Mashg’ulot turi: ma’ruza Mavzu: Musbat qatorlar (davomi) Mavzu rejasi

3-eslatma. Dalamber alomatidagi (4) va (5) tengsizlik-lar ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham tasdiq o‘rinli bo‘ladi.

4-eslatma. Dalamber alomatining limit ko‘rinishidagi ifodasida bo‘lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.

3⁰. Integral alomat. Faraz qilaylik, musbat hadli

qator berilgan bo‘lsin. Ayni paytda, oraliqda beril-gan funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1) funksiya da uzluksiz,

2) funksiya da kamayuvchi,

3) da

4) .

Bunda berilgan qator ushbu

ko‘rinishga keladi.

YUqoridagi shartlardan foydalanib, bo‘lganda

, ya’ni

bo‘lishini topamiz. Keyingi tengsizlikni oraliq bo‘yicha integrallash natijasida

(6)

bo‘lishi kelib chiqadi.

Endi berilgan

qator bilan birga ushbu

(7)

qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig‘indisi

bo‘ladi.

Aytaylik, funksiya oraliqda funksiya-ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin:

Uni quyidagicha

ifodalash mumkin. Natijada

bo‘ladi.

Agar da chekli songa intilsa, (bu holda (7) qatorning qismiy yig‘indisi chekli limitga ega bo‘ladi) unda (7) qator yaqinlashuvchi.

Binobarin, ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘ladi. (6) munosabatga ko‘ra berilgan qator-ning qismiy yig‘indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lib, musbat hadli qatorlarning yaqinlashuv-chiligi haqidagi teoremaga muvofiq berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Agar da bo‘lsa, berilgan qator uzoqla-shuvchi bo‘ladi.

SHunday qilib, quyidagi integral alomatga kelamiz.