Matematika fakulteti

3-súwret.

Bólistiriw funkciyası tosınnanlı shamanıń eń universal xarakteristikası bolıp, ol barlıq tosınnanlı shamalar ushın bar boladı.Eger x tosınnanlı shama bolsa, onda ol shekli yamasa sanaqlı sheksiz kóp mánislerdi qabıllaydı hám onıń hár bir x_i mánisti qabıl etiw itimallıǵı

P{x=x_i}=p_i.

Sonlıqtan

Endi bólistiriw funkciyasınıń qásiyetlerin keltireyik:

1. Qálegen x ushın 0boladı.

Dálilleniwi: A={ξ}deyik. al 0

ξ)<1

boladı, yaǵnıy 0x)<1degen sóz.

2. F(x) kemeymeytuǵın funkciya, yaǵnıy x₁>x₂

bolǵanda F(x₁)>F(x₂)

Dálilleniwi: x₁₂ bolsa,

{ξ₁}= {ξ₂}∪{x₂<ξ₁}.

bunda {ξ₂} hám {x₂<ξ₁} waqıyaları ǵárezsiz. Olay bolsa

P{ ξ ₁}= P{ ξ ₂}+P{x₂< ξ ₁}

bunnan

F(x₁)= F(x₂)+P{x₂< ξ ₁} (2.2)

Bizde P{x₂< ξ ₁}>0 bolǵanlıqtan

F(x₁)>F(x₂)

degen sóz.

3. F(-∞)=0; F(+∞)=1

Dálilleniwi: Haqıyqattanda, x noqat sol tamanǵa sheksiz jıljıǵanda tosınnanlı ξ noqattıń x tan solǵa túsiwi múmkin emes waqıyaǵa aylanadı, sonıń ushın

F(- ) =0.

Usıǵan uqsas, x noqat oń tamanǵa sheksiz jıljıǵanda tosınnanlı ξ noqattıń x tan ońǵa túsiwi isenimli waqıyaǵa aylanadı, sonıń ushın

F(+ ) =1.

4. Bólistiriw funkciyası F(x) soldan úzliksiz, yaǵnıy

P{ }=F(x-0)

Dálilleniwi: Qanday da ósiwshi x noqatqa soldan jıynalatuǵın

x₀₁₂<..._n<...

izbe-izlikti alayıq. Tómendegi waqıyanı kiriteyik:

A_n={x_n< }.

Onda i>j bolǵanda A_i⊂A_j bolıp, barlıq A_n waqıyalarınıń kóbeymesi múmkin emes waqıya boladı. (2.2) teńlikten

P{x₂< ₁}=F(x₁)-F(x₂) (2.3)

Úzliksizlik aksioması hám (2.3) teńlik boyınsha

Usını dálillew talap etilgen edi.

Tap usı sıyaqlı

P{ >x}=F(x+0)

ekenligin dálillewge boladı.

5. F(x) - bólistiriw funkciyası x=x₀ bolǵanda sekirmege iye deymiz, eger

bolsa. F(x) funkciyasınıń sekirmeleri sanaqlı kóplikten artıq bolmaydı.

Dálilleniwi: Bul qásiyet funkciyanıń monotonlıq shártinen kelip shıǵadı. Monotonlıq qásiyet boyınsha F(x) funkciyası haqıyqıy sanlar kósheri hár birewi birinshi túr úziliske iye bolatuǵın sanaqlı noqatlar kópliginen basqalarında úzliksiz boladı. Olay bolsa tosınnanlı shamasınıń qabıllaytuǵın hár qanday x₀ noqatında bir-birine teń emes sol jaq shek F(x₀-0) hám oń jaq shek F(x₀+0) bar boladı. Demek, bólistiriw funkciyasınıń qálegen x noqattaǵı sekirmesi sol noqattaǵı =x₀ waqıyasınıń itimallıǵı menen birdey, yaǵnıy

F(x₀+0)-F(x₀-0)= P{ =x₀}.

Bul tastıyıqlawdan bólistiriwdiń integrallıq funkciyasın úzilis noqatında qarastırsaq, onda ol noqatta úzliksiz tosınnanlı shama diskret tosınnanlı shamaday bolıp kórsetetuǵının bayqaymız.

Mısal. Tosınnanlı x shaması nıshanaǵa bir márte oq atqandaǵı tiyiwler sanı bolıp, nıshanaǵa tiyiw itimallıǵı 0,3 ke teń. Onıń bólistiriw funkciyasın tabıń hám grafigin jasań.

Sheshiliwi: Bólistiriw qatarı tómendegishe boladı:

Tosınnanlı shamasınıń bólistiriw funkciyasın anıqlayıq.

ushın F(x)=0, sebebi bul jaǵdayda <x waqıya

múmkin emes waqıya boladı; 0<x<1 bolsın. Onda ushın

F(x)=P{ <x}=P{x=0}=0,7; x > 1

bolsın. Bul jaǵdayda F(x)=P( <x)=1 boladı, sebebi >1 ushın <x waqıya isenimli waqıyaboladı.

Endi biz F(x) bólistiriw funkciyasınıń analitikalıq ańlatpasın jazıwımız hám onıń grafigin jasawımızǵa boladı.