Ma’ruza №7 Mavzu: Garmonik tebranishlar. Tebranma harakat haqida tushuncha. Garmonik tebranishlarning tenglamasi. Titrash. Tebranishlarni qo’shish. Tebranma harakat dinamikasi tenglamasi. Garmonik tebranma harakat energiyasi. Mavzu rejasi

Natijaviy siljish

x=x₁+x₂=(A₁+A₂)sin(wt+j)=Asin(wt+j). (7.12)

Natijaviy tebranishdagi x, A, j kattaliklar vektor-diagramma usuli bo’yicha aniqlanadi. (7.4-rasm).

ω

N atijaviy A ham w tezlik bilan aylanadi, chunki ikkala vektor ham bir xil burchak tezlik bilan aylangani uchun ular orasidagi burchak (fazalar farqi) j₂-j₁ vaqt o’tishi bilan o’zgarmay qoladi. Bundan natijaviy tebranishning chastotasi ham w ga teng ekanligi kelib chiqadi.

B inobarin, A₁ va A₂ larning X o’qidagi proeksiyalari x₁ va x₂ ham (7.7) dagi qonuniyatlar bo’yicha garmonik ravishda o’zgaradi. A vektorining moduli 7.5-rasmdagi parallellogrammga kosinuslar teoremasini qo’llab topiladi:

A²=A²₁+A²₂-2A₁A₂cos[p-(j₂-j₁)]=A²₁+A²₂+2A₁A₂cos(j₁-j₂) (7.13)

Natijaviy vektorning boshlang’ich fazasi OBD uchburchakdan topiladi:

. (7.14)
(9.10) va (9.11) formulalar natijaviy tebranma harakatning A ni va j topishga hamda uning tenglamasini
x = A sin(wt+j) (7.15)
ko’rinishda yozishga imkon beradi. (7.13) tenglamani analiz qilib, bir tomonga yo’nalgan garmonik tebranishlarni qo’shishda quyidagi hollar mavjud bo’lishini ko’ramiz:
1) (j₁-j₂)=2np bo’lsa, A²=A²₁+A²₂+2A₁A₂=(A₁+A₂)²,
A=A₁+A₂ bo’ladi, ya’ni amplituda oshadi.
2) j₁-j₂=(2n+1)p bo’lsa, A²=A²₁+A²₂ – 2A₁A₂=(A₁-A₂)²,
A=A₁ –A₂ bo’ladi, ya’ni amplituda susayadi.
3) j₁-j₂=(2n+1)p bo’lib, A₁=A₂ bo’lsa, A=0 bo’ladi, ya’ni amplitudalar bir-birini to’liq so’ndiradi.
6. Agar A₁=A₂=A bo’lib doiraviy chastotalari bir-biridan kam farq qilsa, bu tebranishlarning qo’shilishidan tepkili tebranish (titrash) (bienie) hosil bo’ladi. Bu tebranish garmonik bo’lmaydi, chunki u (7.11) tenglamaga mos kelmaydi. Biroq shartga ko’ra ekanligini nazarga olib, garmonik deyish mumkin: uning doiraviy chastotasi , davri va amplitudasi A'=2 Acos t bo’ladi. Tenglamasi esa
x = x₁+x₂ = 2Acos t × Sin t bo’ladi.
Tepkili tebranishning A’ si vaqt o’tishi bilan davriy ravishda juda sekin o’zgaradi. Amplituda tebranishlarining doiraviy chastotasi juda kichik, shuning uchun juda katta bo’ladi. Ayrim vaqtlarda amplitudalar qo’shilib 2A bo’lib kuchayib ketsa, ayrim vaqtda ular qarama-qarshi fazada uchrashib bir-birini to’la so’ndiradi.
7. O’zaro tik, chastotalari bir xil bo’lgan tebranishlarning tenglamasi:
x=A₁cos(wt+j₁),
y=A₂cos(wt+j₂) . (7.13)
Qo’shiluvchi tebranishlarning yo’nalishlari sifatida OX va OY o’qlarini olamiz, (9.13) tenglamlar ustida bir qator matematik amallar bajarib, t ni yo’qotsak, moddiy nuqta (jism) natijaviy harakati tenglamasini hosil qilamiz:
(7.14)
Bu tenglamani quyidagi hollar uchun muhokama qilaylik:
1) (j₂-j₁)=0 ya’ni j₁=j₂=j bo’lsa, (9.14) tenglama quyidagicha ko’rinishni oladi:
yoki bunda . (7.15)
Bu to’g’ri chiziqni tenglamasidir. Mazkur to’g’ri chiziq koordinata boshidan o’tadi (9.5 - rasm), uning OX o’qi bilan hosil qilgan burchagining tangensi ga teng: .