Математик анализга кириш Функциянинг нуқтадаги лимити. Ажойиб лимитлар Функциянинг узлуксизлиги

Ажойиб лимитлар. Математикада кўп қўлланиладиган сонлар мавжуд, бу сон
.
Бу сон e деб логарифм асосида қўлланилади.
ва лимитлар биринчи ва иккинчи ажойиб лимитлар деб қабул қилинган.
Мисол. ҳисобланг
Ечим. белгилаймиз. У ҳолда лимит остидаги ўзгарувчини алмаштириш формуласига асосан

га эга бўламиз.
Мисол. лимитни ҳисобланг.
Ечим. белгилаймиз. У ҳолда лимит остидаги ўзгарувчини алмаштириш формуласига асосан

Мисоллар

Мисол. формула билан берилган мисолни ўрганинг.
Ечим. x=0 бўлгани сабабли бу функция x=0 да “0/0” типидаги аниқмаслик бўлади. Худди шундай x=0 да функция аниқланмаган, х 0 га яқинлашса нима бўлишини билиш керак. Функция қийматлари учун қуйидагича жадвал тузамиз

x	−1	−0.1	−0.001	−0.0001	0.0	0.0001	0.001	0.1	1
F(x)	0.632	0.956	0.999	1.000	∗	1.000	1.001	1.052	1.718

Жадвалдан кўринадики, х 0 га яқинлашса функциянинг қиймати 1 га интилади.

ёки x→0 да .
F(x) функция х=0 дан бошқа ҳамма жойда аниқланган ва . (расмда майда айлана билан берилган соҳа (0,1) нуқтанинг атрофини билдиради)


2. Функциянинг узлуксизлиги
Таъриф. функция нуқтада узлуксиз дейилади, агар функциянинг нуқтадаги лимити мавжуд ва функциянинг шу нуқтадаги қийматига тенг бўлса
.
функциянинг нуқтадаги узлуксизлиги таърифи бир вақтда шартларни ҳам қаноатлантиради:
1) функция нуқтада аниқланган бўлиши керак;
2) функциянинг нуқтада лимити мавжуд бўлиши керак;
3) функциянинг нуқтадаги лимити функциянинг шу нуқтадаги қийматига мос бўлиши керак.
Мисол учун, функция сонлар ўқида аниқланган ва
.
Худди шундай, , демак функциянинг нуқтадаги қиймати даги лимити билан мос келади, бундан келиб чиқадики функция нуқтада узлуксиз.
Агар биз функцияларнинг ўнг ва чап лимитлари таърифидан фойдалансак, ўнгдан ва чапдан узлуксизлик таърифини беришимиз мумкин: функция нуқтада чапдан узлуксиз дейилади, агар
,
функция нуқтада ўнгдан узлуксиз дейилади, агар
.
Масалан,

функция x=0 нуқтадан бошқа барча сонлар ўқида узлуксиз, чапдан узлуксиз, чунки ва .
Функция узлуксизлигининг бошқача формаси. функция интервалда аниқланган бўлсин. бўлсин.

Бу белгилаш орқали функциянинг нуқтада узлуксизлигини қуйидаги кўринишда бериш мумкин:
Таъриф. функция нуқтада узлуксиз дейилади, агар бўлса.
Мисол. функция ҳар қандай нуқтада узлуксиз эканлигини исботланг.
Ечим. Охирги таърифдан фойдаланамиз. Ихтиёрий нуқта ва ихтиёрий учун

га эга бўламиз.
Функциялар йиғиндиси ва кўпайтмаси учун лимитни ҳисоблаш формуласидан фойдалансак

натижага эга бўламиз, бундан эса функция ҳар бир нуқтада узлуксиз.
ва бўлсин.
Теорема 4. нуқтада узлуксиз бўлган чекли сондаги функцияларнинг йиғиндиси ҳам шу нуқтада узлуксиз бўлади.

Теорема 5. нуқтада узлуксиз бўлган чекли сондаги функцияларнинг кўпайтмаси ҳам шу нуқтада узлуксиз бўлади
.
Теорема 6. нуқтада узлуксиз бўлган чекли сондаги функцияларнинг нисбати ҳам шу нуқтада узлуксиз бўлади, агар махражда турган функция нуқтада нолдан фарқли бўлса

.
Теорема 7. Агар f(x) функция x=b нуқтада, g(x) функция эса x=x₀ нуқтада узлуксиз ва g(x₀)=b тенглик ўринли бўлса, у ҳолда f(g(x)) мураккаб функция x=x₀ нуқтада узлуксиз бўлади.
Мисол. функциянинг сонлар ўқининг барча жойида узлуксиз бўлишини исботланг.
Ечим. функция та кўпайтувчидан иборат.
У ҳолда теорема 5 га кўра нинг узлуксизлигидан, функция сонлар ўқининг барча жойида узлуксиз бўлади.
Мисол. Сонлар ўқининг барча жойида узлуксиз бўлган кўпҳад борлигини исботланг.
Ечим. бўлсин. функциялар сонлар ўқининг барча жойида узлуксиз бўлган функциялардир. Шунингдек, берилган кўпҳад бу функцияларнинг йиғиндисидан иборат бўлгани учун теорема 4 га кўра бу кўпҳад сонлар ўқининг барча жойида узлуксиз бўлади.