Matematika” fakulteti “amaliy matematika va informatika” kafedrasi

3. R to‘plami sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan
chiziqli fazo bo‘ladi.
4. Rn fazoda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),
α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn) ko‘rinishda aniqlasak, bu to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi. Bu fazo no‘lchamli arifmetik fazo deyiladi.
Ta’rif. X va Y lar K ustida chiziqli fazolar bo‘lsin. O‘zaro bir
qiymatli Φ : X → Y akslantirish
Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y), x, y ∈ X;
Φ(αx) = αΦ(x), x, y ∈ X, α ∈ K
shartlarni qanoatlantirsa, u holda X va Y fazolar o‘zaro izomorf fazolar
deyiladi.
Misol uchun, n o‘lchamli Rn haqiqiy arifmetik fazosi bilan darajalari
n−1 dan katta bo‘lmagan barcha haqiqiy koeffitsientli ko‘phadlar fazosi
izomorf fazolar bo‘ladi, bunda izomorfizm
(a1, a2, . . . , an) 7→ a1 + a2t + . . . + an
qoida orqali o‘rnatilishi mumkin.
L chiziqli fazoning x1, x2, . . . , xn elementlari berilganda, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan α1, α2, . . . , αn sonlari mavjud bo‘lib, α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn = 0
tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda x1, x2, . . . , xn lar chiziqli bog‘liq elementlar
deyiladi. Agar α1x1 +α2x2 +. . .+αnxn = 0 tengligidan α1 = α2 = . . . = α
n = 0 tengligi kelib chiqsa, u holda x1, , x2, . . . , xn elementlar chiziqli
erkli elementlar deb ataladi.
L chiziqli fazo elementlarining x, y, . . . cheksiz sistemasining ixtiyoriy
chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda berilgan sistema chiziqli erkli deb ataladi.
Agar L fazosida n sondagi chiziqli erkli elementlar topilib, n + 1
sondagi ixtiyoriy elementlari chiziqli bog‘liq bo‘lsa, u holda L fazosi
n-o‘lchamli deyiladi. Agar L da ixtiyoriy sondagi chiziqli erkli elementlarni topish mumkin bo‘lsa, u holda L cheksiz o‘lchamli fazo deb ataladi.
n-o‘lchamli L fazoning n sondagi ixtiyoriy chiziqli erkli elementlarining
sistemasini, bu fazoning bazisi deb ataladi.
L’ to‘plam L chiziqli fazoning qism to‘plami bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
x, y ∈ L0 va ixtiyoriy α, β ∈ K sonlar uchun αx + βy ∈ L0 bo‘lsa, u
holda L0 to‘plam L ning qism fazosi deb ataladi.
L chiziqli fazo bo‘lib, θ uning nol elementi bo‘lsin. Faqat nol elementdan iborat {θ} to‘plam L ning eng kichik qism fazosi bo‘ladi. Bu
fazoni nol qism fazo deb ataymiz. Shu bilan birga, L ni ham o‘zining
qism fazosi sifatida qarash mumkin. Bu ikki qism fazolar L ning xosmas
qism fazolari deyiladi, boshqa qism fazolar xos deb ataladi.
Qism fazolarning xohlagan sistemasining kesishmasi qism fazo
bo‘ladi. Haqiqatan, {Aγ : γ ∈ I} (I ixtiyoriy to‘plam) sistema L
chiziqli fazosining qism fazolari sistemasi bo‘lsin. Ixtyoriy x, y ∈ T
γAγ elementlar va ixtiyoriy α, β sonlar uchun αx+βy ∈ Aγ, ∀ γ ∈ I munosabati o‘rinli. U holda αx + βy ∈ TγAγ munosabati ham o‘rinli, ya’ni TγAγ to‘plam qism fazo bo‘ladi.
L chiziqli fazoda biror bo‘sh bo‘lmagan S to‘plam berilgan bo‘lsin.
S to‘plamni o‘z ichiga olgan eng kichik qism fazo, S to‘plamning chiziqli qobig‘i deyiladi va u odatda L (S) ko‘rinishda belgilanadi. L (S) fazosi S ni o‘z ichiga oluvchi barcha qism fazolarning kesishmasidan iborat bo‘ladi. Boshqacha aytganda, L (S) fazosi quyidagi ko‘rinishdagi elementlardan iborat:

bunda αi ∈ K, ai ∈ S, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N.
5. L chiziqli fazo bo‘lib, x uning noldan farqli elementi bo‘lsin.