Matematik fizikaning asosiy masalalarining qo’yilishi. Elliptik tenglamalar uchun dirixle va neyman masalasi 13

Shartli korrekt masala tushunchasi
Yuqoridagi o`xshash turg`un bo`lmagan masalalarni yechish zaruriyati masala yechimini yanada aniqroq aniqlashni talab etiladi.
Shartli korrekt masalalar, ya`ni A.N.Tixonov bo`yicha korrekt masalalarda oddiy yechish haqida emas, balki qandaydir sinfga tegishli yechim haqida beradi.
Masala A.N.Tixonov bo`yicha korrekt qo`yilgan hisoblanadi, agarda:

1. 
   Ba`zi bir sinflarda masala yechimi mavjudligi aprior ma`lum
   
2. 
   Bu sinfda yechim yagona
   
3. 
   Masala yechish kirish ma`lumotlariga uzluksiz bog`liq
   

Yechimdagi aprior cheklanishlar turlicha bo`lishi mumkin. Masalaning qo`yilishining o`zi nokorrekt masalalarni qarashda keskin o`zgaradi, ya`ni masalaning qo`yilishiga yechimning qandaydir to`plamga tegishlilik sharti biriktiriladi.

2. Elliptik tenglamalar uchun dirixle va neyman masalasi

Laplas tenglamasi Dekart koordinatalarda ko‘rinishi
u(x,y)=0, 0
Laplas tenglamasi qutb koordinatalarda
x =
y=
ko‘rinishi
u( ) = bo‘ladi.
Biz u( ) =0, 0 Laplas tenglamasini ko‘raylik
Misol . Laplas tenglamasi uchun radiusli doira ichida bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartli Dirixle masalasini yechilsin.

funksiyani ko‘rinishda ifodalaymiz.
funksiyani topish uchun Shturm-Liuvill masalasini yozamiz.

Bu masalani yechimlari funksiyalar bo‘ladi
- xos qiymatlarni topamiz:

Endi funksiyalarni bu tenglamadan topamiz

Bu yerdan va
S uchetom ogranichennosti funksii funksiya chegaralanligidan va bo‘ladi.
Shunday qilib ko‘rilayapgan masalani yechimi qo‘yidagi funksiya bo‘ladi

Chegaraviy shartdan , koeffitsientlarni topamiz

u( )=A+Vcos +C fuyksiyani ayniy almashtiramiz.
Natijada bo‘ladi.
Demak u( )=A+ + Vcos + cos2 ,bo‘ndan kshrinadiki
u( ) funksiyani ifodalagan qatorni faqat i koeffitsientlari noldan farqli bo‘ladi.Ularni topamiz
, , .
koeffitsientlari o‘rniga qo‘yib masalani yechimi bo‘lgan funksiyani yozamiz

Uzunligi l bo‘lgan bir jinsli ikkita simlik yo‘qatishsiz aloqa liniyasining kuchlanishi vaqtning ixtiyoriy momentida toping, agar liniyaga ga teng EYuK ning tashqi manbasi ulanganbo‘lsa.Boshlang‘ich kuchlanish qonunga ko‘ra aqsimlangan, boshlang‘ich tok nolga teng. Linyaning chap o‘chida simlar qisqa o‘langan,o‘ng uchida esa simlar izolyatsiyalangan
Mazkur modelga quyidagi aralash masala mos keadi

Fiksirlangan vaqt va koordinatalarda telegraf tenglamalarini yozamiz

Liniyada yo‘qatish bo‘lmaganini hisobga olib
( ) va ga ko‘ra
birinchi tenglamadaniz xosil qilamiz
Ikkinchi tenglamadan ( )
Xosil qilamiz
Shunday qilib to‘lqin tenglaasi uchun aralash masalani xosil qilmiz uravneniya

Bu masalani yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiramiz



Oddiy differensial tenglamalarga kelamiz.

Tenglama uchun mos Shturm-Liuvill masalasini yozamiz

Bu tenglamani umumiy yechimi qo‘yidagi funksiya bo‘ladi

Birinchi chegaraviy shartdan kelib chiqadi ,demak , Ikkinchi chegaraviy shartdan xosil qilamiz. yechim aynan nolga teng bo‘dmaganligi sababli demak,

Xos funksiyalarni normallashtirish shartni qo‘llaymiz.
:Shturm-Liuvill masalasining yechimi xos qiymatlardan ibort bo‘lali

va ularga mos xos funksiyarp

koeffitsientlarni topish uchun Koshi masalasini yozamiz :

Bu yerda boshlang‘ich qiymatlar va ossillyator tenglamasini o‘ng tomonini topishuchun va funksiyalarni ga ko‘ra qatorga yoyiladi i
Va mos yoyilma koeffitsientlarini olinadi.
Xisoblashlar natijasida xosil qilamiz.


uchun Koshi masalasini yechimini ikki xol uchun yozamiz,ya’ni rezonans bo‘lgan xolda va rezonans bo‘lmagan xolda.
Rezonans bo‘lmagan xolda ,ya’ni
( )
Quyidagicha bo‘ladi

Rezonans bo‘lgan xolda ,ya’ni

Quyidagicha bo‘ladi


Shunday qilib berilgan masalaning yechimi quyidag ko‘rinishga ega:
bo‘lganda

Biror uchun
bo‘lganda






Misol . Laplas tenglamasi uchun radiusli doira ichida bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartli a) - Dirixle masalasini yeching yoki b) – Neyman masalasini yeching

Dirixle masalasida funksiya teng:
1) 2)
3) 4)
5)  6)
7) 8) 
9)  10) 
11)  12) 
13)  14) 
Neyman masalasida funksiya teng:
1)  2)
3) 4) 
5)  6) 
7)  8) 
9)  10) 
11)  12) 
13) 14)