Malakaviy ishi

а= 0 bo’lsa, y = 0 bo’lib funksiyaning grafigi absissalar o’qi ustiga tushadi. larni grafiklarini ko’raylik.

bu grafikdan ko’rinadiki, funksiya grafigining xolatlari a ga bog’liq ekan. bo’lsa I, III choraklarda bo’lsa II, IV chorakdan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’ladi. Shu bilan birgalikda x va y orasidagi bog’lanish to’g’ri proportsional bog’lanish deyiladi. a esa proportsionallik koeffitsenti deyiladi.


2°. funksiya va uning grafigi.
Chiziqli funksiya deb, ko’rinishdagi funksiyaga aytiladi, bu yerda a va b lar berilgan sonlar.
bo’lganda chiziqli funksiya ko’rinishga ega bo’ladi va uning grafigi koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’ladi. Bu dalilga asoslanib, chiziqli funksiyaning grafigi to’g’ri chiziq bo’lishini ko’rsatish mumkin. Ikki nuqta orqali bitta to’g’ri chiziq o’tganligi uchun funksiyaning grafigini yasashda shu grafikning ikki nuqtasini yasash yetarli bo’ladi.
Misol. funksiya grafigini yasang.
x =0 da y=5 bo’ladi, ya’ni nuqtadan o’tadi. Agar bo’lsa, bo’ladi, nuqtadan o’tadi.


funksiyaning grafigini ordinatalar o’qi bo’ylab 5 birlik yuqoriga siljitish bilan hosil qilinganligini payqash mumkin.
Umuman funksiyaning grafigi funksiya grafigini ordinatalar o’qi bo’ylab b birlik siljitish yo’li bilan hosil qilinadi. va funksiyalarning grafiklari parallel to’g’ri chiziqlar bo’ladi.
2) grafigini yasaylik.

Bu ikki misoldan shuni ko’rish mumkinki, da kamayuvchi, da funksiya o’suvchi ekan. Aniqlanish sohasi va o’zgarish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. bo’lganda toq, boshqa xollarda juft ham, toq ham emas. Ekstremal qiymatlari mavjud emas.
3°. Darajali funksiya.
Tabiat va texnikada juda ko’p bog’lanishlarni ko’rinishdagi darajali funksiyalar orqali ifoda qilinadi. Masalan, tekis tezlanuvchan harakatdagi jismning bosib o’tgan yo’li, bu yo’lni bosib o’tishga sarflagan vaqt, harakatdagi jismga havoning ko’rsatgan qarshiligi y bilan, jismning kinetik energiya y bilan uning tezligi x bilan va hakozolar orasidagi bog’lanishlar funksiya bilan ifoda qilinadi. Yoritilganlik y bilan yorug’lik manbaidan yoritiladigan buyumgacha bo’lgan masofa x bilan, tovush kuchi y bilan tovush chiqarayotgan manbadan quloqqacha bo’lgan masofa x bilan va shu kabi bog’lanishlar ko’rinishdagi funksiya bilan ifoda qilinadi.
Doira radiusi y, uning yuzi x, erkin tushuvchi jismning vaqti y uning bosgan yo’li x ning funksiyasi sifatida ko’rinishdagi funksiya bilan ifoda qilinadi. Yuqoridagi funksiyalarda a har xil qiymatga ega bo’lgan o’zgarmas miqdordir.
Darajali funksiyalarga misollar keltiraylik:

4) Juft musbat ko’rsatkichli darajaga misollar:

1. 
   Kvadratning yuzi S tomoni a ning funksiyasi sifatida ko’rinishda.
   
2. 
   Erkin tushuvchi jismning bosib o’tgan yo’li S(m) vaqt t (sek) ning funksiyasi sifatida ko’rinishda.
   
3. 
   Doiraning yuzi S uning radiusi R ning funksiyasi sifatida ko’rinishda.
   
4. 
   Boshlang’ich tezligi bo’lmagan tekis tezlanuvchan harakatdagi jismning yurgan yo’li S(m) vaqt t (sek) ning funksiyasi sifatida ko’rinishda ifodalanadi.
   

funksiyada bo’lsa, ko’rinishga ega bo’ladi, jadval tuzamiz.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

Jadval bo’yicha topilgan nuqtalarni tutashtirsak chiziq hosil bo’ladi. Bu siniq chiziq funksiyaning grafigi bo’ladimi yoki yo’qmi? Bu savolga javob berish uchun x ga jadvalda olingan qiymatlar orasidagi son qiymatlarini maydalab beriladi. Topilgan qiymatlar siniq chiziq ustida yotmaganligi uchun u siniq chiziq funksiyaning grafigi bo’la olmaydi. Bu sonlar orasidan yanada ko’proq qiymatlarni berib borsak borgan sari siniq chiziq egri chiziqqa yaqinlashib boradi.

Shunday qilib nuqtalar sonini orttirib borsak siniq chiziq egri chiziqqa yaqinlashib boradi.
Funksiyaning ba’zi xossalariga to’xtalib o’taylik:

1. 
   Funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat.
   
2. 
   funksiyaning ildizi.
   
3. 
   Funksiyaning grafigi y o’qiga simmetrik joylashgan.
   
4. 
   Funksiyaning eng kichik qiymati mavjud.
   
5. 
   da funksiya kamayuvchi, funksiya o’suvchi.
   
6. 
   Funksiyaning doim musbat qiymatlarini qabul qiladi. Bu esa uning o’zgarish sohasidir.
   

Funksiyaning grafigi uzluksiz bo’lib, parabola deb ataladi. funksiya grafigi a ning turli qiymatlarida turlicha bo’ladi:
( , –natural son) ko’rinishdagi funksiyalarni ko’raylik. Agar bo’lsa, bo’ladi. Bu funksiya uchun quyidagi jadvalni tuzaylik.

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y	81	16	1	0	1	16	81

24– rasm
funksiyaning grafigi (0;0), (1;1), (–1;1) nuqtalardan o’tuvchi, ular o’qiga nisbatan simmetrik joylashgan uzluksiz egri chiziqdir. R ning qiymati ortib borgan sari y o’qiga yaqinlashib boradi.
ning grafigi ham ning grafigini tasvirlovchi egri chiziqdan iborat bo’lib absissa o’qiga nisbatan ning grafigiga simmetrik bo’ladi. Demak, uning grafigi koordinatalar boshidan (–1;1), (1;1) nuqtalardan o’tadi.
funksiya musbat toq ko’rsatkichli darajali funksiyalar bo’lsin, agar bo’lsa,
Misollar:

1. 
   K ubning xajmi qirrasining funksiyasi. ko’rinishida;
   
2. 
   Sharning hajmi radiusining funksiyasi. ko’rinishida;
   
3. 
   To’p o’qining og’irligi stvol kanali diametrining funksiyasi. ko’rinishida ifoda qilinadi.
   

Endi ni yasaylik.
Xossalari:

1. 
   aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
2. 
   qiymatlar sohasi ham barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat ;
   
3. 
   funksiyaning ildizi;
   
4. 
   Funksiya toqdir, y koordinatalar o’qiga nisbatan simmetrikdir;
   
5. 
   Funksiya o’suvchi;
   
6. 
   Funksiyaning ekstremal qiymatlari mavjud emas. bo’lsa bo’lsa bo’ladi.
   

Funksiyaning grafigi uchinchi darajali parabola yoki kubikbola deyiladi.

ning grafigi bo’lsa, I va III chorakdan o’tadi, bo’lsa II va IV choraklardan o’tadi, bo’lganda ordinata o’qiga yaqinroq joylashgan bo’ladi.
Shunday qilib, m musbat toq son bo’lganda funksiyaning grafigi 3 ta doimiy nuqtadan (0;0), (–1;–1), (1;1) nuqtalardan o’tadi.
Butun manfiy ko’rsatkichli darajali funksiyalar. m–butun manfiy son bo’lsin.
Misol: Agar bo’lsa funksiya hosil bo’ladi. Shu funksiya grafigini chizaylik.

1. 
   Funksiyaning aniqlanishi sohasi noldan boshqa haqiqiy sonlar.
   
2. 
   J uft funksiya bo’lib, u tenglikka ega.
   
3. 
   Absissalar o’qini kesmaydi.
   
4. 
   x ning oraliqdagi qiymatlari uchun jadval tuzaylik.
   

Bu jadval bo’lganda kamayuvchiligi kelib chiqadi va simmetrik bo’lganligi uchun da o’suvchi.

5. 
   F unksiya doim .
   

Xuddi shuningdek kabi funksiyalarning grafiklari ham I, II choraklardan o’tadi. kabi funksiyalarning grafiklari esa I, II choraklardan o’tadi.
4°. funksiya va uning grafigi.
Ta’rif. funksiya kvadrat funksiya deyiladi, bunda va – berilgan xaqiqiy sonlar, – xaqiqiy o’zgaruvchi.
Avvalo funksiyaning grafigi bilan tanishaylik, ya’ni bo’lgan xol. Buning uchun jadval tuzaylik.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

funksiyaning xossalari:

1. 
   aniqlanish soxasi barcha xaqiqiy sonlar to’plamidan iborat;
   
2. 
   qiymatlar soxasi barcha musbat sonlar to’plami;
   
3. 
   ning grafigi ordinatalari o’qiga smmetrik, chunki juft funksiya;
   
4. 
   da o’suvchi, da kamayuvchi.
   

funksiyaning grafigi funksiya grafigi, xossalari bir xil, faqat bo’lganda ordinata o’qiga yaqinroq, bo’lganda esa musbat xoldagi grafigini absissalari o’qiga nisbatan simmetrik ko’chiramiz. bo’lganda kamayadi, da esa o’sadi, eng katta qiymati da bo’ladi.
funksiyaning grafigini yasash uchun uning ko’rinishini biroz o’zgartiramiz, ya’ni misol uchun berilgan bo’lsin. Avvalo va larning grafiklarini taqqoslaylik. Agar nuqta parabolaga qarashli bo’lsa, ya’ni u holda nuqta ga tegishli bo’ladi.
Chunki , demak funksiyaning grafigi paraboladan bir birlik o’ngga siljitish bilan hosil qilingan parabola bo’ladi. Endi va larni taqqoslaylik. x ning xar bir qiymatida ning qiymati ning qiymatidan 2 taga ortiq. Demak parabolani 2 birlik yuqoriga siljitish bilan hosil qilinadi (31–rasm).

Shunday qilib, funksiyaning grafigi parabolani koordinatalar o’qlari bo’ylab siljitishdan hosil bo’ladi. bo’lsa parabola tarmog’i yuqoriga, bo’lsa pastga qaraydi.
5) funksiya va uning xossalari.
kо’rinishdagi funksiya ko’rsatgichli funksiya deyiladi. ,
Ikki holni qaraylik :
a) ga qiymatlar berib jadval tuzamiz.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y				1	2	4	8

b) jadval tuzaylik

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	4

Xossalari:

1. 
   bu funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat;
   
2. 
   qiymatlar sohasi barcha musbat sonlar to’plamidan iborat;
   
3. 
   da funksiya o’suvchi, da funksiya kamayuvchi;
   
4. 
   da qiymatlarida, qiymatlarni qabul qiladi. da bo’ladi;
   
5. 
   da da bo’ladi. qiymatlarda esa qiymatlarni qabul qiladi;
   
6. 
   Juft ham toq ham emas;
   
7. 
   Ekstremumlari mavjud emas.
   

6°. Logarifmik funksiya va uning xossalari.
Ko’rsatkichli funksiyaga teskari bo’lgan funksiyani logarifmik funksiya deyiladi va quyidagicha yoziladi:
Misol: 1) bu funksiyani grafigini chizaylik.

x			1	2	4	8
y	-2	-1	0	1	2	3

2)
Xossalari:

1. 
   aniqlanish sohalari barcha musbat sonlar to’plamidan iborat. ;
   
2. 
   qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
3. 
   logarifmik funksiya aniqlanish sohasining hamma yerida da o’sadi, da kamayadi;
   
4. 
   juft ham, toq ham emas;
   
5. 
   da quyidagi tengliklar bajariladi:
   

a) b) c) da d) da e) son uchun uchun .


7°. Trigonometrik funksiyalarning xossalari va grafigi.
1. funksiyasining xossalari.

1. 
   Aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
2. 
   ning qiymatlar sohasi [–1; l] kesmadan iborat;
   
3. 
   toq funksiya ;
   
4. 
   Davriy bo’lib, davri ga teng;
   
5. 
   nuqtalar nollaridir;
   
6. 
   oraliqda , da o’sadi;
   
7. 
   da kamayadi;
   
8. 
   da 1 ga teng maksimumlarga ega, da –1 ga teng minimumlarga ega.
   

2. funksiyaning xossalari.

1. 
   ning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
2. 
   ning qiymatlar sohasi [–1: l] kesmadan iborat;
   
3. 
   juft funksiya ;
   
4. 
   Davriy bo’lib, davri ga teng;
   
5. 
   nuqtalar nollaridir;
   
6. 
   oraliqda ;
   

oraliqda .

7. 
   da o’sadi, da kamayadi;
   
8. 
   da 1 ga teng maksimumlarga ega, da –1 ga teng minimumlarga ega.
   

3. funksiyaning xossalari.

1. 
   ning aniqlanish sohasi dan boshqa barcha xaqiqiy sonlar to’plamidan iborat.
   
2. 
   qiymatlar sohasi esa barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
3. 
   toq funksiya;
   
4. 
   davriy funksiya, davri ga teng;
   
5. 
   tangenisning nollari ;
   
6. 
   oraliqda , oraliqda ;
   
7. 
   da o’suvchi;
   
8. 
   funksiyaning ekstremumlari mavjud emas.
   

4. funksiyaning xossalari

1. 
   ning aniqlanish soxasi dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat;
   
2. 
   funksiya qiymatlar soxasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
3. 
   toq funksiya, ;
   
4. 
   davriy bo’lib, davri ga teng;
   
5. 
   nollaridir;
   
6. 
   oraliqda , oraliqda ;
   
7. 
   da o’suvchi;
   
8. 
   funksiyaning ekstremumlari mavjud emas.
   

8°. Teskari trigonometrik funksiyalarning xosslari va grafiklari.

1. funksiyaning xossalari va grafigi.

1. 
   funksiya ga teskari bo’lganligi uchun uning aniqlanish sohasi [–1;1] sonlar oraligidan iborat;
   
2. 
   O ’zgarish soxasi esa barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat. oraliqni qaraymiz;
   
3. 
   toq funksiya, koordinatalar boshiga nisbatan grafigi simmetrik;
   
4. 
   [–1;1] oraliqda o’suvchi;
   
5. 
   ning grafigi (0;0) nuqtadan o’tadi;
   
6. 
   [–1;0] oraliqda dan o’tadi;
   
7. 
   ning ekstremumlari mavjud emas.
   

2. funksiyalarning xosslari va grafiklari.

1. 
   funksiya ga teskari funksiya bo’lgani uchun aniqlanish soxasi [–1;1] sonlar to’plamidan iborat;
   
2. 
   funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat, biz oraliqda qaraylik;
   
3. 
   juft xam, toq xam emas ;
   
4. 
   [–1;1] oraliqda kamayuvchi;
   
5. 
   (1;0) va nuqtadan o’tadi;
   
6. 
   Ekstrimumlari mavjud emas.
   

3. funksiya va uning grafiklari.

1. 
   funksiyaning aniqlanish soxasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat ;
   
2. 
   ning o’zgarish sohasi dan boshqa barcha s onlar, biz faqat oraliqda qaraymiz;
   
3. 
   funksiya toq funksiya;
   
4. 
   funksiya monoton o’suvchi;
   
5. 
   (0;0) nuqtadan o’tadi;
   
6. 
   Ekstrimumlari mavjud emas;
   

4. funksiyaning xossalari va grafigi.

1. 
   funksiyaning aniqlanish soxasi barcha xaqiqiy sonlar to’plamidan iborat. ;
   
2. 
   ning o’zgarish soxasi dan boshqa barcha xaqiqiy sonlar. Biz oraliqni qaraymiz;
   
3. 
   ;
   
4. 
   o’zining aniqlanish soxasida kamayuvchi;
   
5. 
   nuqtadan o’tadi;
   
6. 
   Ekstrimumlari mavjud emas.
   

O’qituvchi dars jarayonida ko’pincha faqat asosiy elementar funksiyalarning grafiklarini chizish bilan chegaralanib qoladi. Elementar funksiyalardan tashqari quyida keltirilgan funksiyalarning grafiklarini chizishni o’rganish maqsadga muvofiq bo’lar edi.
1 – misol. , bo’lgani uchun ya’ni funksiya juft bo’lib, uning grafigi Oy o’qiga nisbatan simmetrikdir. Shu sababli, ning grafigini chizish uchun avval ni grafigi chiziladi, so’ng bo’lganligi uchun qismi simmetrik almashtiriladi. (44–rasm)
2– misol. funksiyaning grafigini chizing.
ni oraliqda chizamiz. (chizmada AB nur) OY o’qqa nisbatan AB ga simmetrik qilib AS ni chizamiz. BAS siniq chiziq berilgan funksiyaning g rafigi bo’ladi (45– rasm.)
Bu funksiyani

ko’rinishida ifoda qilib grafikni chizganda ham BAS siniq chiziq hosil bo’ladi.
3–misol. funksiyaning grafigi chizilsin.
1) ning grafigini chizamiz. Buning uchun:

1. 
   ning grafigi uchun chizilgach (AK), to’g’ri chiziq chiziladi;
   

b) ning grafigi uchun chiziladi. (chizmada– YEK), AKE siniq chiziq ning grafigi.

2. 
   Chizilgan grafikni OX o’qi ostidagi qismi BKD ga simmetrik qilib BSD ni chizamiz. ABSDE –siniq chiziq berilgan funksiyaning grafigi bo’ladi (46 rasm.)
   

4–misol. funksiyaning grafigini chizing.
Avval funksiyaning grafigini oraliqda chizamiz. Chizmada parabolaning bir qismi ASB hosil bo’ladi, so’ngra OY o’qqa nisbatan simmetrik bo’lgan A₁S₁B₁ ni chizamiz. Berilgan funksiyaning grafigi hosil bo’ladi.

5–misol. funksiyaning grafigini chizing.
Avval ko’rinishini o’zgartiramiz. bo’lsa, giperbolaning grafigini surishdan hosil qilamiz (48 rasm).

6 –misol. funksiyaning grafigini chizing.
Berilgan funksiyani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
. Bu holda ning grafigini surish bilan hosil qilinadi (49 rasm).
Bu kabi misollarni ko’plab keltirish mumkin. Bu esa o’quvchini tafakkurini o’stiradi, matematikaga qiziqishini yanada orttiradi.

IV BOB. FUNKSIYA LIMITI VA UZLUKSIZLIGI
3.1–§. Funksiya limiti.
haqiqiy sonlar to’plami berilgan bo’lib, a nuqta uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda funksiya aniqlangan bo’lsin.
Ta’rif (Geyne ta’rifi): Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan a ga intiluvchi har qanday ketma– ketlik olinganda ham mos ketma– ketlik hamma vaqt yagona b (chekli yoki cheksiz) limitga intilsa, shu b ga funksiyaning a nuqtadagi (yoki dagi) limiti deb ataladi va uni
yoki da
kabi belgilanadi.
haqiqiy sonlar to’plami berilgan bo’lib, a nuqta uning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin . Shu to’plamda funksiya aniqlangan bo’lsin.
Ta’rif (Geyne ta’rifi): Agar X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib, a ga intiluvchi har qanday ketma–ketlik olinganda ham mos ketma–ketlik hamma vaqt yagona b ga intilsa, shu b ni funksiyaning a nuqtadagi o’ng(chap) limiti deb ataladi.
to’plam berilgan bo’lib , a uning limit nuqtasi bo’lsin . va funksiyalar a nuqtada chekli limitga ega bo’lib,
bo'lsin, u holda

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   bo’lsa, bo’ladi.
   

3.2–§ Funksiyaning uzluksizligi
Ta’rif (Geyne ta’rifi): Agar X to’plamning elementlaridan tuzilgan va x₀ ga intiluvchi har qanday ketma– ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos ketma– ketlik hamma vaqt yagona ga intilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya X to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya X to’plamda uzluksiz deb ataladi.
funksiya to’plamda aniqlangan bo’lib, to’plamining limit nuqtasi bo’lsin. Bu holda da uchun quyidagi 4 holdan bittasigina bajariladi:
1°. Chekli chap va o’ng limitlar mavjud va (1) tenglik o’rinli . Bu holda funksiya da uzluksiz bo’ladi.
2°. lar mavjud , lekin (1) tenglik bajarilmaydi . U holda nuqtada 1–tur uzilishga ega bo’ladi.
3°. larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda funksiya nuqtada 2– tur uzilishga ega deyiladi.
4°. bo’lsa , bunday uzilish bartaraf qilish mumkin bo’lgan uzilish deyiladi.
va funksiyalar X to’plamda aniqlangan bo’lib , nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Agar va nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ,
funksiyalar ham nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Misol. Ushbu funksiyaning da uzluksizligini ko’rsating .
funksiyalar R da uzluksiz funksiyani ko’rinishda yozamiz . U holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko’ra funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.
3.3–§. Funksiyalarni to’liq tekshirish va grafiklarini chizish.
Funksiyalarni tekshirish va ularning grafiklarini quyidagi qoida bo’yicha amalga oshirish muvofiqdir.

1. 
   Funksiyaning aniqlanish sohasini topish.
   
2. 
   Funksiyaning qiymatlar sohasini topish.
   
3. 
   Funksiyani uzluksizlikka tekshirish va uzilish nuqtalarini topish.
   
4. 
   Funksiyaning juft, toqligini hamda davriyligini aniqlash.
   
5. 
   Funksiyani monotonlikka tekshirish.
   
6. 
   Funksiyani ekstremumga tekshirish.
   
7. 
   Funksiya grafigining qavariq va botiqlik oraliqlarini aniqlash, egilish nuqtalarini topish.
   
8. 
   Funksiya grafigining asimptotalarini topish.
   
9. 
   Agar imkoniyati bo’lsa, funksiyaning OX va OY o’qlar bilan kesishadigan (agar ular mavjud bo’lsa) nuqtalarini topish va argument X ning bir nechta xarakterli qiymatlarida funksiyaning qiymatlarini hisoblash.
   

Masalan: funksiyani tekshiraylik.
Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi da aniqlangan bo’lgani uchun funksiya juftdir. Demak, grafik OY o’qiga nisbatan simmetrik bo’ladi va uni oraliqda tekshirish kifoya.
Funksiyani hosilalarini olamiz.

funksiya oraliqning nuqtasidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan va da nolga aylanadi. Ikkichi tartibli xosilaning dagi qiymati . Shuning uchun funksiya da maksimumga va bu maksimum qiymat bo’ladi. Endi (1;1) va da bo’lganidan bu oraliqda funksiyani kamayuvchiligi kelib chiqadi. So’ngra

bo’lgani uchun (funksiyaning 2-tur uzilish nuqtalari) to’g’ri chiziqlar vertikal asimptotalar ekanligi

limitlarga ko’ra funksiya grafigining asimptotasi ekanligi kelib chiqadi.
tenglama haqiqiy sonlar to’plamida yechimga ega emasligidan egilish nuqtasining yo’qligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tartibli hosilaning qiymatlari da da . Demak funksiya grafigi da qavariq va da botiq bo’ladi(50– rasm).




IV BOB. AKADEMIK LITSEY VA KASB– XUNAR KOLLEJLARIDA
FUNKSIYANING O’RGANILISHI
Ma’lumki, bugungi kunda kasb–hunar kollejlarining moddiy texnik bazasi mustahkamlanib, zamonaviy o’quv vositalari, o’qitishning texnik vositalari, axborot texnologiyalari, o’qitishning didaktik vositalari ta’lim – tarbiya jarayoniga keng tadbiq qilinib kelinmoqda.
Ta’lim jarayonini ilmiy asosda to’g’ri tashkil etish birinchi navbatda akademik litsey va kasb– hunar kollejlarining tajribali, ta’lim – tarbiya ishlariga yangicha yondasha oladigan, o’qitishning ilg’or pedagogik usullarini dars jarayonlariga keng joriy eta oladigan, zamonaviy texnika va texnalogiyalarni mustaqil boshqara oladigan pedagog va muhandis pedagoglarga bog’liqdir.
Ushbu talablardan kelib chiqib har bir hodim yangicha fikrlashga, ijodkorlikka, o’quvchilarga chuqur nazariy va amaliy bilim berishga, ta’lim mazmunini oshirishga harakat qilmog’i lozim.
Umumiy ta’lim maktablari, akademik litsey va kasb–hunar kollejlari matematika dasturining juda ko’p qismini funksiya va uning grafigi haqidagi mavzular egallagan. Shu bilan birgalikda boshqa mavzularni o’rganishda ham funksiya tushinchasi asos bo’ladi. Shuning uchun ham bu bobda akademik litsey va kasb–hunar kollejlari matematika kursida funksiyani o’rganishiga e’tibor qaratdik.
Ma’lumki, akademik litsey va kasb–hunar kollejlari matematika kursida trigonometrik funksiyalar, teskari trigonometrik funksiyalar, ko’rsatkichli va logarifmik funksiyalarning xossalari va grafiklari o’rganiladi, so’ngra funksiya limiti, hosilasi kabi mavzular ko’rib o’tiladi.
Qandaydir funksiyaning grafigini bilgan holda, argument va funksiya qiymatlari jadval tuzmasdan berilgan funksiyaga nisbatan murakkabroq bo’lgan funksiya grafigini sof geometrik yo’l bilan yasash mumkin.
Masalan: funksiyaning grafigini siljitish yoki deformatsiya (toraytirish yoki kengaytirish) yo’li bilan funksiyalarning grafigini yasash mumkin.
funksiya grafigi berilgan funksiya grafigini absissa o’qi bo’ylab a masshtab birligi qadar bo’lsa o’ngga, bo’lsa, chapga siljitish (surish) bilan hosil qilinadi (66– rasm)


funksiyaning grafigi esa funksiya grafigini ordinata o’qi bo’ylab bo’lganda yuqoriga , bo’lganda pastga b masshtab birligi qadar surish bilan hosil qilinadi.
funksiyaning grafigi berilgan funksiya grafigi nuqtalari ordinatalarini A koeffitsentga ko’paytirish natijasida hosil qilinadi. Bunda, agar bo’lsa, funksiya grafigi nuqtalarining ordinatalari absolyut qiymati bo’yiga marta ortadi, bo’lsa, marta kamayadi. bo’lganda funksiya grafigi absissa o’qiga nisbatan funksiya grafigiga simmetrik bo’ladi. (67– rasm)
funksiyaning grafigi funksiya grafigidan undagi nuqta absissalarini R koeffisentga bo’lish natijasida hosil bo’ladi. Bunda, agar bo’lsa, izlanayotgan grafikdagi hamma nuqtalar absissalari absolyut qiymatlari bo’yicha R marta kamayadi : agar bo’lsa, u holda marta ortadi; agar bo’lsa ularning ishoralari ham o’zgaradi. bo’lganda funksiya grafigi ordinata o’qiga nisbatan funksiya grafigi bilan simmetrik bo’ladi.(68–rasm)

funksiya grafigini ko’rsatilgan tartibda ketma–ket siljitish va deformatsiyalash bilan murakkabroq bo’lgan ko’rinishdagi funksiyaning grafigini yasash mumkin. Masalan funksiyaning grafigini yasang. Buning uchun va lardan foydalanamiz va jadval tuzib qiymatlarini topamiz.
uchun

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8