Matematik analiz fanidan “Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari” mavzusidagi kurs ishi ilmiy rahbar

Eslatma. 1.2-teorema F… funksiya x o’zgaruvchining …. Oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida y o’zgaruvchining funksiyasi sifatida kamayuvchi bo’lganda ham o’rinli bo’ladi.
II.BOB. OSHKORMAS FUNKSIYALARNI DIFFERENSIALLASH
2.1-§.Oshkormas funksiyaning hosilasi.
Endi oshkormas funksiyaning hosilasini toppish bilan shug’ullanamiz.
2.1-teorema. F(x,y) funksiya ….. nuqtaning biror U.. atrofida berilgan va y quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
2)
3)
U holda (..) nuqtaning shunday U… atrofi topiladiki,
1’)
2’)
3’)
4’) bu oshkormas ko’rinishdagi funksiya … oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra F… funksiya U… da uzluksiz va F…. Aniqlik uchun F..> deylik. U holda uzluksiz funksiyaning xossasiga ko’ra ….. nuqtaning shunday U….. atrofi topiladiki, …. Uchun …. Bo’ladi.Demak F… funksiya x o’zgaruvchining…. Oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida, y o’zgaruvchining funksiyasi sifatida o’suvchi. Yuqorida isbot etilgan 1.2-teoremaga ko’ra
F..=0
Tenglama …. Da
…….
Oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlaydi, x=x(0) bo’lganda unga mos kelgan y=y(0) bo’ladi va oshkormas funksiya …. Da uzluksiz bo’ladi.
Endi oshkormas funksiyaning hosilasini topamiz. X(0) nuqtaga shunday dx orttirma beraylikki, ….. bo’lsin. Natijada
…………
Oshkormas funksiya ham orttirmaga ega bo’lib,
………..
bo’ladi. Demak,
……………… (5)
Shartga ko’ra … va .. xususiy hosilalar U.. da uzluksiz. BinobarinF… funksiya … nuqtada differensiallanuvch:
…………… (5’)
Bu munosabatdagi… va … lar … va … larga bog’liq va … da … … ….
(5) va (5’) munosabatlardan
……………..
ekanligi kelib chiqadi.
Oshkormas funksiyaning x(0) nuqtada uzluksizligini e’tiborga olib, keying tenglikdan … da limitga o’tib quyidagini topamiz:
………………..
Demak,
……………….
U… da F.., F… xususiy hosilalar uzluksiz va …. bo’lishidan oshkormas funksiyaning hosilasi
………………
ning … oraliqda uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Misol. Ushbu
…………. (6)
Tenglamani qaraylik. Ravshanki, ….. funksiya ……….. to’plamda yuqoridagi 1.2-teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak ……. nuqtaning U… atrofida (6) tenglama oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlaydi va bu oshkormas funksiya hosilasi
………..
bo’ladi.
Oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini quyidagicha ham hisoblasa bo’ladi. Y ning x ga bog’liq ekanini e’tiborga olib, F..=0 dan topamiz:
…………….
Bundan esa
……………
bo’lishi kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan (6) tenglama yordamida aniqlangan oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini hisoblaylik:
……………….. (*)