Matematik analiz fanidan “Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari” mavzusidagi kurs ishi ilmiy rahbar

Eslatma. Faraz qilaylik, ushbu

tenglama oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlamasin. Ba’zan bu holda y ga ma’lum shart qo’yish natijasida yuqoridagi tenglama oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlashi mumkin.
Masalan, quyidagi
F(x,y)=x*x+y*y-1=0 (3)
tenglamani qaraylik. Bu tenglama x ning (-1;1) oraliqdan olingan har bir qiymatida ikkita


yechimlarga ega. Agar y ga, uning qiymatlari [-1;0] segmentda bo’lsin, deb shart qo’yilsa, u holda (3) tenglama yordamida aniqlangan

oshkormas ko’rinishdagi funksiya hosil bo’ladi.

1.2-§. Oshkormas funksiyaning mavjudligi.
Biz yuqorida

tenglamayordamida har doim oshkormas ko’rinishdagi funksiya aniqlanavermasligini ko’rdik.
Endi tenglama, ya’ni F(x,y) funksiya qanday shartlarni bajarganda oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning aniqlanishi, boshqacha aytganda oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning mavjud bo’lishi masalasi bilan shug’ullanamiz.
1.2-teorema. F(x,y) funksiya nuqtaning biror
U……….
atrofida (h>0, k>0) berilgan va y quyidagi shartlarni bajarsin:
1) U…. da uzluksiz;
2)x o’zgaruvchining (x(0)-h, x(0)+h) oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida y o’zgaruvchining funksiyasi sifatida o’suvchi;
3) F(x(0),y(0))=0.
U holda nuqtaning shunday U…. atrofi topiladiki,

1. 
   ……. Uchun
   

Tenglama yagona y yechimga …… ega, ya’ni tenglama yordamida
X …..
Oshkormas ko’rinishdagi funksiya aniqlanadi.

2. 
   X=x(0) bo’lganda unga mos kelgan y=y(0) bo’ladi
   
3. 
   Oshkormas ko’rinishda aniqlangan
   

X …..
Funksiya …. Oraliqda uzluksiz bo’ladi.
Isbot. U… atrofga tegishli bo’lgan (…) nuqtalarni olaylik. Ravshanki, […] oraliqda F(x(0),y) funksiya o’suvchi bo’ladi. Demak,
……………
………….

Teoremaning 3-shartiga ko’ra

………….
bo’ladi.
Teoremaning 1-shartiga ko’ra F(x,y) funksiya U… da uzluksiz. Binobarin F(x(0),y-e) va F(x(0),y+e) funksiyalar (x-h,x+h) oraliqda uzluksiz bo’ladi. Unda uzluksiz funksiyaning xossasiga ko’ra x(0) nuqtaning shunday atrofi (x-d,x+d) topiladiki (00 bo’ladi.
Ravshanki, (x(0),y(0)) nuqtaning ushbu U… atrofiuchun teoremaning barcha shartlari bajarilaveradi, chunki
U….
(…) nuqtani olib, F.. funksiyani qaraylik.
Bu funksiya, yuqorida aytilganiga ko’ra [..] oraliqda uzluksizva uning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga ega:
……………….
U holda Boltsano-Koshining 1-teoremasiga ko’ra shunday y topiladiki (..),
F(..)=0
Bo’ladi. Bu topilgan y yagona bo’ladi. Haqiqatdan ham,
…………….
Chunki, F(..) o’suvchi bo’lganligi sababli y>y uchun …>… va Y,Y uchun …<… bo’ladi.
Shunday qilib, x ning (…) oraliqdan olingan har bir qiymatida F(..)=0
Tenglama yagona y yechimga ega ekanligi ko’rsatildi. Bu esa F(..)=0
Tenglama yordamida
…………….. (4)
Oshkormas ko’rinishdagi funksiya aniqlanganligini bildiradi.
X=x(0) bo’lsin. Unda teoremaning 3-sharti F…=0 dan x(0) ga y(0) ni mos qo’yilgandagina:
……………….
Demak, X=x(0) da oshkormas funksiyaning qiymatiy(0) ga teng bo’ladi.
Endi oshkormas funksiyaning (…) oraliqda uzluksiz bo’lishini ko’rsatamiz.
Ravshanki, …………… ga mos qo’yiladigan ………….. bo’ladi. Bu esa oshkormas funksiyaning X=x(0) nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi.
Oshkormas funksiyaning ….. nuqtada uzluksiz bo’lishini ko’rsatish bu funksiyaning x(0) nuqtada uzluksiz bo’lishini ko’rsatish kabidir.
Haqiqatdan ham, F…=0 tenglama nuqtaning atrofi U… da oshkormas funksiyani aniqlaganligidan, shunday ……. topiladiki, F…..=0 bo’ladi. Yuqoridagi mulohazani ….. nuqtaga nisbatan yuritib, F…=0 tenglama …. Nuqtaning atrofida oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlashini, uni x nuqtada uzluksiz bo’lishini topamiz. Demak, oshkormas funksiysa …… oraliqda uzluksiz bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.