Matematik fizikaning asosiy masalalarining qo’yilishi. Elliptik tenglamalar uchun dirixle va neyman masalasi 13

3. Ikkinchi tartibli elliptik tipdagi chiziqli tenglamalar umumiy nazariyasidan ayrim ma’lumotlar.

Misol 1. Ushbu
(1)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari, ortonmallangan xos funksiyalarini va spectral funksiyasini topamiz.
Yechish. Avvalo ushbu

Tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
y (x, )= cos x +
So’ngra , quyidagi
, =h
Boshlang’ich shartlarni qanoantlantiruvchi yechimni aniqlaymiz:
=cos x +
Topilgan bu yechim chegaraviy shartlardan birinchis qanoantlantirishi ravshan. Bu yechimni chegaraviy shartlardan ikkinchisiga qo’yib, xarakatetik tenglamani keltirib chiqaramiz:
= - sin x+h cos x
- sin +cos = h{cos +h = 0
- ( + ) = 0
Oxirgi xarakatetik tenglamadan xos qiymatlarni topamiz:
+ = 0 = -
sin = 0 = , n=1,2,3,….
Bu xos qiymatlarga quyidagi xos funkisyalar mos keladi
=
= cosnx + h , n=1,2,3,….
Endi esa, normallovchi o’zgarmaslarni hisoblaymiz


== = = = ( -1)
Ya’ni | = ( -1)
= = =
=
=
= , n=1,2,3,……

Ya’ni = , n=1,2,3,……

Demak (1) Shturm- Liuvil chegaraviy masalasining normallovchi o’zgarmasllari
= ( -1) , = , n=1,2,3,……(2)
Bo’ladi va ortonormallangan xos funksiyalari quyidagi funksiyalardan iborat:


(ncosnx+hsinnx )
Ta’rif . Monoton o’suvchi, chapdan uzluksiz ushbu
{ 0, = 0
= { - , < 0
{ , > 0 (3)
funksiyaga Shturm- Liuvill chegaraviy masalasining spectral funksiyasi deyiladi.
Ta’rifga ko’ra spectral funksiyani topamiz.
Agar h bo’lsa (1) Shturm- Liuvill chegaraviy masalasining spectral funksiyasi ushbu
= , -
=0 - < 1
= > 1
formula bilan aniqlnadi.
Ushbu
(1)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari, ortonmallangan xos funksiyalarini va spectral funksiyasini topamiz. Avvalo ushbu
Misol 2. Xususan, h=0 bo’lganda,(1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi q
uydagi ko’rinishni oladi:
Ushbu
(4)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari, ortonmallangan xos funksiyalarini va spectral funksiyasini topamiz.
Yechish. Avvalo ushbu

Tenglamaning umumiy yechimini topamiz

K=± =±i
y(x)= y (x, )= cos x +
Tenglamaning umumiy yechimidan foydalanib chegaraviy masalaning xos qiymatlarini topamiz


Shartlarga ko’ra
= - sin 0+ cos 0= =0
= - sin =0, .
Demak Sin( )=0, | =n, | = , n=0,1,2,…
Bu chegaraviy masalaning xos qiymatlari = , n=0,1,2,… bo’lib,
ularga mos keladigan xos funksuyalar
=1
= cosnx +, n=1,2,3,….
va ortonormallangan xos funksuyalar

bo’ladi.
Normallovchi o’zgarmaslar ketma-ketligi esa
,
bo’ladi .
(3)formuladan foydalanib,(4) Neyman chegaraviy masalasining
spectral funksiyasini topamiz;

Buni quydagicha yozish mumkin

Bu yerda belgilash a sonning butun qismini bildiradi.