Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции методом бесконечно малых. Поэтому раньше математический анализ назывался анализом бесконечно малых.
До 17 века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач. Каждая задача или группа задач решалась своим методом. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других ученых 17-18 веков, а его база – теория пределов – была разработана О. Коши в начале 19 века. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием в 19-20 веках теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привел к разнообразным обобщениям.


Глава 1. Введение в математический анализ

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч. I.
2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа, т. I.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. I.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. I.
5. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.


§ 1. Множество R действительных чисел и его свойства

Из школьного курса математики известны множества натуральные числа N = {1;2;…;n;…}, целых чисел , рациональных чисел . Известно также, что этих чисел недостаточно для измерения отрезков. Например, рассмотрим прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 1, т.е. . Тогда по теореме Пифагора . Покажем, что

длина с гипотенузы не может быть рациональным числом. Предположим, напротив, что с – рациональное число, т.е. , а с причем дробь несократима. Тогда , откуда b . Поскольку – четное число, то и – четное число, а тогда и т – четное число, так как квадрат нечетного числа всегда число нечетное. Пусть т =2k. Тогда , т.е. и n – четное число и потому дробь сократима на 2, что противоречит предположению. Таким образом, нет рационального числа, квадрат которого равен 2, т.е. длину гипотенузы рассматриваемого треугольника нельзя измерить с помощью рациональных чисел. Множество рациональных чисел нужно пополнить числами другого вида. В школе такими числами были бесконечные непериодические десятичные дроби. Сейчас мы подойдем к введению новых чисел по-другому, более строго с математической точки зрения.