|
Теорема 3. В условиях Леммы 2
n
νn ⋅ V(i)(s) = M(s)(1 + o(1)),
n → ∞,
где функция
M(s)
имеет представление
M(s) = ∑ m s j . Множество
j j∈N
{mj } образует инвариантную меру и
∑j ∈N mj
= ∞ .
При дополнительных условиях на функцию
L(x)
установлен результат,
в котором существенно уточнено утверждение Леммы 2. Для этого наложено
следующее предположение. Поскольку
L(x) ∈ S∞ , то согласно определению
ММ-функций, для любого λ > 0 допускается представление
L(λx) = 1 + α(x), [L ]
L(x) α
где α(x) = O (1 ϕ(x)) и
ϕ(x) положительно возрастающая функция такая, что
ϕ(x) → ∞ при x → ∞ и, для некоторых
γ > 0
и X > 0
функция
x −γϕ(x)
является невозрастающей при x > X . В случае выполнения условие [Lα ]
говорят, что функция
40
L(x) медленно меняется с остатком α(x).
Введем обозначение:
Λ(y) := yνL 1 = F(1 − y) − (1 − y),
y ∈ (0,1].
y y
Лемма 3. Пусть
A = 1. Если выполнены условия [ℜν ], [Lα ] и
α(x) = O (L(x) x ν ), то справедливо асимптотическое представление
Λ(R (s)) =
Λ(1 − s)
+ O ln n ,
n → ∞.
1
n Λ(1 − s)νn + 1
n
Последнее утверждение является прямым аналогом Основной леммы теории критических ветвящихся процессов Г-В с оценкой остаточного члена, установленной при условии конечности момента F ′′′(s ↑ 1) ].
Используя Лемму 3, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Пусть A = 1 и
p1 ≠ 0 . Если выполнены условия Леммы 3, то
имеет место следующее соотношение:
n1+1 ν ⋅ P
(n) =
N (n)
+ O ln n ,
n → ∞ ,
p
1
n
11
0
где функция
N (x) ∈ S∞
такая, что удовлетворяет условию [ N ].
В §1.4 демонстрирована возможность применения метода Стейна- Тихомирова в доказательстве предельных теорем теории ветвящихся процессов. Этим же методом доказана следующая теорема.
Теорема 5. Если
A ≠ 1, то для всех
s ∈ [0,1)
существует ПФ
V(s) = lim
n→∞
V(i)(s), с значениями
V(0) = 0 и
V(1) = 1 . Более того
n
1 − V(i)(s)
n → l(1 − s), 1 − s
n → ∞ ,
где
l(x) ∈ S0 . Если выполнено условие [A], то
l(x ↓ 0) = m
и l(1) = 1 .
Последние два параграфа Главы I посвящены изучению предельных свойств переходных вероятностей процесса Г-В с иммиграцией (ГВИ). Процесс ГВИ определяется двумя ПФ вероятностей. В то время когда ПФ
F(s) характеризует закон превращения частиц, закон поступления частиц-
j ∈N0 j
иммигрантов порождается ПФ G(s) := ∑ h s j . Последовательность числа
ij i n
поколений {Xn }
образует однородную цепь Маркова с пространством
состояний
S ⊂ N0 . Обозначим
p(n) := P {X
= j}
переходные вероятности и,
пусть
P(i)(s) := ∑
j ∈S
p(n)s j . Процесс {X }
называется докритическим,
n
ij
n
p
p
критическим и надкритическим, если A < 1, A = 1 и A > 1, соответственно.
В §1.5 показано, что существуют числа
υj := limn →∞
(n) 0 j
(n ) 00
для всех
j ∈ S , и они образуют инвариантную меру для процесса ГВИ. В некритическом случае доказана следующая теорема.
Теорема 6. Если A ≠ 1, то для всех i, j ∈ S
41
qiυ
k
σ−np(n ) → j ,
n → ∞,
где σ := G(q) .
ij ∑
k ∈S
υ qk
В критическом случае рассмотрен случай, когда выполняется условие
[ℜν ]
с 0 < ν < 1
и ПФ закона поступления иммигрирующих частиц
G(s)
допускает следующее представление:
1 − G( s) = (1 − s) δ ℓ 1
[G ]
для всех s ∈ [0,1), где 0 < δ < 1 и
1 − s δ
ℓ( x) ∈ S ∞ .
Теорема 7. Пусть выполнены условия [ℜν ] и [Gδ ]. Если δ > ν , то цепь
{Xn } является эргодической и справедливо следующее соотношение:
(0)
Fn (s ) 1 −G(y)
P (s) ∼ K(s)exp ∫
dy,
n → ∞ ,
n
s
F(y) − y
где K(s) – ограниченная функция.
Во второй главе названной «Ветвящиеся процессы с дискретным
временем не вырождающиеся в далеком будущем» изучены структурные и асимптотические свойства процесса Wn , заданного вероятностной мерой
Qij (n) := lim Pi {Zn
= j n + k < H < ∞} = Pi {Zn = j H = ∞} .
k →∞
Этот процесс является однородной цепью Маркова с начальным состоянием
W =d Z , с пространством состояний
E ⊂ N и, называется Q-процессом.
0 0
Величина Wn
обозначает размер состояния процесса в момент времени n и
переходные вероятности для всех i, j ∈ E
jq j −i
Qij (n) = Pi {Wn
= j} =
iβn
Pij (n),
n
где β := F ′(q) и Pij (n) – переходные вероятности процесса Г-В {Zn }.
В §2.1 найдено представление для ПФ
Y (i)(s) := ∑
ij
j ∈E
Q (n)s j . В §2.2
показано, что классификация состояний цепи Маркова {Wn }
зависит от
значения структурного параметра β. Цепь {Wn }
является положительно
возвратной, если β < 1 , и будет невозвратной если β = 1.
В §2.3 рассмотрена случайная величина S
= ∑n−1W
, обозначающая
n k =0 k
сумму всех состояний до момента времени n в Q-процессе. Обозначим
1
Y (s) := Y (1)(s)
и пусть
α := Y ′(s ↑ 1) < ∞. Доказано, что в случае
β < 1
между величинами Wn
и Sn
существует «асимптотическая независимость».
Последующие две теоремы являются основными результатами §2.3.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
