Maktablarda qiyinroq yechiladigan matematik masalalari

Yechilishi murakkabroq bo’lgan geometrik masalalar.
Matematik masalada nimalardir (shartlar) berilgan bo’ladi.Ulardan Foydalanib, nimanidir topish (hisoblash) yoki isbotlash,yoki yasash talab qilinadi.Qo’yilgan talabni bajarish masalani yechishni bildiradi.
Geometrik masalalar qo’yilgan talabga ko’ra hisoblashga, isbotlashga , tadqiq qilishga va yasashga doir masalalarga bo’linadi.Geometrik masalani yechish uchun quruq nazaryani bilish yetarli emas. Masala yechish ko’nikmasiga va tajribasiga ham ega bo’lish talab qilinadi.Bunday ko’nikmaga o’z navbatida sodda masalalardan boshlab,borgan sari murakkabroq masalalarni yechish orqali erishiladi.
Shuningdek,masalalarni yechishning turli xil usullari ham mavjudki bu usullarni faqat ko’p masalalar yechish bilangina o’zlashtirish mumkin.Har bir usul muayyan turkumdagi masalalarni yechish ushun qo’llaniladi.
Quyida geometrik masalalarni yechishning ba’zi muhim usullari ustida to’xtalamiz.
Masala yechish usullari tuzilishiga ko’ra sintetik, analitik, teskarisidan faraz qilish va hokazo turlarga bo’linadi.Matematik apparatning qo’llanilishiga ko’ra algebraik, vektorli, koordinatallar, yuzlar usuli, o’xshashlik usuli, geometrik almashtirishlar kabi turlarga bo’linadi.
Sintetik usulmohiyatan masala shartida berilganlardan foydalanib, mulohaza yurutish orqali mantiqiy fikrlar zanjiri hosil qilinadi.Mulohazalar zanjiri eng oxirgi bo’lagi masala talabi bilan ustma-ust tushguncha davom etadi.

Bu masala tayanch masalalar qatoriga kiradi,chunki ko’pgina masalalar xuddi shu g’oya atrofida quriladi.Parallelogramm va trapetsiya burchagining bissektrisasi bu shaakllar tekislikidan teng yonli uchburchak kesib oladi. Bunday tayanch faktlarni doim yoodda tutish kerak. Ular bosha masalalarni yechayotganda juda qo’l keladi.
Analitik usulmohiyatan teorema (masala)ning xulosa qismidan kelib chiqib, oldindan ma’lum tasdiqlardan foydalanib,mulohaza yuritish orqali mantiqiy fikrlar zanjirini hosil qilinadi.Mulohazalar zanjirining eng oxirgi bo’lagi masala shartining natijasi ekanligini aniqlaguncha davom etiriladi.
2-masala.Ixtiyoriy to’rtburchak tomonlarining o’rtalarini tutashtirishdan paralelogramm hosil bo’lishini isbotlang.
Isbot. Aytaylik ABCD-torburchak (2- rasm), AK=KB, BL=LC, CQ=QD,AP=PD bo’lsin.

Yuqorida ko’rilgan sintetik va analitik usullar to’g’ri usullar deb ham ataladi.
Masalani to’g’ri usullar bilan yechayotganda ,avval masala mazmunini tahlil qilinadi.Tahlil natijasiga ko’ra usul tanlanadi. Shundan so’ng rasm ko’rinishida masalani yechish modeli (chizmasi) tuziladi va chizma ustida mulohaza yuritiladi.
Shu tariqa mulohazalar yuritib, masalaning shartidan uning xulosa qismiga qarab borilaveradi.
Masala yechishning teskari usuli ham mavjud. U bilan ko’p marta duch kelganmiz. U “teskarisini faraz qilib isbotlash usuli ” deb ataladi. Bu usulni qo’llash algoritmini keltiramiz.

3-masala. Agar ikki to’g’ri chiziqning har biri uchinchi to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular o’zaro parallel bo’ladi.
Aytaylik a va b to’g’ri chiziqlar bo’lib, ularning har biri uchinchi c to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsin. Teoremani teskarisini faraz qilish usuli bilan isbotlaymiz.
Isbot :Teskarisini faraz qilamiz a va b to’g’ri chiziqlarning har biri uchinchi to’g’ri chiziq c ga paralell bo’lsin-u, ular o’zaro parallel bo’lmasin.

Mazkur usul quyidagi mantiq qonuniga asoslangan: bir-biriga zid ikki tasdiqning faqat bittasi rost, ikkinchisi yolg’on bo’ladi, uchinchi holatning bo’lishi mumkin emas.
Endi geometrik masalalarni yechishning boshqa usullariga to’xtalamiz.










Yechilishi murakkabroq bo’lgan geometrik masalalar:

1-masala:Rasmda tomonining uzunligi 6 ga teng bo’lgan

Kvadrat va unga ichki chizilgan chorak aylanalar
Tasvirlangan bo’yalgan sohaning yuzini toping:
Yechish: bizga ABCD- kvadrat berrilgan,masala shartiga ko’ra kvadrat tomoni
a=6 ga teng, aylananing chorak qismlari tasvirlangani uchun aylana radiusi ham R=6 bo’ladi. Bo’yalgan soha yuzini topish uchun yarim aylana yuzidan kvadrat yuzini ayirish kifoya.

1) bizga berilgan a=R=6 ;
2) yarim aylana yuzi S₁ desak u holda S₁= = 18π;
3)kvadrat yuzini S₂ desak u holda S₂ = a²= 36;
4) olingan natijalardan bo’yalgan soha yuzini topamiz: S=S₁ –S₂ = 18π – 36 ;

4-masala. A nuqtadan tekislikka ikkita bir xil og’ma tushirilgan. Bu og’malar orasidagi burchak 90. Og’malarning uzunligi 13. A nuqtadan tekislikkacha masofa 5 ga teng bo’lsa , bu og’malarning tekislikdagi proeksiyalari orasidagi burchak kosinusini toping.

Yechish: avval boshidan masala shartiga mos chizmani chizib olamiz:

1. 
   Chizmadan ko’rinib turiptiki ADC teng yonli to’g’ri burchakli uchburchak
   

Bundan DC= ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   AD=AC bo’lganligida ularning tekislikdagi proeksiyalari ham DB=BC ekanligi kelib chiqadi.
   
3. 
   ABC to’g’ri burchakli uchburchakdan foydalangan holda a proeksiya uzunligini aniqlab olamiz.
   

a= =12;

4. 
   Oxirgi bosqichda topilganlardan foydalangan holda ni topamiz:
   

.