Malakaviy ishi

Isbot: R nuqtaning koordinatalari bo’lsin.

Bu nuqtalar bissektirisaga nisbatan o’zaro simmetrik ekanligini isbotlash, ya’ni va ekanligini ko’rsatish lozim.
R nuqta bissektrissada yotganligi uchun uning absissa va ordinatasi teng. Ularni s xarfi bilan belgilaymiz. U holda ikki nuqta orasidan masofa formulasiga asosan: bundan .
Demak, kesma uchburchakning medianasi bo’ladi. _, ekanligidan demak, OPQ uchburchak teng yonlidir. U holda mediana uning balandligi ham bo’ladi, ya’ni .
Shunday qilib, funksiyaning grafigiga tegishli har qanday R nuqtani olganimizda ham bu funksiyaga teskari bo’lgan funksiya grafigida R nuqtaga 1– va 3– koordinata burchaklarining bissektrissaga nisbatan simmetrik bo’lgan Q nuqta topiladi.
O’zaro teskari funksiyalar grafiklarning 1– va 3– koordinata burchaklarining bissektirisalarga nisbatan o’zaro simmetrik bo’lishining sababi ana shunda.






1.2.7. Funksiyaning qavariqligi va botiqligi.

Agar egri chiziqning oraliqdagi yoyi bu oraliqning istalgan nuqtasidagi urinmasidan yuqorida yotsa, bu yoyga botiq yoy deyiladi (14 rasm).
Agar egri chiziqning oraliqdagi yoyi bu oraliqning istalgan nuqtasidagi urinmasidan pastda yotsa bu yoyga qavariq yoy deyiladi.
Agar funksiyaning ikkinchi tartibli xosilasi x argumentning oraliqdagi qiymatlari uchun musbat bo’lsa, egri chiziq bu intervalda botiq, manfiy bo’lsa, qavariq bo’ladi.
funksiyaning qavariqli va botiqligini tekshiraylik:

1. 
   Berilgan funksiyaning ikki tartibli hosilasi topiladi:
   
2. 
   Ikkinchi tartibli xosilani noldan kichik deb faraz qilinadi:
   

, buni x ga nisbatan yechib, egri chiziq qavariq bo’lgan oraliq topiladi.

3. 
   Ikkinchi tartibli xosilani noldan katta deb faraz qilinadi: buni x
   

ga nisbatan oraliqlarini topiladi. Masalan, egri chiziqning qavariqligi va botiqligini tekshiring.
Yechilishi:

1. 
   
   
2. 
   . Demak oraliqda egri chiziq qavariq;
   

3. 
   . Demak oraliqda funksiya botiq;
   

1.3§. Asosiy elementar funksiyalar
Matematikaning ko’p masalalarida qo’llaniladigan quyidagi funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi:

1. 
   – o’zgarmas funksiya;
   
2. 
   – darajali funksiya, m xaqiqiy son;
   
3. 
   – ko’rsatkichli funksiya, ;
   
4. 
   –logorifmik funksiya, ;
   
5. 
   – trigonometrik funksiyalar;
   
6. 
   – teskari trgonometrik funksiyalar;
   
7. 
   giperbolali funksiyalar;
   
8. 
   – teskari giperbolali funksiyalar.
   

Asosiy elementar funksiyadan chekli sondagi arifmetik amallar va operatsiyalar yordamida tuzilgan va bitta formula bilan berilgan funksiyalar elementar funksiyalar deyiladi.
Masalan:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Argumenti ustida chekli sondagi arifmetik amallar (qo’shish ayrish, ko’paytirish, bo’lish va ratsional darajaga ko’tarish) bajariladigan funksiyalar algebraik funksiyalar deyiladi.
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
Hozirgi kunda umumta’lim maktablarida matematika kursida chiziqli funksiya, kasr ratsional funksiya, darajali funksiya, kvadrat funksiyalar, ularning xossalari, aniqlanish va o’zgarish soxalari, ekstremal qiymatlari, juft va toqligi xaqidagi ma’lumotlar beriladi va ularning grafiklari chiziladi. Hamda ayrim mavzularni o’tishda, masalalar yechishda ularning grafiklaridan foydalaniladi.
Funksiya haqidagi ma’lumot asosan umumta’lim maktablari algebra kursining 7–sinfidan berila boshlaydi. Quyida asosiy elementar funksiyalarni ko’rib o’taylik.
1°. funksiya va uning grafigi.
Masalan. Asosi 3 ga, balandligi esa x ga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning yuzini xisoblaymiz. Agar izlanayotgan yuzni y xarfi bilan belgilansa, u holda javobni formula bilan yozish mumkin. Agar to’g’ri to’rtburchakning asosi a ga teng bo’lsa, u holda x balandlik bilan y yuz orasidagi bog’liqlik formula bilan ifoda qilinadi. a sonning har bir qiymati biror funksiyani aniqlaydi. Endi funksiyaning grafigini yasaymiz. bo’lsin deymiz. U holda bo’ladi.
x ga turli qiymatlar berib, y ning mos qiymatlarini topamiz.

x	2	0	-3	0.5	1	-2
y	4	0	-6	1	2	-4

Koordinatalar tekisligida nuqtalarni yasaymiz.






funksiyaning grafigi a ning istagan qiymatida koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’ladi. Geometriya kursidan ma’lumki, ikki nuqta orasidagi birgina to’g’ri chiziq o’tadi, shu sababli funksiyaning grafigini yasash uchun grafikning ikki nuqtasini yaratish yetarli, so’ngra esa shu nuqtalar orqali to’g’ri chiziq chiziladi. Koordinatalar boshi shu grafikka tegishli bo’lganligi uchun uning bitta nuqtasini topish yetarli.
bo’lganda grafigini yasaymiz.