Matematik analiz va differensial tenglamalar

Kurs ishida ko’rsatilgan vazifalarni bajarish uchun quyidagi ilmiy tadqiqоt metоdlari majmuasini tanlashga undadi.

1. 
   Ilmiy - tadqiqоt muammоlariga оid falsafiy, iqtisоdiy sоtsiоlоgik, pedagоgik va uslubiy mazmundagi adabiyotlarni o’rganish va ularni tanqidiy nuqtay nazardan tahlil qilish.
   
2. 
   Algebra tarixini o’rganish, ilg’оr pedagоglarni tajribalarini o’rganish.
   

Kurs ishining amaliy ahamiyati: bu uslubiy tavsiyalardan bitiruvchi talabalar, matematika o’qituvchilari, o’z faоliyatlarida fоydalanishlari mumkin.
Tadqiqоt xulоsalarining ishоnchliligi va asоslanganligi uning maqsadi hamda vazifalariga muvоfiq usullar tizimini qo’llash bilan ta’minlanadi, shuningdek ilmiy tahlilar bilan tasdiqlanadi.
I-bob. METRIK FAZOLAR
1.1. Metrik fazolar
Matematik analizning asosiy amallaridan biri limitga o’tish tushunchasidir. Bu amalni to’g’ri chiziq nuqtalaridan iborat to’plamda joriy etishda biz ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasidan doimo foydalanib kelgan edik. Ammo limitga o’tish masalasi kengroq qaraladigan bo‘lsa, asosiy mazmun olingan to’plam elementlarining tabiiy tuzilishida emas, bal­ki uning ikki elementi orasida masofa tushunchasini kirita bilishdadir. Bu mulohaza fransuz matematigi M. Fresheni 1906 yilda metrik fazo tushunchasiga olib keldi.
Ta’rif. Agar biror X to’plamning o‘zini o‘ziga to‘g‘ri (Dekart) ko‘paytmasi X×X ni R₊=[0,∞) to’plamga aks ettiruvchi ρ(x,u) funksiya berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni (metrika aksiomalarini) qanoatlantirsa, X to’plam metrik fazo deyiladi:
1°. ρ(x, u) 0; ρ(x, u)=0 munosabat x = u bo’lgandagina bajariladi;
2°. (x, u) = (u, x) (simmetriklik aksiomasi),
3°. (x, u)_{ }(x, z)+_{ }(z, u) (uchburchak aksiomasi).
(x, u) funksiya metrika deyiladi. Odatda, metrikali X metrik fazo (X,_{ }) bilan belgilanadi.
Misollar. 1.X ixtiyoriy to’plam bo’lsin; ushbu

funksiya metrik fazo aksiomalarini qanoatlantiradi.
Hayotdan bunday metrikaga misol keltiramiz. X to’plam sifatida biror tramvay marshrutining bekatlari to’plamini olamiz. (x, u) orkali x bekatdan u bekatgacha borish uchun to’lanadigan dakni belgidaymiz. U holda

2. p o’lchamli Rⁿ vektor fazoda ikki _{ } va
_{ } vektor orasidagi ma­sofa ushbu

ko’rinishda kiritilsa, u holda Rⁿ metrik fazoni tashkil etadi. 1° va 2° aksiomalarning bajarilishi o’z-o‘zidan ravshan. Biz bu masofa uchun uchburchak aksiomasini isbotlaymiz. Bu aksiomadagi tengsizlik

elementlar uchun quyidagi ko’rinishga ega bo‘ladi:

Ushbu belgilashlarni kiritamiz:

U holda (1) tengsizlik quyidagi tengsizlikka keltiriladi:

Ushbu

ayniyatdan quyidagi Koshi—Bunyakovskiy tengsizligv kelib chiqadi:

Bu tengsizlikdan:


Bundan esa kerak bo’lgan (2) tengsizlik, demak, (1) tengsizlik kelib chiqadi.
7. S[a, b] fazo. [a, b] oralikda aniqlangan uzluksiz xaqiqiy funksiyalar to’plami S [a, b) da metrikani quyidagicha kiritamiz:

Metrika aksiomalarining bajarilishini ko’rsatish qiyin emas. Masalan, uchburchak aksiomasini isbotlayliq Ixtiyoriy _{ } nuqta va _{ 
 } funksiya­lar uchun ushbu munosabat bajariladi:



Bundan