Машғулоти маърўза

Lemma-1 (Gronuolla). 
Faraz qilaylik, 
]
,
[
0
x
x
kesmada 
)
(
),
(
x
v
x
u
funksiyalar uzluksiz va manfiy bo‘lmasin. Agar ular 
uchun, ushbu 
0
,
)
(
)
(
)
(
0




A
dt
t
v
t
u
A
x
u
x
x
(1.13.13) 
baho o‘rinli bo‘lsa, u holda 










x
x
dt
t
v
A
x
u
0
)
(
exp
)
(
(1.13.14) 
tengsizlik bajariladi. 
Isbot.
Aytaylik, 
0
0,
A
x
x


bo‘lsin. U holda (1.13.13) 
tengsizlikda modul ishorasini tashlab va uni 
)
(
x
v
ga ko‘paytirsak, 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
x
v
dt
t
v
t
u
A
x
v
x
u
x
x



(1.13.15) 
hosil bo‘ladi.

---

Oxirgi (1.13.15) tengsizlikni ushbu 
)
(
)
(
)
(
)
(
0
x
v
x
u
dt
t
v
t
u
A
dx
d
x
x











munosabatdan foydalanib 
dx
x
v
dt
t
v
t
u
A
dt
t
v
t
u
A
d
x
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0













ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tengsizlikning ikkala tomonini 
integrallab 













x
x
x
x
dt
t
v
A
dt
t
v
t
u
A
0
0
)
(
ln
)
(
)
(
ln
munosabatni hosil qilamiz. Bundan 






















x
x
x
x
x
x
dt
t
v
A
dt
t
v
A
dt
t
v
t
u
A
0
0
0
)
(
exp
)
(
exp
)
(
)
(
kelib chiqadi.

---

Lemma shartidagi (1.13.13) tengsizlikka asosan 
















x
x
x
x
x
x
dt
t
v
A
dt
t
v
t
u
A
dt
t
v
t
u
A
x
u
0
0
0
)
(
exp
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
baho
 
hosil bo‘ladi. Bu baho 
0
,
0
x
x
A


larda ham o‘rinli. Chunki 
0
x
x

larda (1.13.13) tengsizlikni quyidagi 






0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
dt
t
v
t
u
A
dt
t
v
t
u
A
x
u
ko‘rinishda yozish mumkin. Bundan ham 




















x
x
x
x
dt
t
v
A
dt
t
v
A
x
u
0
0
)
(
exp
)
(
exp
)
(
kelib chiqadi. 
Agar 
0

A
bo‘lsa, u holda 
0
)
(

x
u
bo‘ladi.

---

Haqiqatan ham 
0
,
)
(
)
(
)
(
0







x
x
dt
t
v
t
u
x
u
bo‘lsa, (1.13.14) dan 










x
x
dt
t
v
x
u
0
)
(
exp
)
(

bahoga ega bo‘lamiz. Bundan 
0



da 
0
)
(

x
u
kelib chiqadi, bu 
esa 
0
)
(

x
u
shartga zid. Shuning uchun 
0
)
(

x
u
. ■ 
Yagonaligi. 
Aytaylik, 
)
(
1
x
y
, 
)
(
2
x
y
funksiyalar (1.13.1) 
differensial tenglamani va (1.13.2) boshlang‘ich shartni 
qanoatlantirsin. Bundan tashqari ularning grafiklari 
P
to‘g‘ri 
to‘rtburchakda joylashsin, ammo 
),
(
)
(
2
1
x
y
x
y

]
,
[
0
0
h
x
h
x
x



bo‘lsin.

---

U holda ushbu 
,
)
(
)),
(
,
(
)
(
0
0
1
1
1
y
x
y
x
y
x
f
dx
x
dy


0
0
2
2
2
)
(
)),
(
,
(
)
(
y
x
y
x
y
x
f
dx
x
dy


tengliklardan, avvalo 
,
0
)
(
)
(
0
2
0
1


x
y
x
y
so‘ngra 
))
(
,
(
))
(
,
(
))
(
)
(
(
2
1
2
1
x
y
x
f
x
y
x
f
dx
x
y
x
y
d



munosabatni olamiz. Bu tenglikning ikki tomonini integrallab 




x
x
dt
t
y
t
f
t
y
t
f
x
y
x
y
0
))]
(
,
(
))
(
,
(
[
)
(
)
(
2
1
2
1
ifodani olamiz. Lipshits shartidan foydalanib, oxirgi munosabatni 
baholaymiz: 

---

,
)
(
)
(
))
(
,
(
))
(
,
(
)
(
)
(
0
0
2
1
2
1
2
1







x
x
x
x
dt
t
y
t
y
N
dt
t
y
t
f
t
y
t
f
x
y
x
y
ya’ni 




x
x
dt
t
y
t
y
N
x
y
x
y
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
bahoni olamiz. Ushbu 
0
,
0
)
(
,
0
)
(
)
(
)
(
2
1






A
N
x
v
x
y
x
y
x
u
belgilashlarni 
olib, 
Gronuolla 
tengsizligidan 
foydalansak, 
)
(
)
(
,
0
)
(
2
1
x
y
x
y
x
u


ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Teorema to‘la 
isbot bo‘ldi. ■ 

---

Ko‘pchilik hollarda (1.13.1)-(1.13.2) Koshi masalasining 
)
(
x
y
yechimi 
bilan 
(1.13.6) 
tengliklar 
orqali 
aniqlangan 
( ),
n
y x
n

yaqinlashish orasidagi farqni hisoblashga to‘g‘ri keladi. 
Buning uchun ushbu 
)
(
)
(
x
y
x
y
n

ayirmani baholashga to‘g‘ri 
keladi. Avvalo biz 
)
(
x
y
n
funksiyani quyidagi 






n
k
k
k
n
x
y
x
y
y
x
y
1
1
0
)]
(
)
(
[
)
(
ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra bu tenglikning ikki tomonida 


n
da limitga o‘tib 







1
1
0
)]
(
)
(
[
)
(
k
k
k
x
y
x
y
y
x
y
munosabatni hosil qilamiz.

---

Bundan va (1.13.10) tengsizlikdan foydalanib, quyidagi ayirmani 
baholaymiz: 










1
1
0
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
k
n
k
k
n
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y















1
1
1
1
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
n
k
k
k
n
k
k
k
x
y
x
y
x
y
x
y
,
)!
1
(
)
(
!
)
(
)!
1
(
)
(
!
0
1
1













j
n
hN
j
n
n
k
k
k
n
Nh
Mhe
j
Nh
n
Nh
Mh
k
h
MN
ya’ni 
.
)!
1
(
)
(
)
(
)
(



n
Nh
Mhe
x
y
x
y
n
hN
n
(1.13.16) 
Bu yerda 
,
,
min
,
,
)
,
(
0
)
,
(
max











M
b
a
h
h
x
x
y
x
f
M
P
y
x

N
Lipshits o‘zgarmasi. 
Mustaqil yechish uchun mashqlar: [5], §7, №221-223, 
225, 226, 228. 

---

E’tibor uchun 
tashakkur !