Matematik fizikaning asosiy masalalarining qo’yilishi. Elliptik tenglamalar uchun dirixle va neyman masalasi 13

Xususiy hosilali tenglamalar uchun korrekt masalalar
Chegaraviy va boshlang`ich shartlar xususiy hosilani differensial tenglamalarning mumkin bo`lgan yechimlar to`plamida qidirilayotganni ajratish uchun shakllantiriladi.
Bu qo`shimcha shartlar juda ko`p (yechim mavjud bo`lish kerak) va juda ko`p (yechim ko`p bo`lmasligi kerak) mavjud bo`lmasligi kerak. Bu bilan masala qo’yilishining korrektlik tushunchasiga bog`liq.
Masala korrekt deb hisoblanadi, agar
1) masala yechimi mavjud bo`lsa,
2) bu yechim yagona bo`lsa
3) masala yechish uchun kerakli ma`lumotlar uzluksiz bo`lsa
Kirish ma`lumotlari kam o`zgarganda yechimning kamo`zgarishini ta`minlaydigan korrektlikning uchinchi sharti muhim ahamiyatga ega. Eksperimentdan olinadigan va hamma vaqt qandaydir xatolik bilan ma`lum bo`lgan kirish ma`lumotlari, tenglama koeffisientlari, o`ng tomonda, chegaraviy va boshlang`ich ma`lumotlar ishtirok etadi.
Matematik fizika tenglamalari uchun chegaraviy masalani qarashda mavjudlik, yagonalik va turg`unlik teoremalari majmuaviy holda qo’yilgan masalaning korrektligini to`la tekshirishni ta`minlaydi. Korrektlik sharti u yoki bu masalani qarashda aniqlashtirilishi lozim. Bu shu bois bog`liqki, masalaning yechish va kirish ma`lumotlari to`la aniqlangan funksional fazoning qandaydir elementi sifatida qaraladi. Shuning uchun ham qo`yilgan masala fazoning bir marta tanlashda nokorrekt, boshqa tanlashda korrekt bo`lishi mumkin.
Nokorrektlik tushunchasi
Matematik fizikaning teskari masalasi ko`pincha klassik ma`nodagi nokorrekt sinfga mansub bo`ladi. Klassik masalaga misol sifatida yechimning boshlang`ich shartga uzluksiz bog`liqligi talab etilmaydigan ikkinchi tartibli parobolik tenglama uchun vaqt bo`yicha teskari masala qaraladi.
Nokorrekt masalaga misol
Korrekt qo’yilgan masala shartlaridan(mavjudlik,yagonalik va turg`unlik) birortasi bajarilmasa masala nokorrekt masalalar sinfiga mansub bo`ladi. Bunda yechimning kirish ma`lumotlarga uzluksiz bog`liqlik sharti hal qiluvchi rol o`ynaydi. Matematik fizika tenglamalari uchun nokorrekt masalalarni misol keltiramiz.
Shart sohaning butun chegarasida emas balki uning qandaydir qismida qaraladigan elliptik tenglama uchun Koshi masalasi qaraymiz.
yechim (1.1.6) tenglamadan va quyidagi ikki shartdan aniqlanadi:
(1.1.7)
(1.1.6) va (1.1.7) Koshi masalasi yechim nokorrektligi bu shartlarga nisbatan yechim turg`unligi bilan shartlashgan.
Parabolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy va boshlang`ich shartlar bilan berilgan (1.1.6) - (1.1.7) masala korrekt bo`lib hisoblanadi. Vaqtning chekli momentida berilgan yechimda vaqt bo`yicha teskari masalaga ega bo`lamiz, ya`ni berilgan holat bo`yicha biz tekshirilayotgan jarayonning oldigi tarixini qayta tiklashimiz mumkin.
Vaqt bo`yicha teskari quyidagi sodda masalani qaraymiz.
(1.1.8)
(1.1.9)
(1.1.10)
Bu masala yechimi nokorrektligini tushuntirish uchun (1.1.8)-(1.1.10) masala yechimini quyidagi shart bilan qarash mumkin.
(1.1.11)
Bu yerda kvap musbat sonlar. Gilbert fazosi normasida da

ga ega bo`lamiz.
(1.1.8)- (1.1.11) masalani aniq yechimi

ko`rinishda va da bundan

Shunday qilib boshlang`ich shartda qanchalik kichik bo`lsa, u cheksiz o`sadi.