M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Katta sonlar qonunining turli formalari.

Teorema. (Chebishev formasida katta sonlar qonuni). Agar , juft-juft bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar bo‘lib, ularning dispersiyalari biror son bilan tekis chegaralangan bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son uchun



munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. tasodifiy miqdorni qaraymiz. Matematik kutilmaning xossasiga asosan:

.

tasodifiy miqdorlar juft-juft bog‘liq bo‘lmaganidan

munosabatni hosil qilamiz. Demak, Chebishev tengsizligiga asosan quyidagini yoza olamiz:

.

Bu esa ning o‘sishi bilan hodisaning ehtimoli

birga intilishini ko‘rsatadi. Teorema isbot bo‘ldi.

Chebishev teoremasini bayon qilishda biz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari har xil bo‘lishi mumkin deb faraz qilgan edik. Amalda esa ko‘pincha tasodifiy miqdorlar bir xil matematik kutilmaga ega bo‘ladi. Agar qo‘shimcha ravishda bu tasodifiy miqdorlarning dispersiyalari tekis chegaralangan deyiladigan bo‘lsa, u holda bunday miqdorlarga Chebishev teoremasini qo‘llash mumkinligi ravshan.

Biz endi qaralayotgan bu xususiy hol uchun Chebishev teoremasini ta’riflashimiz mumkin.

Agar lar juft-juft bog‘liq bo‘lmagan va bir xil matematik kutilmaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorlar bo‘lib, ularning dispersiyalari bitta o‘zgarmas soni bilan tekis chegaralangan bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son uchun



^{munosabat o‘rinli bo‘ladi.}

Chebishev teoremasining amaliyot uchun ahamiyatini quyidagi misollarda keltiramiz.

Odatda biror fizikaviy kattalikni aniqlash uchun bir nechta o‘lchashlar (tajribalar) o‘tkaziladi va ularning o‘rtacha arifmetik qiymati izlanayotgan o‘lcham sifatida qabul qilinadi. Qanday shartlarda bunday o‘lchash usulini to‘g‘ri deb hisoblash mumkin? Bu savolga CHebishev teoremasi (uning xususiy holi) javob beradi.

Haqiqatdan ham, har bir o‘lchash natijalarini tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu tasodifiy miqdorlar uchun CHebishev teoremasini qo‘llamoqchi bo‘lsak, quyidagilar bajarilishi kerak:

1. 
   ^{Ular juft-juft o‘zaro bog‘liq emas.}
   
2. 
   ^{Bir xil matematik kutilmaga ega.}
   
3. 
   ^{Ularning dispersiyalari tekis chegaralangan.}
   

Agar har bir o‘lchash natijasi qolganlarining natijasiga bog‘liq bo‘lmasa, birinchi talab bajariladi.

Agar o‘lchashlar sistematik (bir xil ishorali) xatolarsiz bajarilsa, ikkinchi talab bajariladi.

Agar o‘lchov asbobi tayin aniqlikni ta’minlay olsa, uchinchi talab bajariladi. Bunda ayrim o‘lchashlarning natijalari har xil bo‘lsada, ularni tarqokdigi chegaralangan bo‘ladi.

Agar yuqorida ko‘rsatilgan hamma talablar bajarilgan bo‘lsa, u holda o‘lchash natijalariga CHebishev teoremasini qo‘llashga haqlimiz: p etarlicha katta bo‘lganda tengsizlikning ehtimoli birga istalgancha yaqin bo‘ladi. Boshqacha qilib aytganda, ularning o‘rtacha arifmetik qiymati o‘lchanayotgan kattalikning haqiqiy qiymatidan istalgancha kam farq qiladi.

Shunday qilib, Chebishev teoremasi ko‘rsatilgan o‘lchash usulini qo‘llash mumkin bo‘ladigan jarayonlarning bajarilishi kerakligini ko‘rsatadi.

Statistikada qo‘llaniladigan tanlanma usul Chebishev teoremasiga asoslangan. Bu usulning mohiyati shundan iboratki, unda uncha katta bo‘lmagan tasodifiy tanlanmaga asoslanib, barcha tekshirilayotgan ob’ektlar to‘plami (bosh to‘plam) to‘g‘risida mulohaza qilinadi.

Masalan, bir toy paxtaning sifati haqida har er-har eridan olingan paxta tolalaridan iborat to‘plamning sifatiga qarab xulosa chiqariladi. To‘plamdagi paxta tolalarining soni toydagidan ancha kam bo‘lsa ham, to‘plam etarlicha ko‘p sondagi yuzlab tolalardan iboratdir.

Boshqa misol sifatida donning ozginasini tatib ko‘rishga asoslanib, uning sifatini bilib olish mumkinligini aytish mumkin.

Mana shu keltirilgan misollarning o‘zidan, Chebishev teoremasi amaliyot uchun bebaho ahamiyatga ega deb xulosa chiqarish mumkin.

ta bog‘liq bo‘lmagan tajribalar o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida kuzatilayotgan biror hodisaning ro‘y berish ehtimoli ga teng bo‘lsin. Hodisa ro‘y berishining nisbiy chastotasi taxminan qanday bo‘lishini oldindan aytish mumkinmi?

Bu savolga Ya. Bernulli tomonidan isbotlangan teorema ijobiy javob beradi. Bu teorema «katta sonlar qonuni» nomi bilan yuritiladi. U ehtimollar nazariyasining fan snfatida shakllanishiga asos bo‘lgan. Kuzatilayotgan hodisaning tajribada ro‘y berish sonini desak, u holda. agar tajribada kuzatilayotgan hodisa ro‘y bersa, va aks holda bo‘ladi. Natijada o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan bir xilda binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi hosil bo‘ladi.



yig‘indi birinchi ta tajribada

kuzatilayotgan hodisaning ro‘y berishlar soni bo‘ladi.

Ma’lumki, . Bunday sxema uchun quyidagi tasdiq katta

sonlar qonuni nomi bilan yuritiladi: