Malar Bizga ni ga akslantiruvchi operator berilgan bo‘lsin uning aniqlanish sohasi, esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin. 1-ta’rif

1-teorema. chiziqli operatorga teskari bo‘lgan operator ham chiziqlidir.
Isbot. Shuni aytib o‘tish kerakki, chiziqli ko‘pxillilikdir. Shunday ekan ixtiyoriy sonlar va ixtiyoriy elementlar uchun
(3)
tenglikning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatish yetarli. va deymiz. chiziqli bo‘lgani uchun
(4)
Teskari operator ta’rifiga ko‘ra,
.
Bu tengliklarni mos ravishda va sonlarga ko‘paytirib qo‘shsak,

Ikkinchi tomondan, (4) dan va teskari operatorning ta’rifidan

tenglik kelib chiqadi. Oxirgi ikki tenglikdan (14.3) tenglikni olamiz. ∆
2-teorema. (Teskari operator haqida Banax teoremasi). operator Banax fazosini Banax fazosiga biyektiv akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. U holda operator mavjud va chegaralangan.
Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi lemmani isbotlaymiz.
1-lemma. to‘plam Banax fazosining hamma yerida zich bo‘lsin. U holda ixtiyoriy nolmas elementni

qatorga yoyish mumkin. Bu yerda ,
Isbot. elementlarni ketma-ket quramiz. to‘plam Banax fazosining hamma yerida zich bo‘lgani uchun, shunday mavjudki,

bo‘ladi. elementni shunday tanlaymizki,

bo‘lsin. Endi elementni shunday tanlaymizki,

bajarilsin. Umuman elementni shunday tanlaymizki,

bo‘lsin. Bunday tanlash mumkin, chunki to‘plam ning hamma yerida zich. elementlarning tanlanishiga ko‘ra
,
ya’ni

qator yaqinlashadi va uning yig‘indisi ga teng. Endi elementlarning normalarini baholaymiz:
,

va nihoyat

. ∆