Matematika-informatika fakulteti

Musbat operatorlar

Agar chekli o’lchamli unitar L fazodagi chiziqli operator uchun tenglikni qanoatlantiruvchi maxsusmas chiziqli g operator mavjud bo’lsa, musbat deb ataladi. Ravshanki, ham maxsusmas va har qanday uchun .

Teorema . Chekli o’lchamli unitar L fazoda berilgan chiziqli operatorning musbat bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlarning musbat bo’lishi zarur va yetarli.

Isboti. Chiziqli operator musbat bo’lsin: . U holda , ya’ni o’z-o’ziga qo’shma, va demak, normal. Agar bo’lsa, u holda . Bundan .

Aksincha normal va barcha xos sonlari musbat bo’lsin. U holda biror ortonormal bazisda uning matrisasi quyidagi ko’rinishga ega:

.

Shunday qilib bu yerda g- matrisasi B bo’lgan chiziqli operator.