Matematik analiz va differensial tenglamalar

1.3. Metrik fazolarda uzluksiz aks ettirishlar
va funksionallar
Matematik analizda funksiyalarning uzluksizligidan keng foydalaniladi. Endi biz uzluksizlik tushun-chasini ixtiyoriy metrik fazolarning aks ettirishlari uchun kiritamiz.
Ta’rif. X, Y metrik fazolar bo‘lib, X ning D qism to’plamini Y ga aks ettiruvchi T operator berilgan bo’lsin.
Agar D to’plamdagi xy nuqtata yaqinlashuvchi bo’lgan ixtiyoriy _{ } ketma-ketlik uchun ushbu

munosabat bajarilsa, u holda T operator x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar T o‘ziniig aniqlanish soxasining har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u holda T uzluksiz operatordeyiladi.
Biz T aks ettirishning uzluksizlik ta’rifini ketma-ketliklar tilida berdik Bu ta’rifni „ε —_{ }" tilida ham berish mumkin. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shun­day > 0 mavjud bo‘lsaki, _{ }(x, x₀)<_{ } shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x uchun

munosabat bajarilsa, T operator x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ikki ta’rif teng kuchli ekanligi matematik ana­lizda funksiyalar uchun isbotlanishiga o’xshash ko’rsatiladi.
Ta’rif. Xususiy Y = R¹ holda uzluksiz operator uzluksiz funksional deyiladi.
Misollar.
1 Uzluksiz aks ettirishning muxim xususiy holi bo’lgan izometriya tushunchasini kirita­miz. (X, _{ }), (Y,_{ }) metrik fazolar bo‘lib, X ni Y ning ustiga akslantiruvchi o’zaro bir qiymatli _{ } aks ettirish berilgan bo’lsin. Agar ushbu

munosabat X fazoning ixtiyoriy x₁, x₂ elementlari uchun bajarilsa _{ } izometriya deyiladi.
Bevosita ko’rinib turibdiki, agar _{ } izometriya bo‘lsa, u holda _{ } ham, _{ } ham uzluksiz bo‘ladi.
2. X fazoda _{ } va _{ } metrikalar berilgan bo’lsin. Agar shunday α, β musbat sonlar topilsaki, ushbu

munosabat hamma x, u ∈ X elementlar uchun o’rinli bo‘lsa, _{ } va _{ } ekvivalent metrikalar deyiladi.
Endi _{ }, _{ } ekvivalent metrikalar bo’lsin. (X, _{ }) metrik fazoni (X,_{ }) metrik fazoga quyidagicha aks ettiramiz:

Ravshanki, T o’zaro bir qiymatli aks ettirish. Ekvivalentlik ta’rifiga asosan

demak, T—uzluksiz aks ettirish. Ushbu

tengsizlikdan T^-1 aks ettirishning uzluksizligi kelib chiqadi.
Agar _{ } va _{ } metrikalar har-xil bo‘lsa, T aks etti­rish izometriya bo’lmaydi.
Agar X ning 1- misolidagi metrik fazo bo‘lsa, u holda X ni ixtiyoriy Y metrik fazoga aks ettiruvchi T operator uzluksiz bo‘ladi. Bu xossa shu metrik fazodagi yaqinlashish ma’nosidan bevosita kelib chiqadi.