|
O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O`RTA MAXSUS TA'LIM
VAZIRLIGI
QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI
“MATEMATIKA” fakulteti
“AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA” kafedrasi
“FUNKTSIONAL ANALIZ” fanidan
MUSTAQIL ISHI
Mavzusi: Normallangan fazolar
Bajardi: Amaliy matematika va
informatika ta’lim yo`nalishi
2g – kurs talabasi
Nazarov Islombek
Qabul qilgan: Seypullaev J
NUKUS 2021
REJA:
KIRISH
ASOSIY QISM
Chiziqli fazolar va chiziqli funksionallar
Normalangan fazolar
Evklid va Hilbert fazolari
XULOSA
FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
1. KIRISH
Topologiya fani umumiylik nuqtai nazaridan geometriya va matematik analiz fanlarining asosiy tushunchalarini qayta ko‘rib chiqish natijasida vujudga kelgan. Topologiya fani matematikaning deyarli yosh, lekin muhim qismidir. Topologiyaga quyidagicha ta ’rif berish mumkin: topologiya - matematikaning geometrik bo'limi bo‘lib, uzluksizlikni tadqiq qiluvchi, ya’ni uzluksiz akslantirishlarni o‘rganuvchi sohasi hisoblanadi. Qisqacha qilib aytganda, funksiyaning uzluksizligi tushun-chasga ko‘ra, metrik fazo va topoJogik fazolar hamda ularning uzluksiz akslantirishlarni anglatadi. Geometrik nuqtai nazardan ikki sonning ayirmasi moduli uni sonlar o ‘qi R da nuqtalar orasidagi masofadan iborat ekanligini bildiradi.
1906-yilda fransuz matematigi M. Freshe fanga metrik fazo tushun-chasini kiritganidan so‘ng ixtiyoriy tabiatli to‘plamda ikki nuqta orasidagi masofani ma’lum shartlar asosida aniqlash imkoni tug‘ildi.
Bundan ko‘rinadiki, akslantirishning nuqtadagi uzluksizligini aniqlash uchun nuqtalar orasidagi masofa yetarli emas, balki nuqtaning atrofi tushunchasidan foydalanish m a’qul bo‘ladi. 1914-yilda nemis matematigi F. Xausdorf o‘zining “To‘plamlar nazariyasi” kitobida birinchi bo‘lib nuqtaning atrofi tushunchasini aksiomalashtirib, topologik (atroflar orqali aniqlangan) fazoning ta ’rifini ifoda-lab berdi. Keyinchalik topologik fazolarning nisbatan soddaroq t a ’riflari keltirildi.
Shuni jiddiy ta ’kidlashimiz kerakki, metrik fazolar tabiiy ravishda topologik fazoni tashkil qiladi. Topologik fazolarga uzluksiz akslan-tirishlarning mavjud bo‘lishi uchun tabiiy muhit sifatida qaralib, uning asosida topologiyaning umumiy topologiya deb ataluvchi bir tarm og'i vujudga keldi va barqaror rivojlanib bormoqda. Topologiyaning boshqa tarmoqlaridan farqli o’laroq umumiy geometrik topologiya uning umumiy va sof topologik xossalarini o‘rganadi.
Xususiy holda differensial va bo‘lakli-chiziqli (kusochno-lineynaya) topologiya differensiallanuvchi ko‘pxilliklar va poliedrlar (umumlashgan ko‘pyoqliklar)ning, algebraik va gomotopik topologiya esa, algebraning topologiyada qo'llanishiga asoslanadi. Shuni ta ’kidlash kerakki, oxirgi paytlarda gomologiya va gomotopik topologiyalarda topologiyaning juda muhim umumiy topologik fazolar sinflari o‘rganilmoqdaki, algebraik topologiya bilan umumiy topologiya orasidagi chegarani aniqlash ma’lum murakkablik tug‘dirmoqda. Uzluksiz akslantirishlar xususiyatini o‘rganish, o‘z navbatida, bu akslantirishlami aniqlash va qiymatlari sohalari bo‘ Imish topologik fazolarni o ‘rganishga olib keladi.
Ko‘pgina matematik tushunchalar, ba’zida butun bir matematik nazariyalar vujudga kelishi bilan matematikadan tashqarida bir qancha vaqt davomida o ‘z tatbig‘ini topmaydi. Jumboqli kompleks sonlar tarixi bunga yaqqol misol bo‘ladi: ushbu sonlar bir necha yuz yillar mobaynida boshqa sohalarda qo‘llanilmay, keyinchalik fizika va mexanikaga kirib keldi. Shunga o‘xshab, matematikaning asosiy bo‘g ‘ini bo'lm ish geo-metriya fanini oladigan bo‘lsak, bu sohada noevklid (Lobachevskiy) geo-metriyaning asosiy obyektlari - Lobachevskiy tekisligi va fazosi (Loba chevskiy tekisligi modeli) ham bir necha o‘n yillar davomida o‘z tatbig‘ini topmagan.
Shunga o‘xshash sohalardan yana biri Evklid geometriyasi, Loba chevskiy geometriyasi, zamonamiz geometriyasi, qolaversa, zamonaviy matematikaning bir bo‘limi, hosilasi bo‘lgan topologiya fanidir. Topologiya so‘zining lug‘aviy m a’nosi yunoncha топоС, - j o y ( o ‘rin), тоуоС, - qonun so‘zlaridan iborat.
Chiziqli fazolar va chiziqli funksionallar
Biror M to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar M × M to‘plamining ixtiyoriy Rϕ qism to‘plamini olsak, u holda M to‘plamida ϕ binar munosabat berilgan deb ataladi. Boshqacha aytganda, agar (a, b) juftlik Rϕ
to‘plamiga tegishli bo‘lsa, u holda a element b elementga binar munosabatda deb ataladi va aϕb ko‘rinishda belgilanadi.
1. Ayniylik munosabati ε binar munosabatga misol bo‘ladi. Haqiqatan, agar aεb ⇔ a = b deb olsak, u holda
Rε = {(a, a) : a ∈ M} ⊂ M × M.
Rε to‘plamini odatda M ×M to‘plamining diagonali deyiladi hamda ∆ ko‘rinishda belgilanadi.
2. M to‘plamida berilgan har bir ϕ ekvivalentlik munosabati binar munosabat bo‘ladi. Boshqacha aytganda, ekvivalentlik munosabati refleksivlik, simmetriya va tranzitivlik shartlarini qanoatlantiruvchi binar munosabat. Biror E to‘plamida E × E to‘plamning har bir (x, y) elementiga E to‘plamda x va y elementlarning yig‘indisi deb ataluvchi va x + y ko‘rinishda belgilanuvchi E to‘plamning elementini mos qo‘yuvchi binar munosabat berilgan bo‘lib, bu munosabat quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
∀ x, y, z ∈ E uchun
1. x + y = y + x (yig‘indining kommutativligi);
2. (x + y) + z = x + (y + z) (yig‘indining assotsiativligi);
3. E to‘plamida shunday θ element mavjud bo‘lib, ∀ x ∈ E uchun x + θ = x tengligi o‘rinli ( θ nol deb ataladi);
4. ixtiyoriy x ∈ E uchun shunday −x ∈ E element mavjud bo‘lib
x + (−x) = θ tengligi o‘rinli (−x element x ga qarama-qarshi element
deb ataladi). Shu bilan birga, K maydondan olingan ixtiyoriy α son va ixtiyoriy
x ∈ E element uchun αx ∈ E (x elementning α songa ko‘paytmasi)
element aniqlangan bo‘lib, quyidagi shartlar bajarilsin:
∀ α, β ∈ K va ∀ x, y ∈ E uchun:
5. α(βx) = (αβx);
6. α(x + y) = αx + αy;
7. (α + β)x = αx + βx;
8. 1 · x = x.
Ushbu shartlarning barchasini qanoatlantruvchi E to‘plami K maydon ustida chiziqli yoki vektor fazo deb ataladi. Chiziqli fazo elementlarini vektorlar yoki nuqtalar deb ataymiz. Agar K = R (R barcha haqiqiy sonlar maydoni) yoki K = C (C barcha kompleks sonlar maydoni) bo‘lsa, u holda E, mos ravishda, haqiqiy yoki kompleks chiziqli
fazo deb ataladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
