Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi

{λx : λ ∈ K} elementlar to‘plami bir o‘lchamli qism fazo bo‘ladi.
Agar L ning o‘lchami birdan katta bo‘lsa, u holda {λx : λ ∈ K} 6= L.
6. [a, b] segmentda aniqlangan barcha ko‘phadlar to‘plamini P [a, b]
ko‘rinishda belgilasak, u holda bu to‘plam C[a, b] ning qism fazosi
bo‘ladi.
7. `2, c0, c, m, R∞ to‘plamlarning barchasi chiziqli fazo bo‘lib, har
biri o‘zidan keyingisining qism fazosi bo‘ladi.
L chiziqli fazo bo‘lib, L` uning biror qism fazosi bo‘lsin. Agar
x, y ∈ L elmentlarning ayirmasi L` fazosiga tegishli bo‘lsa, u holda
bu elementlarni ekvivalent deb ataymiz. Ekvivalentlik munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lgani uchun, u L ni o‘zaro kesishmaydigan sinflarga ajratadi. Bunday sinflar to‘plami L ning L` bo‘yicha faktor fazosi deb ataladi va L/L` ko‘rinishda belgilanadi. ξ va η sinflar L/L` faktor fazoning elementlari, hamda x ∈ ξ va y ∈ η bo‘lsin. ξ va η sinflarning yig‘indisi deb, x + y elementini o‘z ichiga oluvchi ν sinfga aytiladi; ξ sinf va α son ko‘paytmasi deb, α x elementini o‘z ichiga
oluvchi sinfga aytamiz. Bu amallar natijasi x va y lar o‘rniga xohlagan
boshqa x0 ∈ ξ va y0 ∈ η elementlarni olganda ham o‘zgarmaydi. Shunday qilib, L/L’ faktor fazosida qo‘shish va skalyar songa ko‘paytirish
amallari aniqlanadi. Bu amallar chiziqli fazo tarifidagi barcha shartlarni qanoatlantiradi. Shu sababli, har bir L/L’ faktor fazo chiziqli fazo
bo‘ladi.
Agar L chiziqli fazo n-o‘lchamli bo‘lib, uning L0 qism fazosi ko‘lchamli bo‘lsa, u holda L/L0 faktor fazosining o‘lchami n − k ga teng.
L chiziqli fazo bo‘lib, L’ uning biror qism fazosi bo‘lsin. L/L’ faktor
fazoning o‘lchami L0 fazoning L fazodagi koo‘lchami deb ataladi.
Agar L’ ⊂ L fazo chekli koo‘lchamga ega bo‘lsa, u holda L da shunday x1, x2, . . . , xn elementlarni saylab olish mumkin bo‘lib, ixtiyoriy
x ∈ L elementni yagona usulda
x = α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn + y
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda α1, α2, . . . , αn, ∈ K, y ∈ L0. Haqiqatan, Aytaylik, L/L0 faktor fazoning o‘lchami n ga teng bo‘lsin.
Bu faktor fazodan ξ1, ξ2, . . . , ξn bazis olib, har bir ξk sinfdan xk element
olamiz. x nuqta L ning ixtiyoriy elementi bo‘lib, bu elementni o‘z ichiga
oluvchi sinfni ξ orqali belgilaylik. U holda
ξ = α1ξ1 + α2ξ2 + . . . + αnξn.
x ∈ ξ bo‘lganligi sababli x − (α1, x1 + α2x2 + . . . + αnxn) ∈ L0. Unda L’ ning shunday y elementi mavjud bo‘lib,
x − (α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn) = y
tengligi o‘rinli bo‘ladi. Natijada x = α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn + y tengligi kelib chiqadi. Bu yozuvning yagonaligi L0 qism fazoning L/L` faktor fazosi uchun nol element bo‘lishidan kelib chiqadi.
L chiziqli fazoda aniqlangan g sonli funksiya funksional deb ataladi.
Agar barcha x, y ∈ L elementlar uchun g(x + y) = g(x) + g(y) tengligi
o‘rinli bo‘lsa, u holda g additiv deyiladi. Xohlagan α son va barcha
x ∈ L uchun g(αx) = αg(x) tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda g ni bir jinsli
deb ataymiz.
Kompleks chiziqli fazoda aniqlangan g funksonal xohlagan α son
uchun g(αx) = αg(x) tenglikni qanoatlantirsa, u holda qo‘shma bir