Matematika-informatika fakulteti

Unitar fazolarda chiziqli operatorlar va o’z-o’ziga qo’shma operatorlar.

L- unitar fazo va , chiziqli operatorlar bo’lsin.

Ta’rif. Agar har qanday uchun (1) tenglik bajarilsa, g operator ga qo’shma deb ataladi.

Agar operator uchun qo’shma operator mavjud bo’lsa, u yagona. Haqiqatan, agar g va h operatorlar ga qo’shma bo’lsa, u holda (1) bilan birga har qanday uchun tenglik ham o’rinli. Bu tengliklardan har qanday uchun tenglikni olamiz.

1. Darhaqiqat .

2. . Darahaqiqad,

3. Har qanday uchun . Darhaqiqat

4. . Darhaqiqad

5. Agar chiziqli operatorning teskarisi mavjud bo’lsa, u holda operatorning ham teskarisi mavjud va , darhaqiqat , chunki . Shunga o’xshash .

Teorema. Chekli o’lchamli unitar fazoda har qanday chiziqli f operator uchun qo’shmasi mavjud.

Agar va lar f va operatorlarning ortonormal bazisdagi matrisalari bo’lsa, u holda bo’ladi.

Isbot. A-chiziqli f operatorning ortonormal bazisidagi matrisasi bo’lsin:

Bu bazisda matrisaga ega bo’lgan chiziqli operatorni g orqali belgilatmiz:

Bichiziqli va formulalarni olamiz. Har bir va uchun

Tengliklardan , ya’ni barcha uchun tenglikni olamiz. Demak, .