Matematika-informatika fakulteti

Normal va musbat operatorlar

Chiziqli operator uchun bo’lsa, u normal deb ataladi. Bu holda va operatorlar L da umumiy xos e vektorga ega. Mos xos sonlar o’zaro kompleks qo’shma sonlar. Haqiqatan , , bo’lsa, u holda bundan .

Teorema. Chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli operator uchun xos bektorlardan iborat ortonormal basis mavjud bo’lishi uchun uning normal bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Chiziqli operator uchun - uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis va - ularga mos xos sonlar bo’lsin. Bu bazisda ushbu matrisaga, esa ushbu matrisaga ega. Dioganal A va matrisalar o’rin almashish xossasiga ega bo’lgani sababli ya’ni normal.

Teskari tasidiqni n=dimL bo’yicha induksiya ishlatib isbotlaymiz. Agar n=1 bo’lsa, tasdiqning to’g’riligi ravshan. Endi n>1 , - chiziqli va operatorlarning L dagi umumiy xos vektori, va bo’lsin. U holda bo’lib, fazo va ga nisbatan invariant bu ni chiziqli forma deb qaraymiz. Haqiqatan , agar bo’lsa, u holda va . Induksiya faraziga muvofiq da operatorning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormal bazisdir.