Maktab, akademik litsey, kasb-hunar kollejlari matematikasida Evklid vektor fazolar

3. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha

Yevklid fazosi matematika va fizikaning turli sohalarida qoʻllaniladi. Yevklid fazosi — Yevklid geometriyasida oʻrganiladigan tekislik va uch oʻlchovli fazoning umumlashgani. Agar vektor fazoda ixtiyoriy x, u vek- torga quyida keltirilgan aksiomalarni qanoatlantiruvchi va (x, u) deb belgilanuvchi son mos qoʻyilgan boʻlsa, bu vektor fazo Yevklid fazosi, (x, u) soni esa skalyar koʻpaytma deyiladi. Aksiomalar:

(x,x)>0; x=0 boʻlgan xildagina (x, x)=0;
(x,u)=(x, u);
(Xx,u)=X(x, u);
(x+u,2)=(x, 2)+(u, 2).
Skalyarning haqiqiy yoki kompleksliligiga karab mos ravishda haqiqiy Yevklid fazosi kompleks Yevklid fazosi deb yuritiladi. Agar Yevklid fazosi hosil qilgan vektor fazo (i) oʻlchovli boʻlsa, Yevklid fazosi ham (p) oʻlchovli deyiladi. Baʼzan, faqat chekli oʻlchovli fazolargina Yevklid fazosi deb ataladi. Yevklid fazosida formula bilann vektor uzunligi, ikki vektor orasidagi burchak aniqlanad Bizga to‘plam berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy elementlarga ularning yig‘indisi deb ataluvchi elementni mos qo‘yib, uni ko‘rinishda belgilab olamiz. Shuningdek, ixtiyoriy sonini elementga ko‘paytmasi sifatida  elementni mos qo‘yamiz va uni ko‘rinishda belgilaymiz.
Evklid fazosining ta'rifi va misollari. Evklid bo'shliqlari. Evklid fazosidagi chiziqli algebra izlash —uy Psixologiya
Evklid fazosining ta'rifi va misollari. Evklid bo'shliqlari. Evklid fazosidagi chiziqli algebra izlash. Bunday vektor maydoniga mos keladi. Ushbu maqolada boshlang'ich nuqta sifatida birinchi ta'rif olinadi.n-o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi \\ mathbb E ^ n, yozuv ham tez-tez ishlatiladi \\ mathbb R ^ n (agar kontekstdan kosmik evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa). Evklid makonini aniqlash uchun skalar mahsuloti tushunchasini asosiy tushuncha sifatida qabul qilish eng osondir. Evklid vektorlari maydoni haqiqiy sonlar maydoni bo'ylab cheklangan o'lchovli vektor maydoni sifatida aniqlanadi, uning vektorlarida haqiqiy qiymat berilgan funktsiya berilgan (\\ cdot, \\ cdot), quyidagi uchta xususiyatga ega:Bilinearlik: har qanday vektorlar uchun u, v, w va har qanday haqiqiy sonlar uchun a, b \\ quad (au + bv, w) \u003d a (u, w) + b (v, w) va (u, av + bw) \u003d a (u, v) + b (u, w);
Simmetriya: har qanday vektorlar uchun u, v \\ to'rtlik (u, v) \u003d (v,u);Ijobiy aniqlik: har qanday kishi uchun u \\ quad (u, u) \\ geqslant 0, bundan tashqari (u, u) \u003d 0 \\ o'ng tirnoq u \u003d 0.
Evklid fazosiga misol - koordinatalar fazosi \\ mathbb R ^ n, haqiqiy sonlarning mumkin bo'lgan barcha kataklaridan iborat (x_1, x_2, \\ ldots, x_n), formulada aniqlangan nuqta mahsuloti (x, y) \u003d \\ sum_ (i \u003d 1) ^ n x_iy_i \u003d x_1y_1 + x_2y_2 + \\ cdots + x_ny_n.Uzunliklar va burchaklar Evklid fazosida berilgan skalar mahsulot uzunlik va burchak geometrik tushunchalarini kiritish uchun etarli. Vektor uzunligi siz sifatida belgilangan \\ sqrt ((u, u)) va belgilangan | u |. Skalyar mahsulotning ijobiy aniqligi nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi nolga teng bo'lishini kafolatlaydi, va aniqlik shuni anglatadiki | au | \u003d | a || u |, ya'ni mutanosib vektorlarning uzunligi mutanosibdir.Vektorlar orasidagi burchak siz va v formula bo'yicha aniqlanadi \\ varphi \u003d \\ arccos \\ chap (\\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng). Kosinus teoremasi shuni anglatadiki, ikki o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid samolyoti) burchakning bu ta'rifi odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli kosmosdagi kabi, orasidagi burchakka teng bo'lgan vektorlar sifatida aniqlanishi mumkin \\ frac (\\ pi) Psixologiya Evklid fazosining ta'rifi va misollari. Evklid bo'shliqlari. Evklid fazosidagi chiziqli algebra izlash.Bunday vektor maydoniga mos keladi. Ushbu maqolada boshlang'ich nuqta sifatida birinchi ta'rif olinadi.n-o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi \\ mathbb E ^ n, yozuv ham tez-tez ishlatiladi \\ mathbb R ^ n (agar kontekstdan kosmik evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa).Rasmiy ta'rif
Evklid makonini aniqlash uchun skalar mahsuloti tushunchasini asosiy tushuncha sifatida qabul qilish eng osondir. Evklid vektorlari maydoni haqiqiy sonlar maydoni bo'ylab cheklangan o'lchovli vektor maydoni sifatida aniqlanadi, uning vektorlarida haqiqiy qiymat berilgan funktsiya berilgan (\\ cdot, \\ cdot), quyidagi uchta xususiyatga ega:
Bilinearlik: har qanday vektorlar uchun u, v, w va har qanday haqiqiy sonlar uchun a, b \\ quad (au + bv, w) \u003d a (u, w) + b (v, w) va (u, av + bw) \u003d a (u, v) + b (u, w);Simmetriya: har qanday vektorlar uchun u, v \\ to'rtlik (u, v) \u003d (v, u);Ijobiy aniqlik: har qanday kishi uchun u \\ quad (u, u) \\ geqslant 0, bundan tashqari (u, u) \u003d 0 \\ o'ng tirnoq u \u003d 0.Evklid fazosiga misol - koordinatalar fazosi \\ mathbb R ^ n, haqiqiy sonlarning mumkin bo'lgan barcha kataklaridan iborat (x_1, x_2, \\ ldots, x_n), formulada aniqlangan nuqta mahsuloti (x, y) \u003d \\ sum_ (i \u003d 1) ^ n x_iy_i \u003d x_1y_1 + x_2y_2 + \\ cdots + x_ny_n.Uzunliklar va burchaklarEvklid fazosida berilgan skalar mahsulot uzunlik va burchak geometrik tushunchalarini kiritish uchun etarli. Vektor uzunligi siz sifatida belgilangan \\ sqrt ((u, u)) va belgilangan | u |. Skalyar mahsulotning ijobiy aniqligi nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi nolga teng bo'lishini kafolatlaydi, va aniqlik shuni anglatadiki | au | \u003d | a || u |, ya'ni mutanosib vektorlarning uzunligi mutanosibdir.Vektorlar orasidagi burchak siz va v formula bo'yicha aniqlanadi \\ varphi \u003d \\ arccos \\ chap (\\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng). Kosinus teoremasi shuni anglatadiki, ikki o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid samolyoti) burchakning bu ta'rifi odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli kosmosdagi kabi, orasidagi burchakka teng bo'lgan vektorlar sifatida aniqlanishi mumkin \\ frac (\\ pi). Koshi - Bunyakovskiy - Shvarts tengsizligi va uchburchak tengsizligi
Yuqorida keltirilgan burchakning ta'rifida bitta bo'sh joy qoldi: uchun \\ arccos \\ chap (\\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng) aniqlandi, bu tengsizlik zarur \\ chap | \\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng | \\ leqslant 1. Ushbu tengsizlik aslida o'zboshimchalik bilan Evklid fazosida bo'ladi, u Koshi - Bunyakovskiy - Shvarts tengsizligi deb ataladi. Bu tengsizlik, o'z navbatida, uchburchak tengsizligini anglatadi: | u + v | \\ leqslant | u | + | v |. Uchburchak tengsizligi, yuqorida sanab o'tilgan uzunlik xususiyatlari bilan birga, vektorning uzunligi Evklid vektor fazosidagi me'yor va funktsiyani anglatadi. d (x, y) \u003d | x-y | Evklid fazosidagi metrik bo'shliqning tuzilishini belgilaydi (bu funktsiya Evklid metrikasi deb ataladi). Xususan, elementlar (nuqtalar) orasidagi masofa x va y koordinata maydoni \\ mathbb R ^ n formula bilan berilgan d (\\ mathbf (x), \\ mathbf (y)) \u003d \\ | \\ mathbf (x) - \\ mathbf (y) \\ | \u003d \\ sqrt (\\ sum_ (i \u003d 1) ^ n (x_i - y_i) ^ 2).
Algebraik xususiyatlar. Ortonormal asoslarBo'sh joylar va operatorlar
Har qanday vektor x Evklid fazosi chiziqli funktsionallikni belgilaydi x ^ * sifatida belgilangan bu bo'shliqda x ^ * (y) \u003d (x, y). Ushbu taqqoslash Evklid fazosi va uning er-xotin fazosi orasidagi izomorfizmdir va ularni hisob-kitoblarni buzmasdan aniqlashga imkon beradi. Xususan, qo'shma operatorlarni uning er-xotinida emas, balki asl maydonda harakat qilayotgan sifatida ko'rish mumkin va o'z-o'ziga qo'shilgan operatorlarni ularning konjugatiga to'g'ri keladigan operatorlar sifatida aniqlash mumkin. Ortonormal asosda qo'shilgan operator matritsasi asl operator matritsasiga, o'z-o'ziga qo'shilgan operator matritsasi esa nosimmetrik bo'ladi.
4.Evklid fazosining ta'rifi

Ta'rif 1. Haqiqiy chiziqli bo'shliq deyiladi evklid, agar a har qanday ikkita vektorni bog'laydigan operatsiyani belgilaydi x va y bundan vektorlarning nuqta hosilasi deb nomlangan son x va y va belgilangan(x, y) buning uchun quyidagi shartlar bajariladi:(x, y) \u003d (y, x);

(x + y, z) \u003d (x, z) + (y, z), bu erda z - berilgan chiziqli fazoga tegishli har qanday vektor;(? X, y) \u003d? (x, y), qaerda ? - istalgan raqam;(x, x)? 0 va (x, x) \u003d 0 x \u003d 0.Masalan, bitta ustunli matritsalarning chiziqli fazosida, vektorlarning skalar ko'paytmasi

formula bo'yicha aniqlanishi mumkin

Evklid o'lchamlari maydoni n En-ni belgilang. e'tibor bering, bu cheklangan va cheksiz o'lchovli Evklid bo'shliqlari mavjud.mTa'rif 2. X vektorining uzunligi (moduli) evklid fazosida En deb nomlangan (x, x) va buni quyidagicha belgilang: | x | \u003d (x, x) ... Evklid fazosidagi har qanday vektoruzunlik bor va nol vektorda u nolga teng. Nolga teng bo'lmagan vektorni ko'paytirish x raqam bo'yicha , biz vektorni olamiz , uzunligi bu biriga teng. Ushbu operatsiya chaqiriladi me'yorlash vektor x.Masalan, bitta ustunli matritsalar oralig'ida vektorning uzunligi quyidagi formula bilan aniqlanishi mumkin: