Matematik analiz

1.4. Beta va gamma funksiyalar orasidagi munosabat.

Bu yerda B(a,b) va Г(a) integrallarning orasida aniq munosabat mavjudligini ko’rib o’tamiz.

Ma’lumki, Г(a) funksiya (0; +∞) da, B(a,b) funksiya R² fazodagi to’plamda berilgan.

4-teorema. (a, b) M uchun

Formula o’rinlidir.

Isbot. Bu tenglikning to’g’riligini isbotlash uchun

Integralda n=nz(z>0) faraz qilamiz. Bu holda

bundan

Kelib chiqadi. Bundagi n ni (1+t) bilan va a ni (a+b) bilan almashtirsak

Bo’ladi. Buning ikkala tomonini t^a-1 ga ko’paytirib, so’ngra noldan +∞ gacha t ga nisbatan integrallaymiz. Bu holda (1.1.4) ga asosan:

Bundagi integrallash tartibini almashtirib yozsak:

(1.3.2) ga asosan

bo’lgani uchun

yoki

Bu formula amaliyotda ko’p qo’llanib B(a, b) integralni integral bilan ifoda qilishga imkoniyat beradi.

1-natija. uchun

Tenglik o’rinli bo’ladi.

Haqiqattan ham (1.3.1) formulada b=1-a (0deb olsak, u holda

Bo’lib, (1.1.5) ni va Г(1)=1 munosabatlarga muvofiq

Odatda (1.3.3) formulani keltirish formulasi deb ataydilar.

Xususan, (1.3.3) da a=1/2 deb olsak, unda

bo’lib, (1.3.3) tenglikka ega bo’lamiz. Biz bu tenglikni 1.2 da 4⁰ xossani isbotlashda juda qiyin ususl bilan topgan edik.

2-natija. Ushbu

formula o’rinlidir. Shuni isbot qilamiz (1.3.1) formulada a=b deb

Bo’lishini topamiz, so’ngra

_­

Bu integralda almashtirishni bajarib,

bo’ladi.

Yana (1.3.1) formulaga ko’ra

bo’lib, bundan

Ekanligi kelib chiqadi. Demak,

Odatda (1.3.4) formula Lejadr formulasi deyiladi.

Misol.

(n>1) integralni hisoblang.

Yechilishi. Berilgan integralda deb olsak, u holda

hosil bo’ladi. Buni Г(a) orqali ifoda qilinsa,

Demak,

Xulosa.

Bu bobning birinchi va ikkinchi paragraflarida Eyler integrallari hisoblangan beta va gamma funksiyalarning muhum xossalarini isboti bilan bayon qildim.

Unda beta funksiya va gamma funksiyalarning uzluksizligi integralning tekis yaqinlashish alomatlaridan foydalanib, isbotlandi.

Beta funksiyaning xususiy holda uzluksiz hosilalarga ega ekanligini ko’rsatib o’tdim.

Shuning bilan gamma funksiyaning (0; +∞) intervalda barcha tartibdagi uzluksiz hosilaga ega ekanligi, matematik isboti bilan keltirilgan.

Ushbu bobning uchinchi paragrafida esa beta va gamma funksiyaning bog’lanishini ularning xossalaridan foydalanib, keltirib chiqardim.

Bu munosabat praktikada ko’p qo’llaniladi. Bu bog’lanishga doir misol ham berib o’tildi.