Matematika fakulteti funksional analiz, algebra va geometriya

Isboti. mulahazalar hisobidagi ixtiyoriy isbotlanmaydigan formula, esa formula tarkibiga kiruvchi o’zgaruvchilar bo’lsin.

isotlanmaydigan formula bo’lganligidan u aynan chin formula emas. Demak, o’zgaruvchilarning shunday qiymatlar satri mavjudki,

(12)

bo’ladi.

lar o’zgaruvchilarga bog’liq ixtiyoriy aynan chin formular bo’lsin majmuani qaraymiz, bu yerda



formuladan

O’rniga qo’yish bajarib,

Formulaga ega bo’lamiz.

(12) formulaning aynan yolg’on formula ekanligini ko’rsatamiz. o’zgaruvchining ihtiyoriy qiymatlar satrini olamiz. formulalar aynan chin formulalar ekanligidan bo’ladi. U holda o’rinli. Demak,

Bu yerdan ning aynan chin formula ekanligi kelib chiqadi va u isbotlanuvchi formula bo’ladi.

Ikkinchi tomondan, agar mulohazalar hisobining aksiomalar qatoriga formulani yangi aksioma sifatida qo’shsak, u holda hosil bo’lgan yangi mulohazalar hisobida bu formula aksioma bo’lganligi uchun isbotlanuvchi formula bo’ladi. Shu vaqtning o’zida yangi mulohazalar hisobida formula ham isbotlanuvchi formula bo’ladi, chunki u isbotlanuvchi formuladan o’rniga qo’yish qoidasi yordamida hosil qilingan.

Shunday qilib, yangi mulohazalar hisobida ikkita va isbotlanuvchi formulaga ega bo’lamiz. Demak, yangi mulohazalar hisobi ziddiyat ega bo’lgan aksiomatik nazariyadir. Bu yerdan uning tor manodagi to’liqligi kelib chiqadi.

5-teorema. Mulohazalar hisobi keng ma’noda to’liqdir.