Matematika-informatika fakulteti

II BOB. PIKAR TENGLAMASI
2.1-§. Pikar teoremasi
Pikar teoremasining isboti. Mavjudligi. Ekvivalentlik lemmasiga ko’ra Koshi masalasi (9)-(10) o’rniga ushbu
(1)
integral tenglamani yechish masalasini ko’ramiz. Bu tenglamaning yechimini Pikarning ketma-ket yaqinlashish metodi bilan izlaymiz. intervalda yaqinlashgan funksiyalar ketma-ketligini quyidagicha ko’ramiz;
shufunksiyalarning grafigi, intervalda

to’g’ri to’rtburchakdan chiqib ketmaydi, ya’ni haqiqatdan.

tasdiqlab o’tamizki, ketma-ketlikning hadlari ko’rilayotgan intervalda uzluksiz, hatto differensiallanuvchidir.
Endi qurilgan ketma-ketlik intervalda tekist yaqinlashuvchi ekanligini intervalda tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Ushbu
(2)
Funksional qatorni ko’ramiz.Uning n- xususiy yig’indisi

bundan

Shuning uchun(2) qatorning tekis yaqinlashuvchi ekanligi
isbot qilish yetarli, (2) qatorning har bir hadini baholaymiz, tengsizlikni hisobga olgan holda

Induksiya usuli bilan:
(3)
Tengliksiz o’rinli bo’lsa, shu qonun n dan n+1 ga o’tganda ham o’rinli ekanligini isbotlash mumkin:

Shunday qilib tengsizlik ixtiyoriy natural n lar uchun to’g’ri. Haqiqatdan ga ko’ra

va
sonli qator yaqinlashuvchi, shunki Dalamber alomatiga ko’ra

Endi topilgan shu limit funksiya , masalasining yechimi ekanligini isbot qilamiz,
Buning uchun da

tenglikdan
(4)
Tenglik kelib chiqishini isbotlash lozim, haqiqatdan ravshanki


ketma –ketlikning funksiyaga tekis yaqinlashuvidan uchun shunday N nomer topiladiki, n>N bo’lganda
tengsizlik o’rinli bo’ladi shuning uchun

bo’ladi. Bunda

shunday qilib

dan (1) ning o’rinli ekanligini kelib chiqadi.
Yagonaligi tenglamaning shartni qanoatlantiradigan yana bitta yechim bo’lsin. Uning aniqlanish intervali bo’lib va funksiyalarning aniqlanish intervallarining umumiy qismi dan iborat bo’lsin. U holda da ekanligini isbotlaymiz.
Shartga ko’ra

ayniyatlarga egamiz.
Bundan uchun
ya’ni

ga egamiz.
Bu yerdan Gronuall lemmasining natijasiga ko’ra

kelib chiqadi uchun ham mulohazalar shunga o’xshashdir. Yagonaligi isbot etiladi. Pikar teoremasi isbotlanadi.