Математика институти

Теорема 8. Пусть β = 1 и α < ∞ . Тогда двумерный процесс

42

_{ Wn}

_; ^Sn ^

^_EW_n ES_n ^_



θ
слабо сходится к двумерной величине (w; s) с преобразованием Лапласа



  _{
E e}−λw−θs _{ = ch}

₊ λ sh
2 θ
_−2
 _,
_
λ, θ ∈ R₊ ,

где ch x
= (e^x
+ e^−x ) 2 и
sh x
= (e^x −e^−x ) 2 .

Эта теорема объединяет ранее известные результаты, в том смысле, что последние были установлены в одномерном случае, отдельно для

нормированных величин W_n
EW_n
и S_n
ES_n .

Теорема 9. Пусть
β < 1 , α < ∞ и
γ = (α − 1) (1 − β). Тогда

_{P {}S_n − ES_n
< x _}→ Φ(x)

при n → ∞ , где постоянная величина
Ψ = γ(2 + βγ)
2(1 − β)
и Φ(x) –

стандартный нормальный закон распределения.
^{В §2.4 исследованы свойства процесса} {^Wn }

в случае, когда

α := Y ^′(s ↑ 1) = ∞ . Для случая
β < 1 предусмотрено условие
^E[^lnW1] ^{< ∞ . [L]}

Теорема 10. Пусть β < 1 . Если выполнено условие [L], то для всех

n
s ∈ [0,1) существует предел π(s) := lim


n →∞
Y ⁽ⁱ⁾(s) и имеет вид

π(s) =
¹ sV^′(s),
m

где функция
V(s)
определена в (2) и
m = V^′(s ↑ 1). ПФ
π(s)
порождает

инвариантное распределение _{π_j , j ∈ E_} для Q-процесса {W_n }.

В случае
β = 1
соответствующий процесс Г-В является критическим и

^{для того чтобы α = ∞, достаточно потребовать выполнение условия} [^ℜν ]^{.
Лемма 4. Пусть β = 1. Если выполнено условие} [^ℜν ]^{, то}
_{ }1+ν

Y (s) = s ^{Rn (s)
n } 1 − s ^
, n → ∞

^ ^
для всех s ∈ [0,1), где q_n = R_n (0).
L ₍1 (1 − s)₎

С помощью Леммы 3 и Леммы 4 доказаны следующие теоремы.

Теорема 11. Если
^{β = 1 и выполнено условие} [^ℜν ]^{, то для всех i ∈ E}

_(νn)1+1 ν

n n
N (n)
^{Y (i)(s) = µ(s)}(^{1 + ρ
(s)})^,
n → ∞,

43

где
ρ_n (s) → 0
равномерно для s ∈ [0,1) и, функция
N (x) определена условием

[ N ]. Функция
µ(s)
разлагается в степенной ряд
_∑ µ s ^j , в котором

j ^j∈E
коэффициенты _{µ _{j }} имеют свойство µ _j = _∑i∈E µ_iQ_ij (1) . Более того

n
∑^µ j j =1
∼ ¹ n
Γ(2 + ν)
1+ν
L_µ(n),
n → ∞,

где
L_µ (n)⋅ L(n) → 1
при n → ∞ и
Γ(∗) – Гамма функция Эйлера.

Теорема 12. Пусть β = 1. Тогда для всех i ∈ E распределение

_P ^_ N (n) _W
< x^

i ^_(νn)1 ν n
^

слабо сходится к закону распределения G(x), для которого

∫
e^−θxdG(x) = ¹ .

+
R

В следующей теореме получена оценка остаточного члена
ρ_n (s) в

Теореме 11 при дополнительных условиях на ММ-функцию L(x).

Теорема 13. Пусть
β = 1. Если выполнено условие [L_α ]
с остаточным

членом
α(x) = O ₍L(x)
_x ν ₎
при x → ∞ , то для асимптотической формулы в

Теореме 11 имеет место следующая равномерная для остаточного члена:
s ∈ [0,1)
оценка

ρ (s) = O ^{ ln n },



n → ∞.

^{n } _n ^
Третья глава, названная «Асимптотические исследования марковских
ветвящихся случайных процессов с непрерывным временем», посвящена асимптотическому исследованию марковского ветвящегося процесса (МВП)

с непрерывным временем. Обозначим
Z(t)
численность популяции частиц в

МВП в момент времени
t ∈ T
= [0, +∞). Известно, что переходные

вероятности
^{Pij (t) = Pi} {^{Z(t) = j}}
удовлетворяют уравнению Колмогорова-

Чепмена. Эти вероятности, согласно условию ветвления, определяются i -

кратной сверткой вероятностей
P_1j (t). Поэтому для изучения МВП

достаточно определить P_1j (t). Эти вероятности задаются соотношением

P_1j (ε) = δ_1j + a_j ε + O(ε),
ε ↓ 0 , (3)

здесь
δ_ij – знак Кронекера, числа {a_j }
представляют собой интенсивности

превращения частиц, для которых
0 < a₀ < −a₁ =
∑ ^aj
j ∈N₀ \{1}


< ∞ .

j
Из (3) следует, что a_j
= lim_ε↓0 P_1j (ε) ε = P₁^′_j (0)
при
j ≠ 1 и для ПФ

F(t;s) = _∑ P_1j
j ∈N₀

20. 
    s ^j
    

и f (s) = _∑ a s ^j j ∈N₀

44

справедливо для s ∈ [0,1) представление
F(τ;s) = s + f (s)⋅ τ + O(τ),

τ ↓ 0 .

Пусть
a := f ^′(s ↑ 1) < ∞. Согласно классификации ветвящихся процессов,

Z(t) называется докритическим, критическим и надкритическим, если a < 0 ,

a = 0
и a > 0 , соответственно. Величина
^{q = inf} {^{s ∈ (0,1] : f (s) = 0}}

обозначает вероятность вырождения МВП с Z(0) = 1. Введем обозначение
β := exp_{f ^′(q)_}. Исследования показывают, что в некритическом случае
асимптотические свойства процесса Z(t) зависят от свойств функции

_ ^q _{ 1}
f ^′(q)^{ }_

A(s) = (q − s)exp_∫ ^ − ^ du_. (4)
s ^_u − q f (u) ^_{ }

Пусть величина
^{H := inf} {^{t ∈ T
: Z(t) = 0}} ^{обозначает момент вырождения}

МВП. В §3.2 доказано, что для того чтобы имела место асимптота
P {t < H < ∞} ∼ A(0) ⋅ β^t , t → ∞,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
_∑a_j j ln j < ∞ . [A ]
j ∈N
В §3.3 показано, что асимптотическое представление переходных

вероятностей P_ij (t)
МВП и ПФ инвариантных мер этих процессов задаются с

помощью функции A(s). В частности, для всех i ∈ N

M (t;s) =
P_ij (t) _{s j}


→iqⁱ⁻¹ ⋅ M(s),
t → ∞ ,

i _{∑ P}
(t)

j ∈N ¹¹

где функция
M(s)
разлагается в степенной ряд
M(s) = _∑ µ s ^j и

j ^j∈N
неотрицательные коэффициенты _{µ _{j }}
образуют инвариантное распределение

для процесса Z(t). Доказаны следующие теоремы.