Маъруза ҳодисаларнинг боғЛИҚсизлиги. ЕҲтимолларни қЎшиш ва

---

1
3 - МАЪРУЗА 
ҲОДИСАЛАРНИНГ БОҒЛИҚСИЗЛИГИ. 
 ЕҲТИМОЛЛАРНИ ҚЎШИШ ВА 
 КЎПАЙТИРИШ ТЕОРЕМАЛАРИ
 
Режа: 
2.1. Биргаликдамас ҳодисалар учун эҳтимолликни қўшиш теоремаси. 
2.2. Биргаликда ҳодисалар учун эҳтимолликларни қўшиш теоремаси. 
2.3. Шартли эҳтимол. Еҳтимолликларни кўпайтириш теоремаси. 
2.4. Ҳеч бўлмаганда битта ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоллиги. 
 
2.1. Биргаликдамас ҳодисалар учун эҳтимолликни қўшиш 
теоремаси
 
2.1– теорема. Иккита биргаликдамас A ва B
ҳодиса йиғиндисининг 
эҳтимоллиги
 бу ҳодисалар эҳтимолликлар йиғиндисига тенг, яъни 


 
 
B
P
A
P
B
A
P



. 
Исботи. Бу теоремани синовлар схемаси учун исботлаймиз. Тажрибанинг 
мумкин бўлган нитижалари n та синовда кўринишда тасвирлаймиз: 















n
B
k
A
m
.
..........
..........
..........
.
..........
.........
..........


Бу n  та ҳолдан m таси A  ҳодисага, 
k
таси B  ҳодисага қулайлик туғдирсин.
У ҳолда
 
 
.
,
n
k
B
P
n
m
A
P


A  ва B  ҳодисалар биргаликдамаслиги сабабли, бир вақтда A  ҳодисага ҳам, B  
ҳодисага ҳам қулайлик туғдирувчи ҳоллар йўқ. Демак, 
B
A

ҳодисага 
k
m

та 
ҳол қулайлик туғдиради ва


 
 
,
B
P
A
P
n
k
n
m
n
k
m
B
A
P







ана шуни исботлаш талаб етилган еди. 

---

2
2.1- мисол. Агар қабул қилиш шартларига кўра, 50 та буюмдан кўпи 
билан битта буюм яроқсиз бўлганда қабул қилиш мумкин бўлса, ичида 5 та 
яроқсиз бўлган 100 та буюмдан таваккалига ярми олиб текширилганда бу 
партиянинг ҳаммаси қабул қилиниш эҳтимоллигини топинг. 
Ечилиши. A  орқали 50 та буюмни текшириганда битта ҳам яроқсиз 
буюм чиққанлиги ҳодисасини, B  орқали еса, фақат битта яроқсиз буюм 
чиққанлиги ҳодисасини белгилаймиз. 
Қабул шартларига кўра, агар 
B
A

ҳодиса юз берса, буюмлар партияси 
қабул қилинади. A  ва B  ҳодисаларнинг биргаликдамаслигини ҳамда 
n
N
m
n
M
N
m
M
C
C
C
P



формулани ҳисобга олсак, қуйидагини ҳосил қиламиз: 


 
 
181
,
0
50
100
49
95
1
5
50
100
50
95








C
C
C
C
C
B
P
A
P
B
A
P
P
. 
Шундай қилиб, қабул шартлари бўйича, бу буюмлар партияси 0,181 
эҳтимоллик билан қабул қилиниши мумкин. 
Қўшиш теоремаси ихтиёрий сондаги биргаликдамас ҳодисалар бўлган 
ҳолда ҳам умумлаштирилиши мумкин. 
2.2– 
теорема. 
Агар 
n
A
A
A
,......,
,
2
1
 
ҳодисанинг 
ҳар 
иккитаси 
биргаликдамас бўлса, у ҳолда ушбу формула ўринли: 


 
 
 
.
...
...
2
1
2
1
n
n
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P







2.1– нажада. Агар 
n
A
A
A
,......,
,
2
1
 ҳодисалар ҳар иккитаси биргаликдамас 
ҳодисалар тўла гуруҳини ҳосил қилса, у ҳолда улар эҳтимолликлари йиғиндиси 1 
га тенг: 
 
 
 
1
...
2
1




n
A
P
A
P
A
P
2.2 – натажа. Қарама – қарши ҳодисалар эҳтимолликлари йиғиндиси 1 га 
тенг:
 
 
1


A
P
A
P
. 
2.2 – мисол. 7 та оқ ва 3 та қора шар солинган идишдан таваккалига 5 та 
шар олинди. Олинган шарлар ичида ҳеч бўлмаганда битта қора шар бўлиш 
эҳтимоллигини топинг. 

---

3
Ечилиши. A  орқили олинган 5 та шар ичида ҳеч бўлмаганда биттаси 
қора шар бўлиши ҳодисасини белгилаймиз. У ҳолда A  ҳодиса олинган шарлар 
ичида битта ҳам қора шар йўқлигини билдиради. 
 
A
P
ни топамиз. Мавжуд 
шарлар ичидан 5 та шарни 
5
10
C
та усул билан олиш мумкин. 7 та оқ шардан 5 та 
шарни 
5
7
C
та усул билан олиш мумкин. Шу сабабли 
 
083
,
0
5
10
5
7


C
C
A
P
, 
бундан 
 
 
917
,
0
1



A
P
A
P
. 
2.2. Биргаликда ҳодисалар учун эҳтимолликларни қўшиш теоремаси 
Биргаликдамас ҳодисалар учун эҳтимолликларни қўшиш теоремасидан 
фойдаланиб, 
биргаликда 
ҳодисалар 
учун 
эҳтимолликларни 
қўшиш 
теоремасини исботлаймиз.
2.3-теорема. Иккита биргаликда ҳодисадан ҳеч бўлмаганда биринчи рўй 
бериш эҳтимоллиги бу ҳодисалар эҳтимолликлари йиғиндисидан уларнинг 
биргаликда рўй бериш эҳтимоллигини айрилганига тенг:


 
 


.
AB
P
B
P
A
P
B
A
P




(2.4) 
Исботи. 
B
A,
ва 
B
A

ҳодисаларни қуйидагича биргаликдамас 
ҳодисалар йиғиндиси кўринишида ифодалаймиз: 




.
,
,
B
A
B
A
AB
B
A
B
A
AB
A
A
B
B
B
A
AB
B
B
A
A












Биргаликдамас ҳодисалар учун эҳтимолликларни қўшиш теоремасига кўра,
 


 
 


 




 
 
B
A
P
B
A
P
AB
P
B
A
P
B
A
P
AB
P
B
P
B
A
P
AB
P
A
P








,
,
Бу учта тенгликдан (2.4) формулани осон ҳосил қилами: 




 
 


 
 




 
 


AB
P
B
P
A
P
AB
P
AB
P
B
A
P
B
A
P
AB
P
B
A
P
B
A
P
AB
P
B
A
P













Теорема исбот қилинди. 

---

4
2.3.
 
Шартли эҳтимол. Еҳтимолликларни кўпайтириш теоремаси 
 
Еҳтимолликларни кўпайтириш теоремасини баён етишдан аввал 
боғлиқмас ва боғлиқ ҳодисалар ҳақидаги ушбу муҳим тушунчани баён етамиз. 
2.1- таъриф. Агар A ҳодисанинг эҳтимоллигини B ҳодисанинг рўй берган 
ёки рўй бермаётганига боғлиқ бўлмаса, A ҳодиса B ҳодисага боғлиқмас 
дейилади. 
2.3– мисол. Омборда 500 дона лампа бўлиб, улардан 1000 таси бир 
заводда ва 400 таси бошқа заводда тайёрланган. Биринчи заводда тайёрланган 
лампаларнинг 80 фоизи маълум стандартни қаноатлантирсин, иккинчи завод 
маҳсулоти учун бу 60 фоиз бўлсин. A  ҳодисанинг – омбордан тасодифий 
олинган 
битта 
лампанинг 
стандарт 
шартларини 
қаноатлантириш 
эҳтимоллигини топинг. 
Стандарт лампалар жами сони биринчи заводда тайёрланган 80 та 
лампадан ва иккинчи заводда тайёрланган 
240
60
,
0
400


та лампадан иборат, 
яъни 320 га тенг, демак, 
 
64
,
0
500
:
320


A
P
. 
2.3- таъриф. A ҳодисанинг B ҳодиса рўй берди деган шартда 
ҳисобланган эҳтимоллиги A ҳодисани B ҳодиса рўй бериш шартидиги 
шартли эҳтимоллиги деб аталади ва 


B
A
P
/
 билан белгиланади. 
Олинган мисолда 
 


80
,
0
/
,
64
,
0


B
A
P
A
P
A  ҳодисанинг B  ҳодисага 
боғлиқмаслик шартини ушбу


 
A
P
B
A
P

/
формула орқали ёзиш мумкин. 
2.4- теорема 
(кўпайтириш теоремаси).
A ва B ҳодисалар кўпайтманинг 
эҳтимоллиги бу ҳодисалардан бирининг эҳтимоллигини бу ҳодисалардан 
бирининг эҳтимоллигини иккинчи ҳодисанинг биринчи ҳодиса рўй беради деган 
шартда шартли эҳтимоллигига кўпайтмасига тенг: 


  

A
B
P
A
P
AB
P
/

 
Исботи. Теоремани классик схема учун исбот қиламиз.
Биз кўргазмали бўлиш учун нуқталар кўринишида тасвирлаймиз.

---

5


































































































n
l
m
k


















































































































































.
A  ҳодисага m та ҳол, B  ҳодисага еса 
k
та ҳол қулайлик туғдирсин.
Бу A  ва B  ҳодисалар биргаликда деб фараз қилайлик, демак, умаман айтганда, 
A  ҳодисага ҳам, B  ҳодисага ҳам қулайлик туғдирадиган ҳоллар бор, Бундай 
ҳолларда сони 
l
та бўлсин.
У ҳолда


 
.
,
n
m
A
P
n
l
AB
P




A
B
P
/
ни, яъни B  ҳодисанинг A  ҳодисарўй берди деган шартдаги 
шартли эҳтимоллигини ҳисоблаймиз. 
Агар A  ҳодиса рўй берган бўлса, у ҳолда илгариги мумкин бўлган n та 
ҳолдан A  ҳодисага қулайлик туғдирадиган фақат m та хол қолади.
Улардан 
l
та ҳол B  ҳодисалар қулайлик туғдиради.
Демак, 


.
/
m
l
A
B
P

Энди теореманинг исботини якунлаймиз: 


  

A
B
P
A
P
m
l
n
m
n
l
AB
P
/




Шуни исботлаш талаб қилинган еди.
2.3 – натижа. Агар A ҳодиса B ҳодисага боғлиқ бўлмаса, у ҳолда B
ҳодиса ҳам A ҳодисага боғлиқ бўлмайди. 
2.4–таъриф. Агар иккита ҳодисадан бирининг рўй бериши иккинчисининг 
рўй бериш эҳтимоллигини ўзгартирмаса, бу ҳодисалар боғлиқмас деб аталади. 
2.4- натижа. Иккита боғлиқмас ғҳодиса кўпайтмасини рўй бериш
эҳтимоллигини бу ҳодисалар эҳтимолликларининг кўпайтмасига тенг: 


   
B
P
A
P
AB
P

 

---