Maruza mashg’ulotlari

Eng kichik kvadratlar (EKK) usulining analitik talqini. Tabiatning ko‘p hodisalarini, iqtisodiy-ijtimoiy jarayonlarni o‘rganishda, tabiiy fanlarda, murakkab inshootlarni loyihalashtirishda iqtisodiy optimal modellashtirishda o‘tkazilgan sinovlar asosida to‘plangan ma’lumotlar bo‘yicha tuzilgan empirik formulalardan foy dalaniladi.

Empirik formulalarni hosil qilishning eng samarali usul- laridan biri – bu eng kichik kvadratlar (EKK) usulidir. EKK usuli funksiyalarni ekstremumga tekshirishda va noma’lum funksiyalarni approksimasiyalash (tekislash) bilan tuzishda samarali qo‘llaniladi.
Mazkur usulning matnini ikkita x va y o‘zgaruvchilarning bog‘lanishiga nisbatan keltiramiz.
Faraz qilaylik, o‘tkazilgan n ta kuzatuvlar natijasida x ning ketma-ket
x₁ , x₂ ,..., x_n qiymatlari hosil qilingan. Ushbu kuzatuvlarda y ning ham y₁ , y₂ ,..., y_n qiymatlari topilgan. Kuzatilgan ma’lumotlar asosida quyidagi jadvalni tuzamiz:

x	X1	X2	…	Xn
y	Y1	Y2	…	Yn

Agar ushbu jadvaldagi qiymatlardan tuzilgan nuqtalar M_{1 (}x₁ , y₁₎, M ₂₍x₂ , y_{2), ….}M _n (x_n , y_{n )} tekislikda koordinatalar tizimida birorta to‘g‘ri chiziq atrofida tarqalgan bo‘lsa, unda x va y lar o‘rtasida chiziqli bog‘lanish mavjud deb faraz qilinadi, ya’ni

Bu erda a₀ va a₁ lar hozircha noma’lum parametrlar. Ravshanki, x=x_i da yuqoridagi formulaga asosan a₀ + a₁ x_i ni hosil qilamiz va kuzatuvlar natijasida hosil qilingan jadvalda keltirilgan ^y_{i (}i= 1, n) qiymatlar ham mavjud. Ushbu ikkita a₀ + a₁ x_i va y qiymatlarni hisoblashda ma’lum xatolikka yo‘l qo‘yilgan deb faraz qilaylik, ya’ni Ushbu xatoliklardan quyidagi kvadratik funksionalni tuzamiz:

Bunda a₀ va a₁ parametrlarni shunday tanlash kerakki xatoliklar yig‘indisining kvadrati mumkin bo‘lgan eng kichik qiy- matga erishadigan bo‘lsin. S(a_o, a₁) ni ikkita a₀ va a₁ o‘zgaruv- chilarning funksiyasi sifatida qarab, masalani funksiyaning minimumini topishga keltiramiz. Ko‘p o‘zgaruvchilik funksiyalar nazariyasiga asosan ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy shartlari uning barcha o‘zgaruvchi- lar bo‘yicha hisoblangan xususiy hosilalari nolga teng bo‘lishidan foydalanib, differensiallab, tenglamalar tizimini hosil qilamiz

Ushbu tenglamalarni qulayroq tarzda yozib olamiz:

Shunday qilib, noma’lum a₀ va a₁ parametrlarga nisbatan ikkita tenglamalar tizimini hosil qildik. Ushbu tenglamalar tizimi EKK usulining normal tenglamalar tizimi deb ataladi. Tenglamalar tizimini echib, noma’lum parametrlarni topamiz:



Ushbu aniqlangan a₀ , a₁ qiymatlarni empirik y=a₀+a₁x formulaga qo‘yib, qaralayotgan masala funksional bog‘lanishning eng yaxshi yaqinlashuvchi (approksimasiyalovchi) funksiyasini hosil qilamiz.
Agar x va y o‘rtasidagi bog‘lanish jarayoni ushbu

ko‘rsatkichli funksiyasi bilan ifodalangan bo‘lsa, unda noma’lum parametrlar a_o va a₁

tenglamalar tizimini echish bilan topiladi.
Agar x va y o‘zgaruvchilar o‘rtasida giperbolik bog‘lanish

mavjud bo‘lsa, unda uning parametrlari a₀ va a₁ lar ushbu

tenglamalar tizimidan aniqlanadi.
Agar M₁ (x₁ , y₁ ) , M ₂ (x₂ , y₂ ) ,…, M_n (x_n , y_n ) nuqtalar tekislikda birorta egri chiziq (parabola) atrofida tarqalgan bo‘lsa, unda approksimasiyalovchi funksiya sifatida kvadrat uchhad
ni olish mumkin.
Ushbu parabolik bog‘lanishda a₀, a₁, a₂ parametrlar

tenglamalar tizimini echish bilan topiladi.
Masala. Bitta maktabda choraklar va yillik baholash bo‘yicha 5 bahoga o‘qiydigan o‘quvchilarning samaradorligi quyidagi ma’lumotlar bilan xarakterlanadi:

Choraklar va yillik	1	2	3	4	5
Bir chorak yoki yillikda 5 bahoga o‘qiydigan o‘quvchilarning o‘rtacha soni	235	250	270	292	300

O‘qish samaradorligini tasvirlovchi bog‘lanishni tuzing va ushbu bog‘lanishning parametrlarini EKK usuli yordamida toping.
Echish. Masala shartlaridagi ma’lumotlarni chizma shaklida ifodalaymiz: to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimida absissalari chorak raqamidan va yillik va ordinatalari besh bahoga o‘qiydigan o‘quvchilar sonidan iborat (1;235), (2;250), (3;270), (4;292), (5;300) nuqtalarni yasaymiz. Besh bahoga o‘qiydigan o‘quvchilar sonining chorakdan chorakka o‘sib borishi deyarli bir xil: 250-235=15; 270-250=20; 292- 270=22; 300-292=8. Bu esa o‘qish samaradorligi chiziqli tarzda ro‘y bermoqda deb faraz qilishga asos bo‘ladi va bog‘lanish shaklini y= a₀+a₁x funksiya bilan ifodalash mumkin. Buning parametrlari a₀ va a₁ ni EKK usuli yordamida topamiz, ya’ni (3.4) tenglamalar tizimini tuzamiz. Bizning misolimizda
, , ,
,
Natijada (3.4) tenglamalar tizimini tuzamiz:

Ushbu tenglamalar tizimini echib, hosil qilamiz:

Bunda istagan funksional bog‘lanish y(x)=217,8 +17,2x ko‘rinishda bo‘ladi. Ushbu to‘g‘ri chiziqning shaklini yasaymiz. (shakl)

shakl.
Topilgan funksional bog‘lanish berilgan ma’lumotlarni yaxshi akslantiradi. Masalan, x₁ = 1 da y₁₌ 235 va hokazo.

Korrelyasion-regression tahlil natijalarini baholash mezonlari. Amaliy tadqiqotlarda qaralayotgan omillar o‘rtasidagi korrelyasion va regression tahlil natijalari ishonchliligini baholashda Fisherning Z mezoni, Styudentning t- mezoni, Fisherning F_T mezonlaridan foydalaniladi.