Matematika fakulteti funksional analiz, algebra va geometriya

5- tariff. Agar mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasining har bir aksiomasi erkin bo’lsa, u holda mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi erkin deb ataladi.

6- teorema. Mulohazalar hisobining aksiomalar sistemasi erkindir.

Isboti. mulohazalar hisobining ixtiyoriy aksiomasi bo’lsin. Bu aksiomaning erkinligini isbotlash uchun mulohazalar hisobiga nisbatan quydagi usulni qo’llaymiz: mulohazalar hisobi o’zgaruvchilarni α va β qiymat qabul qiluvchi o’zgaruvchilar sifatida qaraymiz. Bu yerda α chin, β esa yolg’on rolini o’ynaydi.

˄,˅, ammalarni quydagi uchta shart o’rinli bo’ladigan qilib aniqlaymiz:

1. 
   aksiomadan tashqari sistemaning hamma aksiomalari tarkibidagi o’zgaruvchilarning barcha qiymatlarida faqat α qiymatni qabul qilsin;
   
2. 
   aksiomadan boshqa, aksiomalar majmuasidan keltirib chiqarilgan har qanday formula ham tarkibidagi o’zgarivchilarning barcha qiymatlarda faqat α qiymatni qabul qilsin;
   
3. 
   aksioma tarkibidagi o’zgaruvchilarning ayrim qiymatlarida β qiymatni qabul qilsin.
   

Agar aksiomaga nisbatan yuqorida keltirilgan interpretatsiya (izohlash) o’rinli bo’lsa, u holda aksioma boshqa aksiomalardan erkin ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar aksiomani mulohazalar hisobining boshqa aksiomalardan keltirib chiqarish mumkun bo’lganda edi, u shartlarning ikkinchisiga asosan tarkibidagi o’zgaruvchilarning barcha qiymatlarida faqat α qiymatni qabul qilib, bu esa 3-shartga zid bo’lardi. Demak, aksiomanani mulohazalar hisobining boshqa aksiomalardan keltirib chiqarish mumkun emas va u sistemadagi erkin alomatdir.

O’zgaruvchilarning o’rniga ularning ayrim qiymatlari qo’yilganda ham formulalar manoga ega deb kelishamiz. Masalan α˄β, α , α β α) va boshqalar.