Malakaviy ishi

Funksiya	Funksiyaning aniqlanish sohasi
Funksiyaning o’zgarish sohasi
			n juft bo’lganda n toq bo’lgan

Ko’pincha funksiyaning aniqlanish sohasini topishga yetarlicha misollar beriladi, lekin qiymatlar sohasini topishga esa kam sonda misollar beriladi. Lekin oliy o’quv yurtlariga kirish testlarida bu kabi misollar ko’p uchraydi.

1.2–§. Funksiyaning asosiy xossalari

1.2.1.Funksiyaning o’sishi va kamayishi.


Agar shartda ekani kelib chiqsa, funksiya oraliqda monoton o’suvchi deyiladi. Bunda
Boshqacha aytganda, agar biror oraliqdan olingan argumentning ixtiyoriy ikki qiymatining kattasiga funksiyaning katta qiymati mos kelsa, funksiya shu oraliqda monoton o’suvchi deyiladi.
Agar funksiya oraliqda monoton o’suvchi bo’lsa, bu holda uning grafigi bu oraliqda ortishi bilan yuqoriga ko’tariladi.
Agar shartda ekani kelib chiqsa, funksiya oraliqda monoton kamayuvchi deyiladi. Bunda
Boshqacha aytganda, agar argumentning biror oraliqda olingan ikki ixtiyoriy qiymatida uning katta qiymatga funksiyaning kichik qiymati mos kelsa, funksiya shu oraliqda monoton kamayuvchi bo’ladi.
Masalan, 1) funksiya da o’suvchi, da kamayuvchidir.
2) faqat o’suvchi
3) faqat kamayuvchi
1.2.2.Funksiyaning ekstremal qiymatlari.
funksiyaning oraliqda qanday o’zgarishiga tegishli ba’zi masalalarni qaraylik. Bu yerda biz albatta funksiya bu oraliqning har bir nuqtasida aniqlangan deb faraz qilamiz.
funksiya oraliqda olinadigan qiymatlarning eng kattasini uning bu oraliqdagi absolyut maksimumi deyiladi. Masalan, 7 – rasmda grafik tasvirlangan funksiya uchun oraliqda qiymat absolyut minimum, qiymat absolyut maksimum bo’ladi.

Maksimum va minimum bilan bir qatorda ko’pgina lokal (ya’ni mahalliy) maksimum va minimum haqida xam gapiriladi.
Agar ning S ga yetarlicha yaqin barcha qiymatlari uchun bo’lsa, oraliqda yotgan x=s nuqta funksiyaning lokal maksimum nuqta bo’ladi.
funksiyaning lokal maksimumlari nuqtalaridagi qiymatlar bu funksiyaning lokal maksimumlari deyiladi. Masalan, 7–rasmda funksiya uchun va nuqtalar lokal maksimum nuqtalaridir, qiymatlar lokal maksimumlar bo’ladi.
funksiyaning lokal maksimumlari xuddi shu kabi aniqlanadi.
Agar x ning s ga yetarlicha yaqin barcha qiymatlari uchun bo’lsa, oraliqda yotgan nuqta funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo’ladi. Funksiyaning lokal minimumlari nuqtasidagi qiymati bu funksiyaning lokal minimumi deyiladi. Masalan: 7–rasmdagi tasvirlangan grafikdagi nuqta lokal minimum nuqtadir, qiymat esa lokal minimum qiymat deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari, funksiyaning maksimal va minimal qiymatlari ekstremal qiymatlari deyiladi.
funksiyaning ekstrimumlarini quyidagicha topamiz:
a) funksiyaning berilgan oraliqdagi barcha lokal maksimumlarini topamiz.
b) Topilgan qiymatlar qatoriga bu funksiyaning oraliqning oxirlaridagi ya’ni va qiymatlarini qo’yamiz. Bu qiymatlarning eng kattasi funksiyaning oraliqdagi maksimumi bo’ladi.
c) Topilgan qiymatlardan eng kichigi absolyut minimumi deyiladi.
Misol: funksiyaning barcha lokal ekstrimumlarini toping. oraliqdagi eng kichik va eng katta qiymatlarini toping

nuqta yagona lokal ekstremum nuqta bo’ladi. Bu nuqtada ga teng oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatini topish uchun da da bo’lishini ko’ramiz. Bulardan eng kichigi –4, kattasi 12 ga teng. Shuday qilib berilgan funksiyaning eng katta qiymati , eng kichik qiymati ga teng.


1.2.3. Juft va toq funksiyalar.
Agar x ning funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan barcha qiymatlarida bo’lsa, bu holda funksiya juft funksiya deyiladi. kabi funksiyalar juft funksiyalarga misol bo’ladi.
J uft funksiyaning grafigi ordinatalar o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgan chiziqni ifodalaymiz. (9–rasm)


Agar x ning funksiyaning aniqlanish soxasidan olingan barcha qiymatlari bo’lsa, u holda funksiya toq funksiya deyiladi.
kabi funksiyalar toq funksiyalarga misol bo’la oladi.
Istalgan toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshiga simmetrik bo’ladi. (10– rasm).
Har qanday funksiya juft yoki toq bo’lavermaydi. Juda ko’p funksiyalar mavjudki ularni juft funksiyalar qatoriga ham, toq funksiyalar qatoriga ham kiritib bo’lmaydi.
Masalan: funksiya uchun yoki ning birortasi bajarilmayapti.
Demak, berilgan funksiya juft ham, toq ham emas.

1.2.4. Davriy funksiyalar
Agar shunday soni mavjud bo’lib, x ning funksiyaning aniqlanish sohasidan olingan barcha qiymatlarida bo’lsa, davriy funksiya deyiladi. Bu holda yuqoridagi tenglikni qanoatlantiruvchi eng kichik T funksiyaning davri deyiladi.
Masalan: va lar davriydir. Sinus va kosinus funksiyalarning davri ga, tangens va kotangens funksiyalarining davri esa ga teng.

funksiya, bu yerda sonning kasr qismidir. Bu funksiya uchun tenglik T=1 bo’lganda bajariladi.
Agar funksiya davriy bo’lsa, ham shu funksiyaning davri bo’ladi. Bundan tashqari agar lar berilgan funksiyaning aniqlanish soxasiga qarashli bo’lsa, bularni ham davri deb hisoblash mumkin.
Har qanday davriy funksiya cheksiz ko’p davrga ega bo’ladi. funksiyaning davri haqida gapirar ekanmiz, odatda kichik musbat davrini nazarda tutamiz.
1.2.5. Teskari funksiyalar
tenglik x o’zgaruvchi miqdorning qabul qila olishi mumkin bo’lgan xar bir qiymatiga у o’zgaruvchi miqdorni to’la aniqlangan qiymatini mos keltiradi. Ammo ba’zi hollarda tenglikni у o’zgaruvchi miqdorning har bir qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatiga x o’zgaruvchi miqdorning to’la aniqlangan qiymatini mos keltiruvchi tenglik deb qarash ham mumkin.
Misol: 1) tenglik у ning har bir qiymatiga x ning ushbu qiymatini mos keltiradi. Masalan: y=1 bo’lganda bo’lganda bo’lganda x=2 va xokazo.
2–misol. tenglik uning har bir musbat qiymatiga x ning ushbu qiymatini mos keltiradi. masalan, bo’lganda bo’lganda x=1 va xokazo.
Umuman tenglikka asosan, u miqdorning har bir qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymati bo’yicha x miqdorning faqat bitta qiymatini tiklash mumkin bo’ladi.
U holda bu tenglik x va y ning biror funksiyasi sifatida aniqlaydi. Bu funksiyani xarfi bilan belgilaymiz, ya’ni
Bu formulada y argument, x esa funksiya bo’lib kelyapti. x harfi bilan argumentni, y harfi bilan belgilash odat tusiga kirib qolgan. Shuning uchun deb olamiz.
funksiyaning funksiyaga nisbatan teskari funksiya deyiladi. Misollar keltiramiz:

1. 
   funksiyaga ;
   
2. 
   funksiyaga ;
   
3. 
   funksiyaga funksiyalar teskaridir.
   

Agar funksiya [a,b] oraliqda monoton bo’lsa, u holda (albatta bo’lganda) unga teskari funksiya mavjud bo’ladi.
1.2.6. Funksiya va unga teskari funksiya grafiklarini o’zaro joylashtirish.
Lemma: Tekislikning va koordinatali nuqtalari 1– va 3– koordinata burchaklar bissektrisalariga nisbatan o’zaro simmetrikdir.