^′(s ↑ 1) < ∞ . Для случая β < 1 предусмотрено условие

Теорема 29. Если
_∑λ _j ln j < ∞. [L]
j ∈E
β < 1 , то для всех i ∈ E

G_i (t;s) = s
^{ln β} (1 − s)l
^ɵf (s) ^{β
(t;1 − s)}(^{1 + O(1)})^,
t → ∞ ,

где
^ɵf (s) = f (qs) q . Для любого фиксированного
t₀ ∈ T функция

l_β (x) := l_β (t₀;x) ∈ S₀ и l_β (t;x ↓ 0) = 1 для всех t ∈ T . Если выполнено условие
[L], то существует предел π(s) := lim_{t →∞} G_i (t;s) и имеет вид

_{π(s) = s} | ln β | 1
(1 − s)l(1 − s)

m ^ɵf (s)

для всех
s ∈ [0,1), здесь функция
l(x) ∈ S₀
с значениями
l(1) = 1 ,

l(x
↓ 0) = m , где m := V^′(s ↑ 1) и функция
V(s) определена в Теореме 18. ПФ

j ^j∈E
π(s) = _∑ π s ^j
порождает инвариантное распределение для МQП.

Для случая
β = 1
^{требовано выполнение условия} [^ℜν ]^{, которое}

достаточно для условия g ^′(s ↑ 1) = ∞.
Доказаны следующие теоремы.
Теорема 30. Если β = 1, то для всех i ∈ E и s ∈ [0,1)
52

_(νn)1+1 ν
N (t)
^{⋅Gi(t;s) = µ(s)}(^{1 + ρ(t;s)})^,

где
ρ_n (s) → 0
при t → ∞ равномерно для всех
s ∈ [0,1). Функция
N (t)

j ^j∈E
определена условием [ N ]. ПФ µ(s) = _∑ µ s ^j
имеет следующий вид:

µ(s) = ^s
_L _ 1 __,

(1 − s)^{1+ν
µ }1 − s ^

где
L_µ (t)⋅ L(t) → 1
при t → ∞ и множество чисел _{µ _{j }}
образует

инвариантную меру относительно вероятностей Q_ij (t).
Теорема 31. Пусть β = 1. Тогда для всех i ∈ E

P ^{ N (t)} W (t) < x^ →G(x),
t → ∞ ,

i ^_(νt)1 ν
^

где функция N (t) определена условием [ N ] и преобразование Лапласа

∫
e^−θxdG(x) = ¹ .

+
R
Утверждение Теоремы 31 обобщает известную теорему Харриса,

установленную для
ν = 1
и при
g ^′(s ↑ 1) < ∞ для Q-процесса.

Действительно, в случае, когда ν = 1 , преобразование Лапласа в теореме
принимает вид (1 + θ)⁻² , что соответствует закону Эрланга 1 −e^−x − xe^−x

53