Ma’ruza matni To’plam tushunchasi

Refleksiv, antirefleksiv, simmetrik, assimmetrik, antisimmetrik va tranzitiv. 3-ta’rif. Agar X to‘plamning har bir elementi o’z-o’zi bilan R munosabatda bo’lsa (ya’ni, xRx bajarilsa), uholda R munosabat X to’plamda refleksiv deyiladi.
Masalan, «x = y», «a||b», «x⋮y» munosabatlar refleksivdir.
4-ta’rif. Agar X to ‘plamning birorta ham elementi uchun xRx bajarilmasa, u holda R munosabat X to ‘plamda antirefleksiv deyiladi.
Masalan, «a < b», «a > b», «a⊥b» munosabatlar antirefleksivdir.
5-ta’rif. Agar X to’plamda R munosabat berilgan bo’lib, xRy va yRx bir vaqtda bajarilsa, R simmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «a||b», «a⊥b», «a = b» munosabatlari simmetrikdir.
6-ta’rif. Agar X to’plamda berilgan R munosabatda xRy va yRx shartlardan faqat bittasi o ‘rinli bo’lsa, R munosabat asimmetrik munosabatdeyiladi.
Masalan, «a > b», «a < b» munosabatlari asimmetrikdir.
7-ta’rif. Agar X to ‘plamda R munosabat uchun xRy va yRx shartlar faqat x = y bo’lgan holda bajarilsa, u holda R antisimmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «a>b», «a≤b», «a⋮b», «a soni b sonining bo’luvchisi» kabi munosabatlar antisimmetrik munosabat bo’ladi.
8-ta’rif. Agar X to’plamda berilgan R munosabat uchun xRy va yRz ekanligidan xRz ekanligi kelib chiqsa, u holda R munosabat tranzitiv deyiladi.
M asalan, «a>b», «a=b», «a||b», «a⋮b» kabi munosabatlar tranzitivdir. Tranzitiv munosabat grafida x dan y ga, y dan z ga bo- ruvchi strelkalar bo’lsa, albatta x dan zga boruvchi strelka ham bo’lishi kerak (I.16-rasm).
9-ta’rif. Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Masalan, «a || b», «a = b» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo’ladi.
1-misol. Sinf o’quvchilari orasida «bir oyda tug’ilgan» munosabati berilgan bo’lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o’quvchi o’zi o’zi bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o’quvchi B bilan bir oyda tugilgan bo’lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo’ladi. Munosabat tranzitiv, chunki A o’quvchi B bilan, B o’quvchi Cbilan bir oyda tugilgan bo’lsa, A bilan C ning ham tug`ilgan oyi bir xil bo’ladi. Demak, bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo’lar ekan. U sinf o’quvchilarini «bir oyda tugilgan o’quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko’pi bilan 12 ta bo’lishi mumkin.
2-misol. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar to’plamida parallellik munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lishini ko’rsatamiz. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini eslatib o’tamiz.
Parallellik munosabati:

1. 
   refleksiv, chunkiixtiyoriyato’g’richiziquchuna||abo’ladi;
   
2. 
   simmetrik, chunkia||bbo’lsa, b||abo’ladi;
   
3. 
   tranzitiv, chunkia||bvab||cbo’lsa,a||cbo’ladi (parallelto’g’ri
   

chiziqlarxossasigako’ra).
3-misol. kasrlar to‘plamida tenglik munosabati berilgan.

Bu munosabat:

1. 
   Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng;
   
2. 
   Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrni x kasrga tengligi ham kelib chiqadi;
   
3. 
   Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga va y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi.