M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

O‘N BIRICHI MA’RUZA

Mavzu: Markaziy limit teorema.

^Reja:

1. 
   Masalaning qo‘yilishi.
   
2. 
   ^{Lindeberg teoremasi,}
   

Tayanch iboralar: Muavr-Laplas integral teoremasi, normal taqsimot, Lindeberg sharti, xarakteristik funksiyalar ketma-ketligining yaqinlashishi. ;

^{Masalaning qo‘yilishi.}

6-ma’ruzada keltirilgan Muavr-Laplas integral limit teoremasi ehtimollar nazariyasining o‘zi uchun, shuningdek, uning turli sohalaridagi tatbiqlari uchun ham fundamental ahamiyatga ega bo‘lgan katta sikldagi ishlarda manba bo‘lib xizmat qildi, SHu tadqiqotlar haqida tasavvurga ega bo‘lishimiz uchun, Muavr-Laplas integral limit teoremasiga boshqacha shakl beramiz. CHunonchi, orqali -tajribada hodisaning ro‘y berish sonini belgilaylik , y holda n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada hodisaning ro‘y berish sonidan iborat bo‘lgan tasodifiy miqdor

ga teng bo‘ladi. Ulardan har birining matematik kutilmasi ga, dispersiyasi esa, ga teng bo‘ladi. U holda



_bo‘ladi. SHunga ko‘ra Muavr-Laplas teoremasini ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:

yoki boshqacha aytganda, bunday ta’riflanadi: ikkita 1 va 0 qiymatni mos ravishda va ehtimol bilan qabul qiluvchi, bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlarning o‘zlarining matematik kutilishlaridan cheklanishlari yig‘indisining mos dispersiyalar yig‘indisi kvadrat ildiziga nisbati a va b gacha bo‘lgan chegara ichida bo‘lish ehtimoli qo‘shiluvchilar soni cheksiz ortganida

integralga a va b ga nisbatan tekis intiladi.

Tabiiy bunday savol tug‘iladi: (1) munosabat qo‘shiluvchilarning maxsus tanlanishi bilan qanchalik bog‘langan? (1) munosabat qo‘shiluvchilarning taqsimot funksiyalariga kuchsizroq bo‘lgan cheklashlar qo‘yilganda ham o‘rinli bo‘lmasmikin?

Bu masalani hal qilishda P. L.Chebishev va uning shogirdlari A. A. Markov va A.M. Lyapunovlarning xizmatlari katta. Ularning tadqiqotlari shuni ko‘rsatadiki, qo‘shiluvchi tasodifiy miqdorlarga juda ham umumiy shartlar qo‘yish mumkin ekan. Bu shartlarning ma’nosi ayrim olingan qo‘shiluvchining umumiy yig‘indiga sezilmaydigan ta’sir ko‘rsatishini ta’minlashdir.

Misol, Tajriba sizot suvlarining chuqurligini o‘lchashdan iborat bo‘lsin. Albatta o‘lchash natijasida yo‘l ko‘yiladigan xatolar juda ko‘p omillarga bog‘liq. Bu omillarning har biri ma’lum xatoga olib kelishi mumkin. Lekin, o‘lchashlar soni etarlicha katta bo‘lib, ular bir xil shartlarda olib borilsa, o‘lchashda kuzatilayotgan xatolik tasodifiy miqdor bo‘lib, kattaligi jihatdan sezilarsiz va o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy xatolar yig‘indisidan iborat bo‘ladi. O‘lchash natijasida bu xatolarning birgalikdagi ta’siri sezilarli bo‘ladi. SHuning uchun ham tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimotini topish katta ahamiyatga ega. Demak, har biri yig‘indiga sezilarsiz ta’sir ko‘rsatadigan juda ko‘p sondagi bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisiga xos qonuniyatlarni o‘rganish masalasi kelib chiqadi.

Shunday qilib, quyidagi masalaga kelamiz: o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan - tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan, ular chekli matematik kutilishlariga va chekli dispersiyalarga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz.

.

^Aytaylik,

(2)

yigindining taqsimot funksiyasi normal taqsimot qonunga yaqinlashishi uchun miqdorlarga qanday shartlar qo‘yilishi kerak?

Keyinroq ko‘ramizki, buning uchun Lindberg shartining bajarilishi etarli bo‘ladi.

Agar ixtiyoriy uchun

(3)

bo‘lsa, u holda ketma-ketlik Lindeberg shartini qanoatlantiradi deb aytamiz, bu yerda

Bu shartning ma’nosini aniqlaymiz.

hodisani orqali belgilaymiz va

_{ehtimolni baholaymiz,}

va

bo‘ladi. U holda



ekanligini e’tiborga olsak,

.

Lindeberg shartiga ko‘ra, son har kanday bo‘lganda ham,

oxirgi tengsizlikning o‘ng tomoni da nolga intiladi. Shunday kilib, Lindeberg sharti (2) yig‘indidagi



qo‘shiluvchilarning tekis ravishda kichikligini ta’minlaydi.

^{Lindeberg teoremasi.}