Matematika fakulteti funksional analiz, algebra va geometriya

Mulohazalar hisobining zidsizlik muammosi.

1-tarif. Agar mulohaza hisobining ihtiyoriy va fo’rmulalar birgalikda isbotlanuvchi fo’rmula bo’lmasa, u holda bunday mulohazalar hisobi ziddiyatsiz aksiomatik nazariya, aks holda esa ziddiyatga ega aksiomatik nazariya deb ataladi.

Demak, ziddiyatsiz mulohazalar hisobida isbotlanuvchi va fo’rmulalar birgalikda isbotlanuvchi fo’rmulalar bo’la olmaydi.

Mulohazalar hisobida zidsizlik muomasi quydagicha qo’yiladi: berilgan mulohazalar hisobi ziddiyatlimi yoki ziddiyatsizmi?

2-teorema. Agar mulohazalar hisobida isbotlanuvchi va fo’rmulalar mavjudligi aniqlansa, u holda bu mulohazalar hisobida istalgan fo’rmula ham isbotlanuvchi fo’rmula bo’ladi.

Isbot. Bundan keyin har qanday isbotlanuvchi fo’rmulani va bilan belgilaymiz.

1. 
   Avval har qanday fo’rmula uchun (1) formulaning isbotlanuvchi ekanligini ko’rasatamiz. Haqiqattan ham, aksiomadan o’rniga qo’yish natijasida
   

(2)

ni hosil qilamiz. Ammo shartga ko’ra isbotlanuvchi fo’rmula, yani

⃓ (3)

U holda (2) va (3) fo’rmulalardan xulosa qoidasiga asosan (1) fo’rmulaning to’g’riligi kelib chiqadi.

2. 
   Endi har qanday uchun
   

(4)

fo’rmulaning isbotlanuvchi ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, aksiomani o’rniga qo’yish natijasida

(5)

formula kelib chiqadi. Ammo isbotlaganimzga asosan

(6)

O’z navbatida (6) va (5) dan xulosa qoidasiga binoan

(7)

formulani hosil qilamiz. Ikki karrali inkor amalini tushurish qoidasidan foydalanib va ni bilan almashtirilsa, formulaga ega bolamiz, yani (4) isbotlanuvchi formuladir.

3. 
   Har qanday uchun (8) formula isbotlanuvchi ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, va aksiomalarga asosan quydagilar isbotlanuvchi formulalar bo’ladi:
   

(9)

(10)

(9) va (10) lardan sillogizm qoidasiga binoan formulani keltirib chiqaramiz. Bu formuladan asoslarni birlashtirish qoidasini qo’llash natijasida formulaga kelamiz, ya’ni (8) ga ega bo’lamiz. (4) va (8) dan sillogizim qoidasiga asosan

(11)

Formulani hosil qilamiz. Ammo teoremaning shartiga ko’ra ⃓ va ⃓ u holda . Demak , isbotlanuvchi formula bo’ladi.