Matematik analiz va differensial tenglamalar

IІ BOB. TO’LA METRIK FAZOLAR
2.1. To’la metrik fazolar
Matematik analizning umumiy kursidan ma’lumki, sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun Koshi shartini qanoatlantirishi zarur va kifoya. Bu xossa matematik analizda katta ahamiyatga ega bo‘lib, xaqiqiy sonlar to’plamining „to’laligini" ko’rsatadi.
Endi xaqiqiy sonlar to’plamining bu xossasi har qanday metrik fazo uchun ham o’rinlimi degan savol qo’yish mumkin. Masalani aniqrok ifoda qilish uchun quyidagi ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif. Agar (X,_{ }) metrik fazodan olingan (x_p) ketma-ketlik Koshi shartini qanoatlantirsa, ya’ni ix­tiyoriy ε > 0 uchun shunday n_ε natural son mavjud bo‘lib, (x_n,x_m)< ε tengeizlik n va m sonlarning n_ε dan katta bo’lgan hamma qiymatlari uchun bajarilsa, u holda {x_p} fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Agar X fazoda har qanday fundamental ketma-ket­lik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u fazo to’la deyiladi.
Ravshanki, har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental. Yo’qoridagi savolni endi quyidagicha ifo­da qilish mumkin: har qanday metrik fazo to’lami? Bu savolga beriladigan javob har doim ijobiy emas.
M i s o l l a r.
1. Hamma ratsional sonlardan iborat X to’plamda masofa (r₁, r­₂)=| r₁-r₂| formula bilan aniqlansin. Ravshanki, X metrik fazo ammo bu fazo to’la emas, chunki, masalan, _{ }ratsional sonlar ketma-ketligi fundamental bo‘lib, shu X fazoda yaqinlashuvchi emas, ya’ni u hech qanday ratsional songa yaqinlashmaydi.
2. [a, b] segmentda aniqlangan hamma uzluksiz haqiqiy funksiyalardan iborat to’plamni olib, unda masofani quyidigicha aniqlaymiz:

Bu metrik fazoni S²[a, b] bilan belgilaymiz. Koshi — Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, bu masofa uchun uchburchak aksiomasining o’rinliligini ko’rsatish Qiyin emas. Metrikaning qolgan ikki aksiomasi o’z-o‘zidan ravshan. Demak, bu metrik fazo. Bu fazo to’la emas, chunki bu metrikda uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi yana uzluksiz funksiyaga yaqinlashishi shart emas. Konkret misol keltiramiz. Masalan,

ketma-ketlik S²[0, 2] fazoda fundamental. Haqiqatan, ixtiyoriy n, m natural sonlar uchun


Ammo bu ketma-ketlik hech qanday uzluksiz funksiyaga yaqinlashmaydi. Buni isbotlash uchun quyidagi uzlukli funksiyani ko’ramiz:

Ixtiyoriy _{ } ∈ S²[0, 2] funksiya uchun, ravshanki,

Demak,

SHu bilan birga

SHuning uchun _{ }(_{ }) hech qanday _{ }∈S²[0, 2] uchun nolga intilmaydi.
2. Yo’qorida misol sifatida keltirilgan hamma met­rik fazolar to’la. Ularning ba’zilarining to’laligini quyida ko’rsatamiz.
3. S [a, b] fazoning to’laligi. Bu fazoda {x_n(t)} fundamental ketma-ketlik bo’lsin, ya’ni

2.2-§ da S [a, b] fazodagi yaqinlashish funksiyalarning tekis yaqinlashishiga ekvivalent ekanligini ko’rsatgan edik.
Har bir berilgan ixtiyoriy t ∈ [a, b] nuqtada ushbu {x_n(t)} sonli ketma-ketlik Koshi shartini qanoatlantirgani uchun bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning limitini x₀(t) bilan belgilaymiz. {x_n(t)} ket­ma-ketlik x₀(t) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun x₀(t) funksiya uzluksiz bo‘ladi. Natijada

va, demak, S [a,b) fazo to’la.
4. l₂ fazoning to’laligi. Bu fazodan olingan

ketma-ketlik fundamental bo’lsin. Ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday n₀ natural son mavjudki, ular uchun

Bundan, har qanday k uchun
_{ } (2.1.2)
ya’ni har bir k uchun {_{ }} sonli ketma-ketlik yaqin­lashuvchi. Bu ketma-ketlikning limitini a_k bilan belgilab, x=(a₁, a₂, . . .) elementni hosil qilamiz. Agar

munosabatlarning o’rinliligi ko’rsatilsa, l₂ fazoning to’laligi isbot etilgan bo‘ladi.
(1) tengsizlikni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

bu erda p — ixtiyoriy natural son. Bundan ixtiyoriy R uchun:

yoki r bilan m ni tayinlab qo’yib, n bo’yicha limitga o’tilsa, ushbu

tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy R uchun o’rinli; shuning uchun bunda r bo’yicha limitga o’tish mumkin, u holda

Bundan va

munosabatdan quyidagi teng­sizlik kelib chiqadi:

Demak, x=(a₁, a₂,…, a_n,…) ∈ m. So’ngra _{ } ixtiyoriy bo’lganligi uchun (2) dan

5. m fazoning to’laligi. {x_p} ketma-ketlik fundamental bo’lsin. _{ } ∈ m bo’lganligi tufayli shunday {M_p} ketma-ketlik mavjudki, uning uchun _{ }< M_p (i=1,2,...) o’rinli va ixtiyoriy _{ }>0 uchun shunday n₀ natural son mavjudki,

yoki

Bundan
_{ } (2.1.3)
munosabatning i ga nisbatan tekis bajarilishi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy i uchun _{ } ketma-ketlik n bo’yicha yaqinlashuvchi bo‘ladi; uning limitini a_i bilan belgilab,

elementni xosil qilamiz.
Endi ushbu x ∈ m va _{ }(x_p, x) 0 munosabatlarni isbotlaymiz. _{ } ga nisbatan limitga o’tilsa, hamma i lar uchun o’rinli bo’lgan
_{ } (2.1.4)
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan

tengsizlikni hamma i lar uchun xosil kilish mumkin, ya’ni x = (a₁, a₂, . . .) ∈ m munosabat kelib chiqadi. (4) dan
_{ } (2.1.4)
Yoki _{ }(x_n, x)_{ }, _{ }. _{ } ixtiyoriy bo’lganligi uchun bundan

munosabat kelib chiqadi. Demak, m—to’la fazo.
Endi metrik fazolarning to’laligiga oid ba’zi xossalarni keltiramiz.