Машғулоти маърўза

---


7-МАVZU
. 
Hosilaga nisbatan yechilgan 
birinchi tartibli differensial tenglamalar, 
yechimining mavjudligi va yagonaligi 
haqidagi Koshi teoremasi
. 

13-§. Koshi masalasi yechimining 
mavjudligi va yagonaligi
 
Mа’ruza mashg’uloti 
Fan o’qituvchisi:
Fizika –matematika fanlari bo’yicha falsafa doktori F.R. Tursunov 

---

Hosilaga nisbatan yechilgan 
)
,
(
y
x
f
y


(1.13.1) 
differensial tenglamaning 
0
0
)
(
y
x
y

(1.13.2) 
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi 
)
(
x
y
y

yechimini topishga
 
Koshi masalasi deyiladi. 
Teorema-1.13.1. (Koshi).
Agar (1.13.1) differensial 
tenglamadagi 
 
y
x
f
,
funksiya 
 


b
y
y
a
x
x
R
y
x
P






0
0
2
,
:
,
to‘g‘ri 
to‘rtburchakda 
aniqlangan 
va 
uzluksiz 
bo‘lib, 

y
o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshits shartini, ya’ni 
2
,
1
,
)
,
(



j
P
y
x
j
nuqtalar uchun shunday 
0


N
soni topilib 
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
y
y
N
y
x
f
y
x
f



(1.13.3) 
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda shunday 
0
h

soni topilib 
(1.13.1)-(1.13.2) Koshi masalasining 
]
,
[
0
0
h
x
h
x


oraliqda 
aniqlangan va (1.13.2) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi 
yagona 
 
x
y


yechimi mavjud bo‘ladi. Bu yerda 
)
,
(
,
,
min
max
)
,
(
y
x
f
M
M
b
a
h
P
y
x









.

---

Izoh-1.13.1. 
Agar 
)
,
(
y
x
f
funksiya 
P
sohaning har bir 
nuqtasida 
)
,
(
y
x
f
y

xususiy hosilaga ega bo‘lib, 
const
C
C
y
x
f
y



,
)
,
(
shartni qanoatlantirsa, u holda bu funksiya 
P
to‘g‘ri 
to‘rtburchakda 

y
o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshits shartini 
qanoatlantiradi. 
Haqiqatan ham ixtiyoriy ikki 

 

P
y
x
y
x

2
1
,
,
,
nuqtalar uchun 
Lagranj teoremasiga asosan quyidagi 








1`
2
1
2
1
2
1
,
,
,
y
f x y
f x y
f
x y
y
y
y
y








munosabat bajariladi. Bu yerda 
.
1
0



Oxirgi munosabatdan va 
)
,
(
y
x
f
y

xususiy hosilaning 
chegaralanganligidan (1.13.3) tengsizlik kelib chiqadi. 
Ammo, ba’zi hollarda hosilaga ega bo‘lmagan funksiyalar 
ham (1.13.3) Lipshits shartini qanoatlantiradi. 

---

Masalan.
Ushbu 
 
y
y
x
f

,
funksiya 
0

y
, ya’ni 
))
0
,
((
x
nuqtada hosilaga ega emas, lekin 

 

2
1
2
1
2
1
,
,
y
y
y
y
y
x
f
y
x
f





o‘rinli. Bunda Lipshits o‘zgarmasi 
1

N
bo‘ladi. 
Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi misollarni qaraylik. 
Misol-1.13.1.
 
Ushbu 
0
)
1
(
,
3
3
2



y
y
y
Koshi masalasining yechimini toping. 
Yechish. 
Berilgan differensial tenglamada o‘zgaruvchilarni 
ajratib quyidagi 
const
C
C
x
x
y
C
x
y
dx
dy
y
dx
dy
y











,
)
(
)
(
,
,
3
1
,
3
1
3
3
1
3
2
3
2
yechimni topamiz.

---

Boshlang‘ich shartdan foydalanib,
1
,
0
)
1
(
,
0
)
1
(
3





C
C
y
berilgan Koshi masalasining 
 
3
)
1
(


x
x
y
yechimini topamiz. Bundan tashqari, qaralayotgan Koshi 
masalasi 
0
)
(

x
y
yechimga ham ega. Demak, berilgan Koshi 
masalasi ikkita
 
0
)
(
,
)
1
(
3



x
y
x
x
y
yechimga ega ekan. Bundan ko‘rinadiki, berilgan differensial 
tenglamaning o‘ng tomonidagi 
3
2
3
)
,
(
y
y
x
f

funksiya (1.13.3) - Lipshits shartini qanoatlantirmaydi. Chunki 
.
2
0
3
0






y
y
y
y
f
Shuning uchun ham berilgan Koshi masalasining yechimi yagona 
emas. 

---

Misol-1.13.2.
Ushbu
0
)
0
(
,
3



y
y
y
Koshi masalasining yechimini toping. 
Yechish. 
Berilgan differensial tenglamada o‘zgaruvchilarni 
ajratib, uning umumiy yechimini topamiz: 
.
),
(
3
2
)
(
,
,
3
2
3
1
3
1
const
C
C
x
x
y
dx
dy
y
dx
dy
y









Endi boshlang‘ich shartdan foydalanib 

C
o‘zgarmasning 
qiymatini aniqlaymiz: 
0
),
0
(
3
2
0
,
0
)
0
(




C
C
y
, 
0
,
3
2
)
(
,
3
2
)
(
2
3
3
2









x
x
x
y
x
x
y
. 
Ushbu 
0
,
3
2
)
(
2
3








x
x
x
y
funksiya berilgan Koshi masalasining yechimidan iborat bo‘lar 
ekan.

---

Bundan tashqari 
0
)
(

x
y
funksiya ham berilgan Koshi 
masalasining yechimi bo‘ladi. Demak, berilgan Koshi masalasi 
ikkita yechimga ega ekan. Chunki, 
3
)
,
(
y
y
x
f

funksiya 
)
0
,
(
x
nuqtaning atrofida Lipshits shartini qanoatlantirmaydi. Shuning 
uchun yechimning yagonaligi buziladi. 
Quyidagi misolga e’tibor qarataylik. 
Misol-1.13.3.
Ushbu 
0
)
(
,
1
0
2



x
y
y
y
Koshi masalasining yechimini toping. 
Yechish. 
Bu misolda ham, berilgan differensial tenglamada 
o‘zgaruvchilarni ajratib, uning umumiy yechimini topamiz: 
.
)
(
3
)
(
),
(
3
)
(
,
,
3
3
2
2
C
x
x
y
C
x
x
y
dx
dy
y
dx
dy
y









---

Boshlang‘ich shartdan foydalanib 

C
o‘zgarmasning qiymatini 
aniqlaymiz: 
.
,
0
,
0
)
(
0
0
0
x
C
C
x
x
y





Bundan ko‘rinadiki, ushbu 
3
0
)
(
3
)
(
x
x
x
y


funksiya berilgan Koshi masalasining yagona yechimidan iborat 
bo‘ladi. 
Shuni alohida qayd qilish lozimki, berilgan Koshi 
masalasidagi 
3
2
2
)
,
(
,
1
)
,
(
y
y
x
f
y
y
x
f
y




funksiyalarning 
)
0
,
(
0
x
nuqtada uzluksizligi buziladi. Ammo, 
berilgan Koshi masalasi yagona yechimga ega. Demak, Koshi 
teoremasidagi shartlar Koshi masalasi yechimi mavjud va yagona 
bo‘lishi uchun yetarli shartlardir. Koshi masalasi yechimining 
yagonaligidan 
)
,
(
y
x
f
funksiyaning uzluksizligi va 
y
o‘zgaruvchi 
bo‘yicha Lipshits shartini qanoatlantirishi kelib chiqmaydi. 

---

Teoremani isboti (Mavjudligi). 
Berilgan differensial 
tenglamani ushbu
dx
y
x
f
dy
)
,
(

ko‘rinishda yozib, uni 
)
,
(
0
x
x
interval bo‘yicha integrallaymiz: 
.
))
(
,
(
0
0



x
x
x
x
dt
t
y
t
f
dy
Hosil bo‘lgan bu tenglikda (1.13.2) boshlang‘ich shartdan 
foydalanib 



x
x
dt
t
y
t
f
y
x
y
0
))
(
,
(
)
(
0
(1.13.5) 
munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat 
)
(
x
y
funksiyaga 
nisbatan integral tenglamadir. Shunday qilib, agar 
)
(
x
y
funksiya 
(1.13.1)-(1.13.2) Koshi masalasining yechimi bo‘lsa, u holda 
)
(
x
y
(1.13.5) integral tenglamani qanoatlantirar ekan. Aksincha, agar 
)
(
x
y
uzluksiz funksiya (1.13.5) integral tenglamaning yechimi 
bo‘lsa, u holda 
)
(
x
y
berilgan (1.13.1)-(1.13.2) Koshi masalasining 
ham yechimi bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.

---

Haqiqatan ham 
)
(
x
y
uzluksiz funksiya (1.13.5) integral tenglamani 
qanoatlantirsin. U holda 
))
(
,
(
x
y
x
f
funksiya 

P
sohada uzluksiz 
bo‘lgani uchun 
))
(
,
(
))
(
,
(
0
x
y
x
f
dt
t
y
t
f
dx
d
x
x










munosabatning o‘rinli bo‘lishi “Matematik analiz” fanidan 
ma’lum. Yuqoridagi (1.13.5) tenglikning ikki tomonini 
differensiallab 
))
(
,
(
))
(
,
(
)
(
0
0
x
y
x
f
dt
t
y
t
f
y
x
y
x
x












ekanligini topamiz. (1.13.2) boshlang‘ich shartning bajarilishi 
(1.13.5) tenglikdan ko‘rinib turibdi: 






0
0
0
0
0
0
0
))
(
,
(
)
(
x
x
y
y
dt
t
y
t
f
y
x
y
. 

---

Shunday qilib, (1.1.1)-(1.13.2) Koshi masalasi (1.13.5) integral 
tenglamaga ekvivalent ekan. Shuning ushun (1.13.1)-(1.13.2) 
Koshi masalasi yechimini mavjudligini ko‘rsatish o‘rniga, unga 
ekvivalent bo‘lgan (1.13.5) integral tenglama yechimini 
mavjudligini 
ko‘rsatamiz. 
Buning 
uchun 
ketma-ket 
yaqinlashishlar (Pikar) usulidan foydalanamiz. 
Quyidagi 
0
0
0
1
0
0
( )
,
( )
( ,
( )) ,
x
x
y x
y
y x
y
f t y t dt




0
0
2
0
1
0
1
( )
( ,
( )) ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( )
( ,
( )) ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
x
x
n
n
x
y x
y
f t y t dt
y x
y
f t y
t dt







(1.13.6) 
formulalar yordamida 




0
)
(
n
n
x
y
funksional ketma-ketlikni tuzib 
olamiz.

---

Bu yerdagi 
.
.
.
,
2
,
1
,
0
),
(

j
x
y
j
funksiyalarning har biri (1.13.2) 
boshlang‘ich shartni, ya’ni 
.
.
.
,
2
,
1
,
0
,
)
(
0
0


j
y
x
y
j
qanoatlantiradi. 
Endi, ushbu 
0
1
)
(
y
x
y

, 
,
.
.
.
,
)
(
0
2
y
x
y

.
.
.
,
)
(
0
y
x
y
n

ayirmalarni baholaymiz: 
,
)
)
(
,
(
))
(
,
(
)
(
0
0
0
0
1
0
0
0
x
x
M
dt
M
dt
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
y
x
y
x
x
x
x
x
x









(1.13.7) 
.
)
)
(
,
(
))
(
,
(
)
(
0
1
1
0
0
0
0
x
x
M
dt
M
dt
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
y
x
y
x
x
x
x
n
x
x
n
n











Bundan ko‘rinadiki, agar 
x
lar ushbu 
,
)
,
(
max
,
,
min
,
)
,
(
0
y
x
f
M
M
b
a
h
h
x
x
P
y
x











tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1.13.7) bahodan 
,
)
(
0
1
b
M
b
M
h
M
y
x
y






(1.13.
7

) 
.
.
,.
2
,
1
,
)
(
0







n
b
M
b
M
h
M
y
x
y
n
tengsizliklar kelib chiqadi.

---

Bu 
esa 
.
.
.
,
2
,
1
,
0
),
(


n
x
y
y
n
funksiyalarning 
grafiklari 


h
x
x
x
x




0
:
larda 
P
to‘g‘ri to‘rtburchakdan chiqib 
ketmasligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, 
h
x
x
h
x




0
0
tengsizlik 
bajarilsa, 
.
.
.
,
2
,
1
,
0
),
(

n
x
y
n
funksiyalarning grafiklari 
.
.
.
,
2
,
1
,
))
(
,
(



n
x
y
x
n
P
to‘g‘ri to‘rtburchakda joylashar ekan. 
Endi, har bir tayinlangan 
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



larda ushbu 




0
)
(
n
n
x
y
sonli ketma-ketlikning 


n
da chekli limiti mavjudligini 
ko‘rsatamiz va uni 
R
x
y
x
y
n
n




)
(
)
(
lim
(1.13.8) 
orqali belgilaymiz. Shu maqsadda, matematik induksiya usulini 
qo‘llab 
!
)
(
)
(
0
1
1
n
x
x
MN
x
y
x
y
n
n
n
n





(1.13.9) 
bahoning o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. Bu baho 
1

n
da o‘rinli: 
.
))
(
,
(
)
(
0
0
0
1
0
x
x
M
dt
t
y
t
f
y
x
y
x
x






---

Aytaylik, (1.13.9) tengsizlik biror 
N
n

uchun bajarilsin. U holda 
(1.13.9) bahoni 
1

n
uchun bajarilishini ko‘rsatamiz. Lipshits 
shartidan foydalanib quyidagi ayirmani baholaymiz: 
.
)!
1
(
!
)
(
)
(
))
(
,
(
)
)
(
,
(
))]
(
,
(
))
(
,
(
[
)
(
)
(
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0























n
x
x
MN
dt
x
t
n
M
N
dt
t
y
t
y
N
dt
t
y
t
f
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
t
y
t
f
x
y
x
y
n
n
x
x
n
n
x
x
n
n
x
x
n
n
x
x
n
n
n
n
Agar 
h
x
x


0
deb, ushbu 
!
1
n
h
MN
a
n
n
n


belgilashdan foydalansak, (1.13.9) baho quyidagi 
N
n
a
n
h
MN
x
y
x
y
n
n
n
n
n






,
!
)
(
)
(
1
1
(1.13.10) 
ko‘rinishni oladi.

---

Avvalo 
}
{
n
a
ketma-ketlik ushbu 
N
n
const
C
C
a
n
n



,
,
2
tengsizlikni qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Buning uchun 
n
n
n
a
b
2

ketma-ketlikni tuzib olamiz. Ko‘rinib turibdiki, 









n
n
hN
a
a
b
b
n
n
n
n
n
n
,
0
1
2
2
2
1
1
1
munosabat o‘rinli. Bunga ko‘ra, shunday 
N
n

0
nomer topiladiki, 
1
1


n
n
b
b
tengsizlik 
0
n
n

larda bajariladi. Bu esa 
,
1
n
n
b
b


ya’ni 
n
b
ketma-ketlikning hadlari 
0
n
nomerdan boshlab kamayuvchi va 
chegaralangan ekanligini ko‘rsatadi. Demak, 
.
,
0
n
n
C
b
n



Shuning uchun 
n
n
C
a
2

tengsizlik bajariladi. Bundan va (1.13.10) tengsizlikdan 
h
x
x
C
x
y
x
y
n
n
n





0
1
,
2
)
(
)
(
(1.13.11) 
baho kelib chiqadi. 

---

Endi 




0
)
(
n
n
x
y
, 
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



ketma-ketlik Koshi kriteriyasini 
qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Buning uchun quyidagi ayirmani 
baholaymiz: 










)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
N
N
N
N
p
N
N












)
(
)
(
.
.
.
)
(
)
(
1
2
3
2
x
y
x
y
x
y
x
y
p
N
p
N
N
N






)
(
)
(
1
x
y
x
y
p
N
p
N
.
2
2
1
2
2
)
(
)
(
1
1
1
1
N
p
k
k
N
p
k
k
N
p
k
k
N
k
N
C
C
C
x
y
x
y















(1.13.12) 
Bu tengsizlikdan 





N
x
y
x
y
p
N
N
,
0
)
(
)
(
ekanligi kelib chiqadi. Bu esa 


,
)
(
x
y
n
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



ketma-
ketlikning fundamentalligini va Koshi kriteriyasiga asosan uning 
(1.13.8) ko‘rinishdagi chekli
limitga ega ekanligini ko‘rsatadi. 

---

Quyidagi 
p
p
p
k
k



















2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
geometrik 
progressiya 
yig‘indisini 
topish 
formulasidan 
foydalanib, (1.13.12) tengsizlikni 


















p
N
p
N
N
C
x
y
x
y
2
1
1
2
)
(
)
(
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tengsizlikda 


p
da limitga 
o‘tib, (1.13.8) munosabatni inobatga olsak, 
N
N
C
x
y
x
y
2
)
(
)
(


kelib chiqadi. Barcha 
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



larda (1.13.8) limitning 
mavjudligi 
)
(
x
y
ning shu kesmada aniqlangan funksiya ekanligini 
bildiradi. 

---

Endi 
)
(
x
y
funksiyani 
]
,
[
0
0
h
x
h
x


kesmada uzluksizligini va uning 
grafigi 
P
to‘g‘ri to‘rtburchakda yotishini ko‘rsatamiz. Buning 
uchun 
]
,
[
,
0
0
2
1
h
x
h
x
x
x




ikki nuqta olib ushbu 
)
(
)
(
2
1
x
y
x
y
n
n

ayirmani baholaymiz: 
.
)
(
)
(
;
))
(
,
(
))
(
,
(
))
(
,
(
))
(
,
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
0
x
x
M
x
y
x
y
x
x
M
dt
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
x
y
x
y
n
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
n
n



















Bu oxirgi tengsizlikda 


n
da limitga o‘tsak, 
2
1
2
1
)
(
)
(
x
x
M
x
y
x
y



baho kelib chiqadi. Bundan esa 
)
(
x
y
funksiyaning 
]
,
[
0
0
h
x
h
x


kesmada uzluksizligi kelib chiqadi. 

---

Yuqorida isbotlangan (1.13.
7

), ya’ni 
,
)
(
0
b
y
x
y
n


]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



tengsizlikda 


n
da limitga o‘tib, 
,
)
(
0
b
y
x
y


]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



bahoni olamiz. Bu esa 
),
(
x
y
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



funksiyaning grafigi 
P
x
y
x

))
(
,
(
to‘g‘ri to‘rtburchakda joylashishini ko‘rsatadi. 
Nihoyat 
),
(
x
y
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



uzluksiz funksiyani (1.13.5) 
integral tenglamani qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Avvalo 
Lipshits shartidan foydalanib quyidagi ayirmani baholaymiz: 
.
,
0
2
)
(
)
(
))]
(
,
(
))
(
,
(
[
1
1
0
0











n
h
C
N
dt
t
y
t
y
N
dt
t
y
t
f
t
y
t
f
n
x
x
n
x
x
n

---

Quyidagi 





x
x
n
n
dt
t
y
t
f
y
x
y
0
))
(
,
(
)
(
1
0







x
x
n
x
x
dt
t
y
t
f
t
y
t
f
dt
t
y
t
f
y
0
0
))]
(
,
(
))
(
,
(
[
))
(
,
(
1
0
tenglikda 


n
da limitga o‘tib, ushbu 



x
x
dt
t
y
t
f
y
x
y
0
))
(
,
(
)
(
0
integral tenglamani hosil qilamiz. Bu esa 
),
(
x
y
]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



uzluksiz funksiya (1.13.5) integral tenglamaning yechimidan 
iborat ekanligini bildiradi. Shunday qilib, (1.13.1)-(1.13.2) Koshi 
masalasining 
]
,
[
0
0
h
x
h
x


kesmada aniqlangan 
)
(
x
y
yechimi 
mavjud ekan. 

---

Berilgan 
(1.13.1)-(1.13.2) 
Koshi 
masalasi 
yechimining 
yagonaligini ko‘rsatish uchun quyidagi tasdiqdan foydalanamiz.