Malar Bizga ni ga akslantiruvchi operator berilgan bo‘lsin uning aniqlanish sohasi, esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin. 1-ta’rif

10. Parametr ning qanday qiymatlarida
(15)
operatorga 6-teoremani qo‘llash mumkin?
Yechish. operatorni ko‘rinishda yozib olamiz. operator sifatida (7-misolga qarang)
,
ni, operator sifatida esa

ni olamiz. 7-misolda operatorning teskarisi mavjud va ekanligi ko‘rsatilgan edi. 6-teoremani (15) tenglik bilan aniqlangan operatorga qo‘llashimiz uchun
(16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan ning barcha qiymatlarini topishimiz kerak. Shu maqsadda operatorning normasini topamiz. Buning uchun norma kvadratini baholaymiz:
. (17)
Biz bu yerda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan hamda

tenglikdan foydalandik. (17) dan
(18)
tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan desak, u holda
va
bo‘ladi. Ma’lumki,
. (19)
(18) va (19) lardan tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan barcha lar uchun (14.16) ning, ya’ni tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 6-teoremaga ko‘ra, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan. 8-misoldagidek, ekanligidan operatorga chegaralangan teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆
11. Quyidagi operatorning teskarilanuvchan emasligini ko‘rsating
. (20)
Yechish. Ma’lumki, chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli. (20) formula bilan berilgan operator uchun funksiyani olsak, bo‘lgani uchun
.
Demak, tenglama nolmas yechimga ega, 14.3-teoremaga ko‘ra, operator teskarilanuvchan emas. ∆


Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Teskarilanuvchan operator ta’rifini keltiring.
   
2. 
   Chiziqli operatorga teskari operator har doim chiziqli bo‘ladimi?
   
3. 
   Chiziqli chegaralangan operatorga teskari operator mavjud bo‘lsa, u chiziqli chegaralangan bo‘ladimi? Misollarda tushuntiring. 14.5, 14.6-misollarga qarang.
   

- chiziqli operatorning yadrosi nolmas elementni saqlasa, u holda ga teskari

4. 
   - chiziqli operatorning yadrosi nolmas elementni saqlasa, u holda ga teskari operator mavjud bo‘lishi mumkinmi?
   
5. 
   14.10-misoldagi operatorga teskari operatorni toping.
   
6. 
   14.5-misolda keltirilgan operatorga teskari operatorni toping. operatorning aniqlanish sohasini toping. tenglik to‘g‘rimi? Agar bu tenglik to‘g‘ri bo‘lmasa, to‘plam fazoning hamma yerida zichmi?
   
7. 
   Ko‘paytirish operatori ning teskarilanuvchan bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
8. 
   Ko‘paytirish operatori ga chegaralangan teskari operator mavjud bo‘lishining zarur va yetarli shartini toping.
   
9. 
   Ko‘paytirish operatori ga teskari operatorni toping. U chegaralangan operator bo‘ladimi?
   
10. 
    Ko‘paytirish operatori ga teskari operator mavjudmi? Bu operatorning yadrosini toping. tenglik to‘g‘rimi? Bu yerda deb sonining butun qismi belgilangan.
    

Test

1. 
   , operatorga teskari operatorni toping.
   

1. 
   )
   
2. 
   )
   
3. 
   )
   
4. 
   
   

2 A:X chiziqli operator teskarilanuvchan bo’lishi uchun quyidagi shartlardan qaysi birining bajarilishi zarur va yetarli.

1. 
   KerA={0}
   
2. 
   ≤q<1
   
3. 
   dimKerA=1
   
4. 
   Biror m>0 va barcha x D(A) larda = Ax
   

3. 
   Noto’g’ri tasdiqni toping.
   

1. 
   Agar A bo’lsa, u holda bo’ladi
   
2. 
   Agar A chiziqli operator bo’lsa, u holda ham chiziqli operator bo’ladi
   
3. 
   Agar A chiziqli operator bo’lsa, u holda ham chiziqldir
   
4. 
   Agar A bo’lsa, u holda bo’ladi
   

3. 
   A: X operatorga chegaralangan teskari operator mavjud bo’lishligining zarur va yetarli shartini keltiring/
   

1. 
   Biror m>0 va barcha x D(A) larda =m bo’lishi
   
2. 
   ≤q<1
   
3. 
   Ax=0 x=0
   
4. 
   dimKerA=1
   

5 I-A: X operatorga chegaralangan teskari operator mavjud bo’lishligining yetarli shartini keltiring

1. 
   ≤q<1
   

B) Ax=0 x=0

3. 
   dimKerA=1
   
4. 
   Biror m>0 va barcha x D(A) larda =m bo’lishi
   

6 A-A': X operatorga chegaralangan teskari operator mavjud bo’lishligining yetarli shartini keltiring

1. 
   <
   
2. 
   ≤q<1
   
3. 
   KerA={0}
   
4. 
   Biror m>0 va barcha x D(A) larda =m bo’lishi
   

7 Teskari operatorlar haqidagi Banax teoremasini keltiring

1. 
   X banax fazosini Y Banax fazosiga biyektiv akslantiruvchi A chiziqli operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan
   
2. 
   Agar Y Banax fazosi bo’lsa, L(X,Y) ham Banax fazosi bo’ladi
   
3. 
   Har qanday : chiziqli uzluksiz funksionalni butun L fazogacha normasini saqlagan holda davom ettirish mumkin
   
4. 
   Agar chiziqli uzluksiz operatorlarning { } ketma-ketligi X Banax fazosining har bir nuqtasida chegaralangan bo’lsa, u holda { } ketma-ketlik ham chegaralangan bo’ladi
   

8 Qanday fazo Banax fazosi deyiladi?

1. 
   To’la normalangan fazo
   
2. 
   Skalyar ko’paytma kiritilgan fazo
   
3. 
   Har qanday normalangan fazo
   
4. 
   Istalgan metrik fazo
   

9 fazoda f(x)= funksionalni normasini toping

1. 
   2
   
2. 
   1
   
3. 
   4
   
4. 
   2,5
   

10 I:B B operator qachon kompakt operator bo’ladi?

1. 
   B-chekli o’lchamli Banax fazosi bo’lsa
   
2. 
   B-cheksiz o’lchamli Banax fazosi bo’lsa
   
3. 
   B-ixtiyoriy Banax fazosi bo’lsa
   
4. 
   Har doim