M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

% diskret tasodifiy miqdor {x_k} qiymatlarni {p_k} ehtimolliklar bilan qabul qilsin. Unda,
E Pk = ¹
k=1
1-ta’rif. % diskret tasodifiy miqdorning matematikkutilmasi deb ushbu
^E% = ^xi ■ Pi + ^X2 ■ P₂ + ••• + ^XnPn = E^Xk • Pk
k=1
tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi.
Diskret tasodifiy miqdorlarning mumkin bo‘lgan qiymatlari soni cheksiz
bo‘lishi ham mumkin. Bu holda E P_k = 1 va matematik kutilmani ta’riflash uchun
k=1
^E% = ^X1 ■ Pi + ^X2 ■ Pi + ... + ^Xk ■ Pk + ... = E^XP ⁽¹⁾
i=1
qatordan foydalaniladi. Matematik kutilma mavjud bo‘lishi uchun (1) qatorni absolyut yaqinlashuvchi deb faraz qilinadi.
Ba’zi misollarni qarab chiqamiz.

1. 
   misol. A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi P ga teng bo‘lsa, bitta tajribada A hodisa ro‘y berish sonining matematik kutilmasini toping.
   

Yechish. Bitta tajribada A hodisaning ro‘y berish sonini % deb belgilaylik. U
holda
%: 0 1 P: q P ’
bu erda p + q = 1 va 1-ta’rifga asosan, E% = 0 ■ q +1 ■ p = p .

2. 
   misol. (n,p) parametrli binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
   

Yechish: % orqali A hodisaning n ta bog‘liqsiz tajribalarda ro‘y berish sonini belgilasak, P(% = к) = C^k_np^kqⁿ~^k tenglik o‘rinli ekani bizga ma’lum .Matematik kutilma ta’rifiga ko‘ra
^E% = £ ^к ■^p (% = к) = £ ^к ■ ^Cn,p^kqⁿ~^k =ⁿp£ ^C^p^k~¹qⁿ~^k = ⁿP (q + p ) = ⁿ ■ p.
к=1 к=1 к=1

3. 
   misol. Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
   

Am
Yechish: P(% = m) = — e~^л, m = 0,1,2,... tenglik o‘rinli ekani bizga
m!
ma’lum.
Uning taqsimot qonunini ushbu jadval ko‘rinishida yozamiz.

Xi	0	1	2		m
pi	e~^л	-e- 1!	-2 в^л 2!		s ^ a to i

7 7 2 om
E% = 0 ■ e ~^л +1 —e^ + 2 ■ — e ~^л +... + m—e ~^л +... =

1

2!

= Лe

-л

^r. . л² л
1 + Л + + ... + 7
У 2! (m -1)

m!
m—1 Л
+ ...
J
Matematik kutilmasi uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
Qavs ichidagi qator e^л funksiyaning Makloren qatoriga yoyilmasidir. Shuning uchun matematik kutilma E% = л. Shunday qilib, biz Puasson taqsimot qonuniga kirgan Л parametrning ehtimolliy ma’nosini topdik: Л parametr tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga teng.
% uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi p(x) bo‘lsin.

2. 
   ta’rif. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb, ushbu
   

E% =| x ■ p (x }dx
—integralga (agar bu integral absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa) aytiladi.

4. 
   misol. (a, a²) parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy
   

miqdorning matematik kutilmasini toping.













^x 1 ^x a

(-—a )²
2a²

V2n

dx

(x—a )² _? 2a²

d- +-

a

a

aV2n

'jj
J

(x—a )²
2a²

d- -
Yechish. Ta’rifga asosan
- x z
= —-j== J ze ² dz + a = a
ad2n —X
Demak, (a, a²) parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi a parametrga teng ekan.

5. 
   misol. v parametrli eksponensial qonun bo‘yicha taqsimlangan т tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi:
   

^x 1
Et = J xve~^vxdx = —.
J 1/

6. 
   misol. [a, b] oraliqda tekis taqsimlangan % tasodifiy miqdorning
   

b + a
2

a
matematik kutilmasi quyidagicha topiladi:

2. 
   ta’rif. Taqsimot funksiyasi F(x) bo‘lgan tasodifiy miqdorning matematik
   

x
kutilmasi E%= J xdF(x) kabi aniqlanadi.
—x




P (^x)

1
n(l + x²)

|x|
Tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi hamma vaqt ham mavjud bo‘lavermasligini eslatib o‘tamiz. Masalan, tasodifiy miqdor Koshi qonuni bilan taqsimlangan bo‘lsin, uning zichlik funksiyasi
ko‘rinishda bo‘ladi va integral


—X

mavjud bo‘lmaydi.

Matematik kutilmaning ehtimollik ma’nosi
% tasodifiy miqdor ustida n ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. Tajriba natijalari ushbu jadvalda keltirilgan:
%^{: x}1 X2 ... X_k
n: n₁ n₂ ... n_k
Yuqori satrda % miqdorning kuzatilgan qiymatlari, pastki satrda esa mos qiymatlarning chastotalari ko‘rsatilgan, ya’ni n₁ son n₁ ta tajribada % miqdor х₁ ga teng qiymat qabul qilinganligini bildiradi va hakozo.
X orqali kuzatilgan barcha qiymatlarning o‘rta arifmetigini belgilaylik, u
holda,

Ehtimollikning klassik ta’rifi. Ehtimollikning statistik ta’rifi 7
Ehtimollikning geometrik va statistik ta’riflari 11
Tasodifiy miqdor tushunchasi 43
Diskret tasodifiy miqdorlar 43
Binomial taqsimot 44
Tasodifiy miqdorlar dispersiyasi 46
J 51
ni hosil qilamiz, unga gistogramma deyiladi. Guruhlash gistogramma asosida statistik taqsimot funksiyasini taqriban yasash mumkin. 90
Olingan materiallarni keyingi qayta ishlash quyidagicha amalga oshiriladi. 90

Bu yerda p*, p*,...,p* - mos ravishda x,, x₂, ..., x_k qiymatlarning nisbiy chastotalari. Tajribalar soni yetarlicha katta bo‘lganda p* « p₂,..., p* « p_k bo‘ladi.
Shuning uchun X « E%, ya’ni % tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi uning kuzatiladigan qiymatlari o‘rta arifmetigiga taqriban teng.
Matematik kutilma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   xossa. O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng. Isbot: c o‘zgarmas sonni faqat bitta c qiymatni 1 ehtimollik bilan qabul
   

qiluvchi tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Shuning uchun Ec = c • 1 = c

2. 
   xossa. \E%\ tengsizlik o‘rinli.
   

Bu xossaning isboti matematik kutilmaning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
3-xossa. E£, En va E(£ + n) laming ixtiyoriy ikkitasi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu E(£ + n) = E£ + En tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Isbotni diskret hol uchun keltiramiz. Faraz qilaylik, £ tasodifiy miqdor x₁, x₂, ..., x_k,... qiymatlarni mos ravishdap₁, p₂, ..., p_k, ..., ehtimolliklar bilan, n tasodifiy miqdor esa y₁,y₂, ...y_k, qiymatlarni mos ravishda q₁, q₂, . q_k,
., ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda £ + n yig‘indining qabul qiladigan qiymatlari {x_k + y_t} (k = 1,2,.., l = 1,2...) ko‘rinishdagi sonlardan iborat.



^E(^£+n)=Z(^xk+yi)k,i =Z^xk Zpk,i +Zyi Zpk,i
p_kl orqali £ ning x_k va n ning y qiymatlarni qabul qilish ehtimolligini belgilaymiz. U holda to‘la ehtimollik formulasiga asosan
1-natija. £,£,..., £_n tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilmasi shu tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalarining yig‘indisiga teng, ya’ni

E Z£k = ZE£ .
v k=1 у k=1

2. 
   xossa. O‘zgarmas sonni matematik kutilma ishorasidan tashqariga chiqarib yozish mumkin: Ec£ = cE£, c = const.
   

Isbot. Isbotni diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun alohida-alohida keltiramiz.
1-ta’rifdan va (1) dan foydalanib, diskret tasodifiy miqdor uchun ushbu
^E (^c£)=Z ^cx_lp_l=^cZ ^xp=^cE£
natijani hosil qilamiz.



—

—
(2) formulaga asosan uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ushbu

2. 
   xossa. % va r tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasin. Agar E% va Ej mavjud bo‘lsa, u holda E%r mavjud bo‘ladi va E%r = E% • Ej .
   

Isbot. Faraz qilaylik, % tasodifiy miqdor x₁₅x₂,...,x_kqiymatlarni mos ravishda p₁,p₂,...,p_kehtimolliklar bilan, n tasodifiy miqdor y₁,y₂,...,y_k qiymatlarni mos ravishda q₁, q₂,..., q_k,... ehtimolliklar bilan qabul qilsin.
% va rj tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liqsizligidan % • n tasodifiy miqdor x_t • y ko‘rinishdagi qiymatlarni p_iq_j ehtimollik bilan qabul qiladi, natijada
^E%r=E (%=^xi n=yj)=E Wjpqj =
ij ⁱ J


E%Ej.
E^x
_tq,
¹ V j У
teoremaning teskarisi doim ham to‘g‘ri emas, ya’ni E%r = E%Ej dan % va r ning o‘zaro bog‘liq bo‘lmasligi kelib chiqmaydi.

2. 
   xossa. Agar a <%< в bo‘lsa, a < E% < в.
   
3. 
   xossa. Agar nomanfiy % tasodifiy miqdor uchun E% = 0 bo‘lsa, u holda % = 0 tenglik 1 ehtimollik bilan bajariladi.
   

Yuqoridagi 6 va 7 xossalarni isbotini talabalarga havola qilamiz.