2. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha

---

1
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARGO’NA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
20.05-GURUH MATEMATIKA YO'NALISHI TALABASI
BORONBOEV SHOHJAHONNING
Algebra va sonlar nazariya fanidan
TAYYORLAGAN
KURS ISHI
Mavzu: Maktab, akademik litsey, kasb-hunar kollejlari matematikasida
Evklid vektor fazolar.
Bajardi__________________Sh. Boronboev

---

2
Qabul qildi______________
Farg’ona-2021
Mundarija
I.Kirish………………………………………………………………………4
II.Asosiy qism ……………………………………………………………4
1. Vektor fazo haqida tushuncha………………………………. 11
2. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha………………..15
3 Fazodagi koordinatalar metodi……………………………..25
4. Evklid fazosining ta'rifi………………………………..30
5. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi …………………………..31
V. Xulosa……………………………………………………………40
VI. Foydalangan adabiyotlar………………………………41

---

3
REJA;
I.Kirish
II.Asosiy qism
1. Vektor fazo haqida tushuncha
2. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha
3 Fazodagi koordinatalar metodi
4. Evklid fazosining ta'rifi
5 Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
V. Xulosa
VI. Foydalangan adabiyotlar

---

4
Kirish
Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb,
ertangitaqdirmizni hal qiluvchimuammoga aylanmoqda. Jamiyatimizning
yangilanishi, hayotimiz taraqqiyoti va istiqboli, amalga oshirilayotgan islohotlar
rejasining samarali taqdiri – bularning barchasi, avvalombor, zamon
talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutahassis kadrlar
tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog'liq.
Shu bois mamlakatimizning istiqlol yo'lidagi birinchi qadamidanoq
ma'naviyatimizni yuksaltirish, ta'lim-tarbiya tizimini takomillashtirish, unuing
milliy zaminini mustahkamlash, zamon talablari bilan uyg'unlashtirish asosida
jahon andozalari va ko'nikmalari darajasiga chiqarishga katta ahamiyat
berilmoqda.
Mustaqil O'zbekiston o'z xalqi tanlab olgan yo'l – ochiq, erkin bozor
iqtisodiyotiga asoslangan odil jamiyat, kuchli demokratik huquqiy davlat qurish
yo'lidan bosqichma-bosqich olg'a bormoqda. Davlatimiz oldida turgan g'oyatda
muhim vazifalar – mamlakatni ijtimoiy va iqtisodiy jihatdan isloh qilish,
iqtisodiy munosabatlarni demokratiyalash, kelajak poydevori bo'lmish yuksak
ma'naviyatimizni rivojlantirishdan, ta'lim-tarbiya tizimi shakli va mazmunini
tubdan isloh qilib o'zgartirish, uni yangi zamon darajasiga ko'tarishdan iborat.
Buning uchun muqaddas zaminda yashayotgan har qaysi inson Vatan istiqboli,
uning ravnaqi va kelajagi uchun kurashishi lozim. Mustaqil mamlakatimizga
mustaqil fikrlaydigan ijodkor kadrlar zarur.
Mustaqil fikrlaydigan, o'z bilimlarini hayotga tadbiq eta oladigan ijodkor
kadrlarni tayyorlash maktabdan boshlanadi. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov
ta'kidlaganlaridek, «O'qituvchi va o'quvchi mimosabatlaridagi majburiy
itoatkorlik o'rninini ongli intizom egallashi juda qiyin kechayapti. O'qituvchining

---

5
bosh vazifasi o'quvchilarda mustaqil fikr yuritish ko'nikmalarini hosil qilishdan
iboratligini ko'pincha yaxshi tushunamiz, lekin, afsuski, amalda tajribamizda
unga rioya qilmaymiz»
Huquqiy demokratik davlatda o'quvchilar, umuman olganda har bir
jamiyat a'zosi erkin fikrlaydigan qilib tarbiyalanadi. Zero, «Agar bolalar erkin
fikrlashni o'rganmasa, berilgan ta'lim samarasi past bo'lishi muqarrar.Albatta,
bilim kerak.Ammo bilim o'z yo'liga. Mustaqil fikrlash ham katta boylikdir»
Darhaqiqat, bugungi bozor iqtisodiga o'tish jarayonida yaxshi kasbiy
tayyorgarlikka ega bo'lgan, mustaqil fikrlaydigan yoshlarga ehtiyoj sezilmoqda.
Bizning tadqiqotimizda maktab o'quvchilarining mustaqil fikr yuritib, olgan
nazariy bilimlarini kelgusi hayotga tadbiq qila oladigan darajadagi ta'lim
berishning jihatlari qarab chiqildi.
Matematika o'quv fani sifatida, o'quvchilarning tadqiqiy ko'nikmalarini
shakillantirishda alohida xususiyatga ega. Har bir matematikning faoliyati
masala yechishga keltiriladi va barcha nostandart masalalarni yechish va
tadqiqiy faoliyat hisoblanadi.
Hozirgi zamon matematikning amaliy faoliyatga chuqur kirib borishi, uni
fan-tehnika va iqtisodda qo'llanishi bilan xarakterlanadi. Boshqacha aytganda,
matematika amaliy masalalarni yechishda metodalogik asos bo'lib qoldi.Shu
bilan birga masalalar yechishda matematikadan tadqiqiy ko'nikma va
malakalarni shakllantirmasdan turib, foydalanish mutlaqo mumkin emas.
Tadqiqiy bilim, amaliy ko'nikma va malakalar matematikaning nazariy qurilishi
bilan uning amaliy muamolarini bog'laydi. Matematik tushunchalarning asosiy
negzini tasvirlaydi, amaliy masalalarni yechishda matematikani qo'llash
vositasi bo'lib hizmat qiladi. Bu esa, hozirgi paytda tadqiqiy ko'nikmalarning
ummumta'lim va umummadaniy qimmatga ega ekanligini ko'rsatadi.
Jamiyatimizning tez sur'artlar bilan rivojlanishi, xalqimizning milliy
qadriyatlari, an'analarining tiklanishi, ijtimoiy va iqtisodiy munosabatlarning
takomillashishi xalq ta'limi tizimiga murakkab vazifalarni yukladi. Davlat

---

6
rahbariyatining tinimsiz g'amxo'rligi va fidoiyligi, xalq ta'limi tizimidagi qayta
qurishlar va o'zgarishlar ham izlanishlarimizning izchilligidan dalolat berib
turadi. Shu bilan birga jamiyatimizning rivojlanishini, siyosiy tizim barqarorligi
hamda bozor iqtisodiyotiga o'tishning boshqarib borilishi, xalqimizning
ma'naviy va ma'rifiy saviyasi madaniyatning rivojlanishi, hozirgi kunda
matematika ta'limiga bo'lgan talab va ehtiyojning kundan- kunga orib borishi
noan'anaviy shakldagi talablarni o'qitish tizimi oldiga asosiy maqsad qilib
qo'yadi.
Bugun
ana
shunday
mushtarak maqsadlarimizni amalga
oshirish, mustahkam qaror toptirish va rivojlantirish uchun istiqlol sharofati
tufayli qulay muhit yaratdi.
Ushbu bitiruv malakaviy ishi kirish,ikki bob va to’rtta paragrafdan
iborat bo’lib,birinchi va ikkinchi paragraflarida chiziq hamda ikkinchi tartibli egri
chiziqlarni kanonik tenglamalari o’rganilgan.
Ikkinchi bobni birinchi paragrafida ikkinchi tartibli egri chiziqni
invariantlari haqida ma’lumotlar keltirilib,bu invariantlar uchun formulalar
keltirib chiqarilgan.Ikkinchi paragrafida esa ikkinchi tartibli egri chiziq
tenglamalari invariantlar yordamida soddalashtirilib tenglama koeffitsientlari
invariantlar orqali ifodalangan.
Har bir paragraf oxirlarida mavzularga doir misollar keltirilib ularni
yechish usullari ko’rsatilgan.
Kurs ishining dolzarbligi. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2012-yil
28-maydagi ―Malakali kadrlar tayyorlash hamda o‘rta mahsus kasb
hunar ta‘limi muaasalarini shunday kadrlar bilan ta‘minlash yanada
takomillashtirishga oid chora tadbirlar to‘g‘risida‖gi qarori ta‘lim
mazmunini uning samaradorligini yanada yaxshilashga qaratilgan.
Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan o‘rta maxsus kasb-hunar
kollejlari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan
yaxshilash, ta‘lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar

---

7
asosida qayta tashkil etish va tayyorlanayotgan o‘rta bo‘gin mutaxasislari
malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga erishish asosiy vazifalaridan biri
bo‘lib hisoblanadi. Ushbu vazifalarning samarali bajarilishining asosiy
omili o‘quv vositalaridir. Ta‘lim vositalari svilizatsiyaning ajralmas qismi
umuminsoniy madaniyatning muhum elementi hamda dunyoni ilmiy
o‘rganish tilidir. Shiddatli axboratlashuv jarayoni amalga oshib
borayotgan hozirgi davrda har bir soha kishisi zamon bilan hamnafas
ravishda innovatsion tehnalogiyalarga, innovatsion vositalarga murojaat
qilishiga to‘g‘ri kelmoqda shu jumladan matematika fani ham bunday
oqimdan chetda qolayotgani yo‘q. O’zbekiston Respublikasi taraqqiyotida
halqning boy ma‘naviy salohiyati va umuminsoniy qadriyatlarga hamda
hozirgi zamon madaniyati, iqtisodiyoti, ilmi, texnikasi va texnologiyasining
so’nggi yutuqlariga asoslangan mukammal ta‘lim tizimini barpo etish
dolzarb ahamiyatga ega. Ma‘lumki, kadrlar tayyorlash milliy dasturida
ilg’or pedagogic texnologiyalarni joriy qilish va o’zlashtirish zarurligi ko’p
marta takrorlanib yangi pedagogik va axborot texnologiyalardan
foydalanib, talabalarni o‗qitishni jadallashtirish ko‗zda
tutilgan.Pedagogik texnologiyaga UNESCO ning bergan ta‘rifini keltiramiz:
Pedagogik texnologiya – bu butun o’qitish va bilimlarni o’zlashtirish
jarayonida o’z oldiga ta‘lim shakllarini samaradorlashtirish vazifasini
qo’yuvchi texnik hamda shaxs resurslari va ularning o’zaro aloqasini
hisobga olib, bilimlarni yaratish, qo’llash va belgilashning tizimli usulidir‖.
Bu ta‘rifdagi 4 asosiy tushuncha tizimli usul‖ bo’lib, aynan tizimli
yondashuv pedagogik texnologiyaning, o‗qitishga boshqa
yondashuvlardan farqlanuvchi asosiy belgisi hisoblanadi. Ta‘lim
maqsadlari, uning mazmuni, o’qitish va ta‘lim berish usullari, nazorat va
natijalarni baholashni o’zaro bog’liklikda loyihalash ko’pincha an‘anaviy
o‗quv jarayonida yetishmaydigan narsadir.Jaxon pedagogika fani ilmiy –
texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib, psixologiya, kibernetika,

---

8
tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar yutuqlarini
birlashtirib, hozirgi davrda faol yangilanish innovatsiya jarayonlari
bosqichida turar ekan, inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish
amaliyotiga boy mahsul bermoqda. Pedagogik texnologiya usullari
dastlab o’qitishning harakatini namunaviy vaziyatdagi belgilangan qoida
bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan mahsuldor darajasi uchun ishlab
chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning zaruriy tarkibiy qismi
hisoblanib, u insoniyat jamg‗argan tajribani aniq o‗quv fani doirasida
o‗zlashtirish bilan bog’liq. Ta‘lim oluvchilarda bilim va ko‗nikmalarning
ma‘lum poydevori‖ hosil qilingandan keyingina ta‘limning natijali va ijodiy
yondashish usullariga ko‗chish mumkin.Pedagogik texnalogiya oqimi 70-
80 yillarda AQSh da yuzaga keldi va UNESCO kabi nufuzli tashkilot
tomonidan tan olindi va qo‗llab – quvvatlandi va hozirgi kunda ko‗pgina
mamlakatlarda muvaffaqiyatli o‗zlashtirilmoqda. Malumki, tubdan farq
qiluvchi uchta talim turlarini ajratish mumkin. Bular: ogzaki- ko‗rgazmali,
texnologik va izlanuvchan-ijodiy ta‘lim turlari hisoblanadi. 1. Ogzaki –
korgazmali an‘anaviy bo’lib, o’qituvchining axborot berishi, talabalarning
bilimlarni qabul qilishi, to‗plashi va xotirasida saqlashi bilan belgilanadi.
Ta‘limda ogzaki-ko’rgazmali yondashuv juda katta tajribaga ega bo‗lib,
qismlarga ajratib ishlab chiqilgan va ta‘lim tizimida ulkan xizmat
ko‗rsatdi.Jadal suratlar bilan o’sib borayot-gan fan va texnika talablari,
ta‘lim tizimidagi istlohatlar, raqobotbardosh kadrlar tayyorlash, shaxsni
rivojlantirish, uning ma‘lumot olish istaklarini to’laroq qondirishga bo‗lgan
jamiyat ehtiyojlari o‗qitish usullariga yangicha yondashishni talab
qilmoqda. Ta‘limga texnologik yondashuvning umumiy tavsifnomasi
qismlarga ajratilmagan holda, ta‘limning juda oddiy mahsuldor darajasi
sifati misolida qaraladi. O’quv ishlari yuqori natijalarga erishishga
qaratilgan bo’lib, yo’naltirilganlik, mashg’ul bo’lish, musobaqalashish va
o’zaro yordamlashish tushunchalari mavjud bo’ladi. 3. Izlanuvchan

---

9
yondashuvdagi maqsad, talabalarda muammoni hal etish, yangi,
oxirigacha tugallanmagan tajribani o’zlashtirish, ta‘sir etishning yangi
yo’llarini yaratish qobiliyatlarini, shaxsiy idrokni rivojlantirishdan iboratdir.
Izlanuvchan ta‘lim andozasining ta‘lim mazmuni, tabiat va jamiyat bilan
o‗zaro ta‘siri natijasida shaxsda tadqiqotchilik va jadal ijodiy xarakterli
faoliyat yo‗li boshlanadi. O‗quv jarayonining texnologik shakl modeli va
uning amaliy tadbiqi yangilik xususiyatiga ega bo‗lib, an‘anaviy ta‘limni
qayta shakllantiradi. Bu tushuncha orqali sanoatda tayyor mahsulotni
olish uchun bajariladigan ishlarning ketma – ketligi haqidagi hujjat,
ta‘limda esa fan bo’yicha uslubiy tadbirlar majmuasi tushuniladi.
Pedagogik texnologiyada asosiy yo’l aniq belgilan-gan
maqsadlargaqaratilganlik, ta‘lim oluvchi bilan muntazam o‗zaro aloqani
o’rnatish, pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi hisoblangan ta‘lim
oluvchining xatti – harakati orqali o’qitishdir. O’zaro aloqa pedagogik
texnologiya asosini tashkil qilib, o’quv jarayonini to’liq qamrab olish kerak.
Pedagogik texnologiyada nazarda tutiladigan maqsadlarni qo’yish
usuli,o’qitish maqsadlari o’quvchilar harakatida ifodalanadigan va aniq
ko‗rinadigan hamda o‗lchanadigan natijalar orqali belgilanadi. Maqsadlar
o‗qituvchining faoliyatidan kelib chiqqan holda o‗rgatish, tushuntirish,
ko‗rsatish, aytib berish va hokazo atamalar orqali qo‗yila-di.
O‗quvchining harakatlarida ifodalanadigan vazifalar esa ta‘limining
natijalarda ifodalanadi. Natija, talabaning tugallangan xatti –harakatini
ifodalovchi keltirib chiqaring, sanab o‗ting, so‗zlab bering tanlang,
ko‗rsatib bering, hisoblang kabi atamalar bilan ifodalanishi
kerak.Shunday qilib, an‘anaviy o‗quv jarayonlarida asosiy 6 omil – bu
pedagog va uning faoliyati hisoblansa, pedagogik texnologiyada birinchi
o‗ringa o‗qish jarayonidagi o‗quvchilarning faoliyati qo‗yiladi. Har bir
vazifa raqamlanib, u bitta natijani ko‗zlashi lozim. Har bir vazifani
shunday qo‗yish kerakki, u o‗qituvchining o‗tadigan darsining

---

10
bosqichlarini emas, balki, talabaning o‗zini keyin qanday tutishi
kerakligiga ishora qilsin. Ma‘lumki, ilg‗or texnologiyalarni qo‗llashda
asosiy e‘tibor loyihalash bosqichiga qaratiladi, bunday tizimli yondoshuv
asosida o‗quv jarayonini loyihalash, kutilayotgan natija shaklidagi o‗quv
maqsadlarini mumkin qadar aniqlashtirish, rejalashtirilgan o‗quv
maqsadlariga kafolatli erishishga undaydi. Biz ushbu mavzuda
matematika sohasi uchun innovatsion vositalar bilan tanishib chiqamiz.
Kurs ishining maqsadi: Innovatsion pedagogika asoslarini va innovatsion
ta‘lim jarayonini , maktabda matematikani o‘qitishning innovatsion
vositalarini o‘rganishdan iborat. Kurs ishining obyekti: O‘zbekistondagi
barcha ta‘lim muassasalarida matematikani o‘qitish jarayoni. Kurs
ishining predmeti: Innovatsion ta‘lim muhiti mazmuni, metodlari va
innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar. Kurs ishining vazifalari:
Mavzuga doir manba topish, axborotlarni tartiblash, rejani shakllantirish;
Innovatsion pedagogik faoliyatni o‘rganish; Innovatsion ta‘lim jarayoni,
shakl, metod, vositalarini o‘rganish; Innovatsion ta‘lim muhitini o‘rganish;

---

11
1. Vektor fazolar va ularning xossalari
Bizga to’plam berilgan bo’lsin. Ixtiyori e’lementlarga ularning yig’indisi deb,
ataluvchi elementni mos qo’yib uning ko’rinishda belgilab olamiz.
Shuningdek, ixtiyoriy sonini elementga ko’paytmasi sifatida elamentni mos
qo’yamiz va uni ko’rinishda belgilaymiz
1-ta’rif. Agar to’plamda aniqlangan qo’shish va songa ko’paytirish amallari
qo’yidagi shartlarni qanoatlantirsa , to’plam vector fazo deyiladi.
1 (kommumtativ sharti)
2. ( Asosiativlik sharti)
3. Shunday element mavjud bo’lib, har qanday uchun, bu yerdagi 0 element
nol element deyiladi.
4. Har qanday uchun bilan belgilanadigan shunday element mavjud bo’lib.
To’plamlar birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi, simmetrik ayirmasi; Dekart
ko’paytma, refleksiv, simmetrik, tranzitiv munosabatlar; funksiyalar
kompozitsiyasi; ekvivalentlik, tartib munosabatlari. Binar algebraik amallarning

---

12
xossalari, neytral, simmetrik elementlar, kongruensiya; algebra, algebralar
gomomorfizmi, algebraosti, faktor-algebra; gruppa, gruppalar gomomorfizmi;
halqa, halqalar gomomorfizmi; butunlik sohasi, jism, maydon, maydonlar
gomomorfizmi. Matematik induksiya prinsipi; butun sonlar halqasi; ratsional
sonlar maydoni; haqiqiy sonlar maydoni; kompleks sonlar maydoni; kompleks
son moduli, ko’shmasi; kompleks sonni trigonometrik shaklga keltirish; Muavr
formulalari; kompleks sondan ildiz chiqarish; algebraik sistemalar
gomomorfizmi. Vektorlar chekli sistemalarini chiziqli bog’liq, chiziqli erkliligi;
vektorlarning chekli sistemalarining ekvivalentligi; vektorlar chekli
sistemasining bazisi va rangi; Chiziqli tenglamalar sistemasining chiziqli
kombinatsiyasi, natijasi, teng kuchli sistemalar; Kroneker-Kapelli teoremasi
yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini tahlil qilish; bir jinsli chiziqli
tenglamalar sistemasi yechimlarining fundamental sistemasi; noma’lumlarni
ketma-ket yo’qotish. Matritsalarni qo’shish, skalyarni matritsaga ko’paytirish,
matritsalarni ko’paytirish, transponirlash; teskari matritsani topish; n ta
noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini matritsali tenglamaga keltirish
va yechish. O’rniga qo’yishlar gruppasi; juft-toqligi, ishorasi; determinantni
hisoblash; minorlar va algebraik to’ldiruvchilar yordamida teskari matritsani,
matritsa rangini topish; Kramer formulalari yordamida chiziqli tenglamalar
sistemasini yechish. Vektorlar to’plamining chiziqli qobig’i; fazoostilar va
ularning kesishmasi, yig’indisi, to’g’ri yig’indisi; vektor fazo bazisi va o’lchovi;
vektor fazolar izomorfizmi; skalyar ko’paytmali vektor fazolar; vektorlarning
ortogonal sistemasi; fazoostining ortogonal to’ldiruvchisi; vektor normasi,
Yevklid fazosining ortonormal bazisi; Yevklid fazolar izomorfizmi. Chiziqli
akslantirish va chiziqli operatorlar; chiziqli akslantirishlar ustida amallar;
chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi); chiziqli operator matritsasi; x va ф(x)
vektorlar ustun koordinatalari orasidagi bog’lanish; vektorning turli bazislarga
nisbatan ustun koordinatalari orasidagi bog’lanish; teskarilanuvchi chiziqli
operatorlar; chiziqli operatorlar va matritsalar chiziqli algebralari orasida

---

13
izomorfizm; chiziqli operatorning xos vektorlari va xos qiymatlari. Chiziqli
tengsizliklar sistemasini yechish usullari; teng kuchli tengsizliklar sistemasi;
qavariq konus; chiziqli tengsizliklar sistemasining natijasi. Butun sonning tub
ko’paytuvchilarga yoyilmasi; qoldiqli bo’lish; natural son natural
bo’luvchilarining soni va yig’indisi; Yevklid algoritmi; eng katta umumiy
bo’luvchi va eng kichik umumiy bo’linuvchini 2 usul bilan topish; chekli zanjir
kasrlar, munosib kasrlar. Chegirmalarning to’la va keltirilgan sistemalari;
berilgan sonning Eyler funksiyasi; birinchi darajali taqqoslamalarni yechish
usullari; tub modul bo’yicha yuqori darajali 2 taqqoslamalar va ularni
soddalashtirish; berilgan sonning ko’rsatkichini topish; tub modul bo’yicha
boshlang’ich ildizlar; tub modul bo’yicha indekslar, ularning tatbiqlari; ikki hadli
taqqoslamalarni yechish. Ko’phad darajasini aniqlash; ko’phadlar ustida
amallar; ko’phadni x-c ikkihadga bo’lish; ko’phadni qoldiqli bo’lish; Gorner
sxemasi; ko’phadni keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyish; karrali
ildizlarni aniqlash; ko’phadlar eng katta umumiy bo’luvchi va eng kichik
umumiy bo’linuvchisini topish; Yevklid algoritmi; ko’phadni x-c ikkihad
darajalari bo’yicha yoyish. Viyet formulasi yordamida tenglamalarni yechish;
haqiqiy sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan ko’phadlar; uchinchi darajali
tenglamalarni yechish; haqiqiy koeffitsientli ko’phad mavhum ildizining
qo’shmaligi; Shturm ko’phadlar sistemasi. Ko’phadning butun va ratsional
ildizlarini topish; Eyzenshteynning keltirilmaslik kriteriyasi; maydonning oddiy
kengaytmasini qurish; algebraik elementning minimal ko’phadini aniqlash;
maydonning oddiy algebraik kengaytmasini qurish; maydonning chekli va
murakkab kengaytmalari; uchinchi darajali tenglamalarning kvadrat
radikallarda yechilishi. Halqaning karali kengaytmasini qurish. Ko’phadlar
halqalarining izomorfizmi. Ko’phadning normal ifodasi. Ko’phad darajasi va
uning xossalari. Ko’p o’zgaruvchili ko’phadlarni keltirilmaydigan ko’phadlar
ko’paytmasiga yoyish. Berilgan ko’p o’zgaruvchili ko’phadni simmetrik
ko’phadga aylantirish. Simmetrik ko’phadni elementar simmetrik ko’phadlar

---

14
yordamida ifodalash. Ikki ko’phad rezultanti. Ko’phad rezultanti. Yuqori darajali
tenglamalar sistemasini rezultant yordamida yechish. Mulohazalar ustida
mantiq amallari. Formula turini aniqlash. Formulaning rostlik qiymati.
Formulalarning teng kuchliligini isbotlash. Ikki qiymatli funksiyalarni
mulohazalar algebrasining formulalari orqali ifodalash. Normal forma,
mukammal diz’yunktiv normal forma (MDNF) va mukammal kon’yunktiv
normal forma (MKNF)ni hosil qilish. Ikkilik prinsipi va ikkilik qonuni yordamida
qo’shma formulalarni hosil qilish. Funksiyalarning to’liq sistemasi. Aksiomalar
va keltirib chiqarish qoidalari yordamida formulalarning keltirib
chiqariluvchiligini isbotlash. Gipotezalardan keltirib chiqarish. Deduksiya
teoremasini qo’llash. Formulalarda teng kuchli almashtirishlar bajarish. Teng
kuchli formulalarni isbotlash. Formulani normal formaga keltirish. Predikatning
rostlik sohasi. Matematik tasdiqlarni predikatlar algebrasining tilida ifodalash.
Predikatli formulalarning teng kuchliligini isbotlash. Keltirilgan formani hosil
qilish. Predikatlar algebrasining formulasini umumqiymatli, bajariluvchiligini
aniqlash. Aksiomalardan keltirib chiqarish qoidalari. Predikatlar hisobi uchun
hosilaviy keltirib chiqarish qoidalari. Ba’zi tavtologiyalarning isboti. Algoritmga
misollar. Algoritmning xossalarini tekshirish. Qismiy rekursiv funksiyalar.
Qismiy rekursiv funksiyalarni Tyuring mashinalarida hisoblash. Umumrekursiv
funksiyalar. Algebra, algebraik sistema kengaytmasini qurish. Berilgan algebra,
algebraik sistemalar orasida gomomorfizm va izomorfizm o’rnatish. Natural
sonlar aksiomatik nazariyasi aksiomalari yordamida natural sonlarni qo’shish
va ko’paytirishning xossalarini isbotlash. Butun sonlar, ratsional sonlar, haqiqiy,
kompleks sonlar xossalarini isbotlash. Chekli rangli chiziqli algebralarga doir
misollar tuzish. Kvaternionlar to’plamining chiziqli algebra tashkil etishini
isbotlash. Vektorlar va ular ustidagi amallar, vektorlarning chiziqli boqliqligi.
Tekislikdagi koordinata metodi. Tekislikdagi to’g’ri chiziq. To’g’ri chiziqning
turli berilish usullari. Tekislikning almashtirishlari. Tekislikdagi xarakatlar.
O’xshash almashtirishlar. Gomotetiya. Tekislikdagi affin almashtirishlar.

---

15
Ikkinchi tartibli chiziqlar. Ellips, giperbola, parabolani kanonik tenglamasi
yordamida taqlil qilish.
2 Fazodagi koordinatalar metodi.
Fazoda tekislik va to’g’ri chiziqlaming berilish usullari. Ikkinchi tartibli sirtlarni
kanonik tenglamaari bo’yicha o’rganish. Ikkinchi tartibli silindrik va konus
sirtlar, aylanma sirtlarda kesimlar yasash. Ellipsoid, giperboloidlar,
paraboloidlar. Ikkinchi tartibli sirtlarning to’g’ri chiziqli yasovchilari. Sirkul va
chizg’ich yordamida yasash postulatlari. Yasashga doir masalalarni
yechishdagi bosqichlar. Tekislikdagi geometrik yasashlarni turli metodlari. n-

---

16
o’lchovli vektor fazo. n-o’lchovli affin fazo. n-o’lchovli affin fazolarning
izomorfligi. k-o’lchovli tekisliklar va ularning o’zaro vaziyati. Affin
almashtirishlar. Affin almashtirishlar gruppasi va uning qism gruppalari. n-
o’lchovli Yevklid fazosi. En fazoda o’xshash almashtirishlar va uning gruppasi.
En fazoda o’xshash almashtirishlar va uning gruppasi. En fazoda harakatlar.
Chiziqli va kvadratik formalar. Kvadratik formani kanonik ko’rinishga keltirish.
Normal ko’rinishdagi kvadratik forma. Musbat aniqlangan kvadratik forma.
Affin fazosidagi kvadrikalar. Kvadrika tenglamasini kanonik ko’rinishga
keltirish. Kvadrikaning markazi va tasnifi. Uch o’lchovli Yevklid fazosidagi
kvadrikalar tasnifini. Sirkul va chizg'ich yordamida yasashga doir eng sodda
masalalar. Yasashga doir masalalarni echish bosqichlari. Tekislikdagi
geometrik yasashlarning turli metodlari. Yasashga doir masalalrni yechishdagi
algebraik metod. Yasashga doir masalalarni sirkul va chizg'ich yordamida
yechish kriteriysi. Sirkul va chizg'ich yordamida yechilmaydigan klassik
masalalar. Markaziy, parallel proeksiyalash va ularning xossalari. Parallel
proeksiyalash usuli bilan yassi figuralarning tasvirini yasash. Aksonometriya.
Polke-Shvarts teoremasi. Fazoviy figuralarning tasvirini yasash. Pozitsion va
metrik masalalar. Tola va tola bo'lmagan tasvirlar va ularni stereometriyani
o'rganishga tatbiqlari. Qavariq ko'pyoqlarning kesimlarini yasashga doir
masalalar. Proektiv fazo. Proektiv geometriyaning asosiy faktlari. Proektiv
tekislik. Proektiv fazo aksiomalari. Proektiv fazo modellari. Proektiv
koordinatalar. Ikkilik prinsipi. Dezarg teoremasi. Bir to'g'ri chiziqda yotuvchi
to'rtta nuqtaning murakkab nisbati. Proektiv almashtirishlar va ularning
gruppasi. Proektiv geometriya predmeti. Nuqtalarning garmonik to'rtligi. To'liq
to'rt uchlikning garmonik xossalari. Qutb va qutb to'g'ri chizig'i. Proektiv
tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlar va ularning klassifikatsiyasi. Shteyner,
Paskal va Brianshon teoremalari va ularni maktab geometriya kursidagi
masalalarni echishga tadbig'i. Geometriya asoslari. Geometriya asoslarining
tarixiy sharhi. Evklidga qadar bo'lgan geometriya. Evklidning “negizlar” asari.

---

17
Evklidning v pastuloti va uni isbotlashga urinishlar. N. I. Lobachevskiy va uning
geometriyasi. Gilbert aksiomalar sistemasi sharhi. Gilbert aksiomalaridan kelib
chiqadigan ba’zi natijalar. Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomalar sistemasi va
undan kelib chiqadigan natijalar. Parallel to'g'ri chiziqlar va ularning xossalari.
Uchburchak, to'rtburchak. Uzoqlashuvchi to'g'ri chiziqlar va ularning xossalari.
Parallellik burchagi. Lobechevskiy funksiyasi. Aylana, ekvidistanta va orisikl.
Aksiomalar sistemasini izohlash haqida (interpretatsiyalash). Gilbert
aksiomalar sistemasiga beriladigan analitik interpretatsiya. Uch o'lchovli Evklid
fazosining Veyl aksiomalar sistemasi. Aksiomalar sistemasining zidsizligi,
erkinligi va to'liqligi. Kesma uzunligi. Mavjudlik va yagonalik teoremasi.
Tengdosh va teng tuzilgan ko'pburchaklar haqida. Ko'pyoqning hajmi haqida.
Lobachevskiy tekisligining turli modellari. Parallellik aksiomasining Evklid
geometriyasidagi qolgan aksiomalarga bog'liq emasligi. Sferik geometriya va
Rimanning elliptik geometriyalari haqida tushuncha. Riman geometriyasining
aksiomalar sistemasi. Topologik fazo va uni kiritish usullari. Ochiq va yopiq
to'plamlar. Ichki, chegaraviy va urinish nuqtalari. To'plamning yopig’i. Ajrimlilik
aksiomalari. Topologiya bazasi. Bog’lanishli va chiziqli bog’lanishli to'plamlar.
Kompakt to'plamlar. Uzluksiz akslantirishlar va gomeomorfizm. Skalyar
argumentli vektor funksiyalar. Egri chiziqning berilish usullari. Regulyar
chiziqlar. Urinma va normal tekislik. Egri chiziq uzunligi. Egri chiziqning egriligi
va buralishi. Frene formulalari. Ikki skalyar argumentli vektor funksiyalar. Silliq
sirt haqida tushuncha. Sirtning birinchi kvadratik formasi. Sirt ustidagi
chiziqning uzunligi. Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchak. Sirt ustidagi
sohaning yuzasi. Sirt ustidagi chiziqning egriligi. Sirtning ikkinchi 4 kvadratik
formasi. Bosh egriliklar. Sirtning to'la va o'rtacha egriligi. Sirtning ichki
geometriyasi. Cheksiz katta ketma-ketliklar. Oraliq o’zgaruvchining limiti
haqidagi teorema. Ketma-ketliklar yig’indisi, ko’paytmasi va bo’linmasining
limiti. Aniqmasliklar va ularni ochish. Monoton ketma-ketlikning limiti, e soni.
Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi. Qismiy ketma-ketlik. Bolsano-

---

18
Veyershtrass teoremasi. Ketma-ketlik yaqinlashishning Koshi kriteriyasi.
Funksiyaning ta’rifi, funksiyaning berilish usullari. Funksiyaning grafigi.
Funksiyalar ustida arifmetik amallar. Juft, toq va chegaralangan, monoton
funksiyalar. Davriy funksiyalar. Teskari funksiya, funksiyalarning
kompozitsiyasi. Funksiyaning nuqtadagi limitining ta’riflari. Limitga ega
bo’lgan funksiyalarning sodda xossalari. Bir tomonli limitlar. Bir tomonli limitlar
asosida funksiyaning chekli limitga ega bo’lish sharti. Ikki funksiya yig’indisi,
ko’paytmasi va bo’linmasining limiti. Murakkab funksiyaning limiti. Monoton
funksiyaning limiti. Koshi kriteriyasi. Ba’zi bir ajoyib limitlar. Cheksiz kichik
funksiyalar va ularni taqqoslash. Cheksiz katta funksiyalar. Funksiyaning
nuqtadagi va to’plamdagi uzluksizligi. Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning
uzluksizligi. Funksiyalar kompozitsiyasining uzluksizligi. Bir tomonli uzluksizlik
va uzilish nuqtalari, turlari. Monoton funksiyaning uzluksizligi va uzilish
nuqtalari. Kesmada uzluksiz bo’lgan funksiyalarning chegaralanganligi, eng
kichik va eng katta qiymatlari. Uzluksiz funksiyalarning oraliq qiymatlari
haqidagi teoremalar. Monoton funksiyaning uzluksizligi. Teskari funksiyaning
mavjudligi va uzluksizligi. Tekis uzluksizlik tushunchasi. Kesmada uzluksiz
bo’lgan funksiyaning tekis uzluksizligi. Haqiqiy ko’rsatgichli daraja.
Ko’rsatkichli, logarifmik, darajali funksiyalar va ularning xossalari.
Trigonometrik funksiyalar. Teskari trigonometrik funksiyalar va ularning
xossalari. Hosilaning ta’rifi, uning geometrik va mexanik ma’nolari. Egri chiziq
urinmasi va normalining tenglamalari. Differensiallanuvchi funksiyaning
uzluksizligi. Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi. Murakkab
funksiyaning hosilasi. Teskari funksiyaning hosilasi. Asosiy elementar
funksiyalarning hosilalari. Differensiallanuvchanlik va differensial.
Differensiallanuvchanlik va hosilaning mavjudligi orasidagi bog’lanish.
Differensialning geometrik ma’nosi. Differensial formasining invariantligi.
Logarifmik hosila. Daraja ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi. Yuqori tartibli
hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Parametrik ko’rinishda

---

19
berilgan funksiyalarni differensiallash, oshkormas funksiyaning hossalari.
Aniqmas integral, boshlang’ich funksiya, Roll, Lagranj, Koshi teoremalari.
Lopital qoidasi. Teylor formulasi. Ba’zi-bir elementar funksiyalar uchun Teylor
formulalari. Funksiyaning doimiylik sharti. Funksiyaning nuqtada va
to’plamdagi monotonlik sharti. Maksimum va minimumlar. Ekstremumning
zaruriy sharti. Ekstremumning yetarli shartlari. Eng katta va eng kichik
qiymatlarni izlash. Funksiyaning qavariqligi, burilish nuqtasi. Asimptotalar.
Hosilaning funksiya grafigini yasashga tatbiqi. Aniqmas integralda
o’zgaruvchini almashtirish usuli. differensiallarni integrallash. Eyler
almashtirishlari. Trigonometrik funksiyalarni integrallash. Universal usul. Aniq
integral tushunchasiga olib keladigan masalalar: yassi figura yuzasi haqidagi
masala, kuchning bajargan ishi haqidagi masala. Aniq integral ta’rifi. Darbu
yig’indilari va ularning xossalari. Aniq integralning mavjudlik sharti.
Integrallanuvchi funksiyalar sinfi (Uzluksiz funksiya, monoton funksiya, chekli
sondagi uzilishga ega bo’lgan funksiyalar). Aniq integralning tenglik va
tengsizlik bilan ifodalanadigan xossalari. O’rta qiymat haqidagi teoremalar.
Yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi.
O’zgaruvchini almashtirish va bo’laklab integrallash usullari. Xosmas integral
tushunchasi. Integrallash sohasi chegaralanmagan xosmas integral.
Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali. Yuza tushunchasining ta’rifi.
Kvadratlanuvchi soha. Yuzaning additivligi. Yuzani dekart va qutb koordinatalar
sistemasida hisoblash. Aylanma jism hajmlarini hisoblash formulalari.
To’g’rilanuvchi yoy va uning uzunligi. Yoy uzunligini hisoblash formulalari. Yoy
uzunligining differensiali. Aylanma sirt yuzasining ta’rifi va uning aniq integral
yordamida ifodalanishi. Aniq integralning fizikaga tatbiqlari: O’zgaruvchi
kuchning bajargan ishi va uni aniq integral yordamida hisoblash. Yassi yoy va
figuraning og’irlik markazlarining koordinatalarini, inersiya momentini
hisoblash formulalari. Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va uning
yig’indisi. Qatorning qoldig’i. Geometrik qator. Qator yaqinlashishining zaruriy

---

20
sharti.. Sodda irratsional va transsendent funksiyalarni integrallash:
R
(
x,
ax+b
cx+d
m
)
, R
(
x,
ax+b
cx+d
,….
ax+b
cx+d
m
k
m
1
)
ko’rinishdagi funksiyalarni integrallash. Binomial differensiallarni
integrallash. Eyler almashtirishlari. Trigonometrik funksiyalarni integrallash.
Universal usul. Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar: yassi
figura yuzasi haqidagi masala, kuchning bajargan ishi haqidagi masala.
Aniq integral ta’rifi. Darbu yig’indilari va ularning xossalari. Aniq integralning
mavjudlik sharti. Integrallanuvchi funksiyalar sinfi (Uzluksiz funksiya,
monoton funksiya, chekli sondagi uzilishga ega bo’lgan funksiyalar). Aniq
integralning tenglik va tengsizlik bilan ifodalanadigan xossalari. O’rta
qiymat haqidagi teoremalar. Yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq
integral. Nyuton-Leybnits formulasi. O’zgaruvchini almashtirish va bo’laklab
integrallash usullari. Xosmas integral tushunchasi. Integrallash sohasi
chegaralanmagan xosmas integral. Chegaralanmagan funksiyaning
xosmas integrali. Yuza tushunchasining ta’rifi. Kvadratlanuvchi soha.
Yuzaning additivligi. Yuzani dekart va qutb koordinatalar sistemasida
hisoblash. Aylanma jism hajmlarini hisoblash formulalari. To’g’rilanuvchi
yoy va uning uzunligi. Yoy uzunligini hisoblash formulalari. Yoy uzunligining
differensiali. Aylanma sirt yuzasining ta’rifi va uning aniq integral yordamida
ifodalanishi. Aniq integralning fizikaga tatbiqlari: O’zgaruvchi kuchning
bajargan ishi va uni aniq integral yordamida hisoblash. Yassi yoy va
figuraning og’irlik markazlarining koordinatalarini, inersiya momentini
hisoblash formulalari. Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va
uning yig’indisi. Qatorning qoldig’i. Geometrik qator. Qator yaqinlashishining
zaruriy sharti. Garmonik qator. Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari.
Koshi kriteriyasi. Musbat qatorlarning yaqinlashish sharti. Musbat qator
yaqinlashishining zaruriy va yetarli sharti. Taqqoslash teoremalari. Koshi va
Dalamber alomatlari. Koshining integral alomati. Umumlashgan garmonik

---

21
qator. Ishora navbatlashuvchi qatorlar. Leybnits teoremasi. Absolyut va
shartli yaqinlashuvchi qatorlar, ularning xossalari. Funksional ketma-ketlik
tushunchasi. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik, uning limiti. Tekis yaqinlashuvchi
funksional ketma-ketlik. Tekis yaqinlashish alomati. Tekis yaqinlashuvchi
funksional ketma-ketlik xossalari. (Limit funksiyaning uzluksizligi, uni
differensiallash va integrallash). Funksional qatorlar va uning yig’indisi,
tekis yaqinlashuvchi qatorlar, tekis yaqinlashish sharti. Tekis yaqinlashuvchi
qatorning xossalari (qator yig’indisining uzluksizligi, qatorni hadma-had
differensiallash va integrallash). Darajali qator tushunchasi. Abel teoremasi.
Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi, yaqinlashish intervali va sohasi.
Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Tekis yaqinlashuvchi darajali qator
yig’indisining uzluksizligi. Darajali qatorni hadma-had differensiallash va
integrallash. Funksiyalarni darajali qatorga yoyish masalasi.
Teylor qatori. sinx, cosx, e
x
, ln(1+x) va (1+x)a funksiyalarni darajali qatorga
yoyish. Darajali qatorlarning taqribiy hisobga tatbiqi. Funksiyaning Furye
koeffitsentlari va Furye qatori. Funksiyani Furye qatoriga yoyish masalasi.
Dirixle teoremasi (isbotsiz). Davriy, juft va toq funksiyalar uchun Furye
qatori. . [-l,l], va [0;l] oraliqlarda berilgan funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.
R
m
fazo ta’rifi, nuqtaning atrofi. . R
m
fazodagi ochiq va yopiq to’plamlar. R
m
fazodagi nuqtalar ketma-ketligi, Koshi kriteriyasi. Bolsano - Veyershtrass
teoremasi. Ko’p o’zgaruvchining funksiyasi haqida tushuncha. Ikki
o’zgaruvchili funksiyaning grafigi. Sath chiziqlari va sirtlari, m o’zgaruvchili
funksiyaning limiti. Takroriy limitlar. Ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalar:
Uzluksizlik ta’riflari. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning xossalari. Murakkab
funksiyaning uzluksizligi. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning oraliq qiymatlari
haqidagi teoremalar. Veyershtrass teoremalari. Tekis uzluksizlik va Kantor
teoremasi. Xususiy hosilalar. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Ko’p
o’zgaruvchili funksiyaning to’la differensiali. Urinma tekislik. Ikki
o’zgaruvchili funksiya differensialining geometrik ma’nosi. Murakkab

---

22
funksiyani differensiallash. Differensial formasining invariantligi. Yuqori
tartibli differensiallar. Ikki o’zgaruvchili funksiya uchun Teylor formulasi.
Oshkormas funksiyalar. Oshkormas funksiya mavjudligi va
differensiallanuvchanligi. Yo’nalish bo’yicha hosila. Ko’p o’zgaruvchili
funksiyalarning ekstremumlari: Funksiyaning maksimum va minimumlari.
Ekstremumning zaruriy sharti. Ikki o’zgaruvchili funksiya uchun
ekstremumning yetarli sharti. Eng katta va eng kichik qiymatlarini izlash.
Shartli ekstremumlar. Ikki o’lchovli integral tushunchasi. Uzluksiz
funksiyalarning integrallanuvchanligi. Takroriy integrallar. Ikki o’lchovli
integralni hisoblash. Ikki o’lchovli integralda o’zgaruvchini almashtirish.
Kutb koordinatalarda ikki o’lchovli integral. Ikki o’lchovli integralning
tatbiqlari. Kublanuvchi figuralar. Uch o’lchovli integral tushunchasi. Uch
o’lchovli integralni hisoblash. Uch o’lchovli integralda o’zgaruvchilarni
almashtirish. Silindrik va sferik koordinatalarda uch o’lchovli integral. Uch
o’lchovli integralning tatbiqlari. Yoy uzunligi bo’yicha olingan egri chiziqli
integral va uning xossalari. Tekis kuch maydonining bajargan ishi haqidagi
masala. Koordinatalar bo’yicha olingan egri chiziqli integral va uning asosiy
xossalari. Egri chiziqli integralni hisoblash. Grin formulasi. Egri chiziqli
integral yordamida yuzalarini hisoblash. Egri chiziqli integralning
integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaslik sharti. To’la differensiallilik sharti.
Funksiyani uning to’la differensiali bo’yicha tiklash. Differensial tenglamaga
olib keladigan masalalar. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli
differensial tenglamalar: O’zgaruvchilari ajraladigan va unga keltiriladigan
differensial tenglamalar. Bir jinsli va unga keltiriladigan differensial
tenglamalar. Chiziqli tenglamalar, Bernulli tenglamasi. To’la differensialli
tenglama, integrallovchi ko’paytuvchi. Birinchi tartibli differensial tenglama
yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema (isbotsiz). Maxsus
nuqtalar va maxsus yechimlar. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi
tartibli differensial tenglamalar: f ( x, y ') = 0 va f ( y , y ') = 0 kko’rinishdagi

---

23
tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari. Yuqori tartibli differensial
tenglamalar. Asosiy tushunchalar. Tartibi pasayadigan differensial
tenglamalar. n- tartibli chiziqli tenglama. n- tartibli chiziqli bir jinsli
tenglamalarning yechimlarining fundamental sistemasi. Umumiy yechim.
O’ng tomonli chiziqli tenglamalar va ularning umumiy yechimining tuzilishi.
n-tartibli o’zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglama. n-tartibli o’zgarmas
koeffitsientli chiziqli tenglamalarni yechish. Mexanik tebranishlar
tenglamasi. Erkin va majburiy tebranishlar. Rezonans. Differensial
tenglamalar sistemasi haqida ma’lumotlar. Kompleks sonlar to’plami.
Kompleks sonlarning geometrik talqini. Kompleks sonlar ketma-ketligi va
qatorlar. Kompleks sonlar to’plami va Yevklid teksligining izomorfligi.
Riman sferasi, kengaytirilgan kompleks tekislik. Kompleks o’zgaruvchining
funksiyasi haqida tushuncha, uning geometrik talqini. Funksiyaning limiti,
uzluksizligi va tekis uzluksizligi. Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning
hosilasi. Differensiallanuvchi bo’lish sharti. Nuqtada va sohada analitik
funksiya tushunchasi. 7 Analitik funksiyaning xossalari. Hosila moduli va
argumentning geometrik m a’nosi. Konform akslantirish tushunchasi.
Chiziqli va kasr-chiziqli funksiyalar. Darajali funksiya va radikal. Analitik
funksiyalarning bir varaqli sohasi. Riman sirti tushunchasi. Kompleks
o’zgaruvchili ko’rsatkichli, trigonometrik, logarifmik funksiyalar va ularning
xossalari. Trigonometrik va giperbolik funksiyalar orasidagi bog’liqlik.
Ixtiyoriy kompleks ko’rsatkichli daraja. Kompleks o’zgaruvchining
funksiyasini integrali: Integral ta’rifi va uning xossalari. Koshi teoremasi.
Ko’p bog’lamli soha uchun Koshi teoremasi. Boshlang’ich funksiya va
integral. Koshining integral formulasi. Kompleks hadli darajali qatorlar. Abel
teoremasi. Yaqinlashish doirasi va radiusi. Darajali qator yig’indisining
yaqinlashish doirasida analitik funksiya ekanligi. Analitik funksiyani Teylor
qatoriga yoyish. Koshi tengsizligi va Liuvill teoremasi. Algebraning asosiy
teoremasi. Analitik funksiyalarning nollari. Yagonalik teoremasi. Loran

---

24
qatori haqida tushuncha. Loran teoremasi. Maxsus nuqta. Maxsus nuqtalar
klassifikatsiyasi. Chegirma tushunchasi. Chegirmalarni hisoblash.
Chegirmalar haqidagi asosiy teorema. Integrallarni hisoblashda
chegirmalarni qo’llash. Ekvivalent to’plamlar. To’plam quvvati tushunchasi.
Quvvatlarni taqqoslash. Sanoqli to’plamlar va ularning xossalari. Ratsional
va algebraik sonlar to’plamlarining sanoqliligi. Haqiqiy sonlar to’plamining
sanoqsizligi. Kontinuum quvvatli to’plamlar. To’g’ri chiziqdagi nuqtalar
to’plami. Limit nuqtalar. Ochiq va yopiq to’plamlar. Mukammal to’plam.
Sonlar o’qidagi ochiq va yopiq to’plamlarning tuzilishi. Kantor to’plami va
uning xossalari. Monoton funksiyaning uzulish nuqtalari. O’zgarishi
chegaralangan funksiyalar va ularning xossalari. Uzluksiz chiziq
tushunchasi. Jordan, Peano chiziqlari. Kantor va Urison chiziqlari.
To’g’rilanuvchi chiziqlar. To’plamning Jordan o’lchovi, uning xossalari.
Chiziqli to’plamlar uchun Lebeg o’lchovi. O’lchovli to’plamlar haqidagi
teoremalar. Lebeg ma’nosida o’lchovli funksiyalar va ularning xossalari.
Riman integrali. Lebeg teoremasi. Stiltes integrali. Lebeg integrali va uning
xossalari. Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash. Metrik fazolar. To’la
metrik fazolar. To’ldiruvchi fazo haqidagi teorema. Yopiq sharlar haqidagi
teorema. Qisqartib akslantirish prinsipi. Qisqartib akslantirish prinsipining
algebra va analizdagi tatbiqlari.
Separabellik tushunchasi. R
n
, C[a,b], l
i
, I
2
fazolarning separabelligi. Separabel
bo’lmagan fazoga misol. Kompaktlik kriteriysi. R
n
, C[a,b], l
i
, I
2
fazolarda
to’plamlarning kompaktligi. Chiziqli fazolar. Normalangan fazo. Banax
fazosi, Gilbert fazosi. Chiziqli funksionallar. Chiziqli funksionallarning
uzluksizligi, xossalari. Chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorlarning
uzluksizligi, xossalari. Chiziqli funksionalning differensiali, variatsiyasi.
Differensiallanuvchi funksionalning ekstremumi. Eyler tenglamasi.
Braxistoxron masalasining yechimi. Eng kichik aylanma sirt haqidagi
masala.

---

25
3. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha
Yevklid fazosi matematika va fizikaning turli sohalarida qoʻllaniladi. Yevklid
fazosi — Yevklid geometriyasida oʻrganiladigan tekislik va uch oʻlchovli
fazoning umumlashgani. Agar vektor fazoda ixtiyoriy x, u vek- torga quyida
keltirilgan aksiomalarni qanoatlantiruvchi va (x, u) deb belgilanuvchi son
mos qoʻyilgan boʻlsa, bu vektor fazo Yevklid fazosi, (x, u) soni esa skalyar
koʻpaytma deyiladi. Aksiomalar:
(x,x)>0; x=0 boʻlgan xildagina (x, x)=0;
(x,u)=(x, u);
(Xx,u)=X(x, u);
(x+u,2)=(x, 2)+(u, 2).
Skalyarning haqiqiy yoki kompleksliligiga karab mos ravishda haqiqiy
Yevklid fazosi kompleks Yevklid fazosi deb yuritiladi. Agar Yevklid fazosi
hosil qilgan vektor fazo (i) oʻlchovli boʻlsa, Yevklid fazosi ham (p) oʻlchovli
deyiladi. Baʼzan, faqat chekli oʻlchovli fazolargina Yevklid fazosi deb ataladi.
Yevklid fazosida formula bilann vektor uzunligi, ikki vektor orasidagi

---

26
burchak aniqlanad Bizga to‘plam berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy elementlarga
ularning yig‘indisi deb ataluvchi elementni mos qo‘yib, uni ko‘rinishda
belgilab olamiz. Shuningdek, ixtiyoriy sonini elementga
ko‘paytmasi sifatida elementni mos qo‘yamiz va uni ko‘rinishda
belgilaymiz.
Evklid fazosining ta'rifi va misollari. Evklid bo'shliqlari. Evklid fazosidagi chiziqli
algebra izlash —uy Psixologiya
Evklid fazosining ta'rifi va misollari. Evklid bo'shliqlari. Evklid fazosidagi
chiziqli algebra izlash. Bunday vektor maydoniga mos keladi. Ushbu
maqolada boshlang'ich nuqta sifatida birinchi ta'rif olinadi.n-o'lchovli Evklid
fazosi belgilanadi \\ mathbb E ^ n, yozuv ham tez-tez ishlatiladi \\ mathbb R
^ n (agar kontekstdan kosmik evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa).
Evklid makonini aniqlash uchun skalar mahsuloti tushunchasini asosiy
tushuncha sifatida qabul qilish eng osondir. Evklid vektorlari maydoni
haqiqiy sonlar maydoni bo'ylab cheklangan o'lchovli vektor maydoni sifatida
aniqlanadi, uning vektorlarida haqiqiy qiymat berilgan funktsiya berilgan (\\
cdot, \\ cdot), quyidagi uchta xususiyatga ega:Bilinearlik: har qanday
vektorlar uchun u, v, w va har qanday haqiqiy sonlar uchun a, b \\ quad (au +
bv, w) \u003d a (u, w) + b (v, w) va (u, av + bw) \u003d a (u, v) + b (u, w);
Simmetriya: har qanday vektorlar uchun u, v \\ to'rtlik (u, v) \u003d
(v,u);Ijobiy aniqlik: har qanday kishi uchun u \\ quad (u, u) \\ geqslant 0,
bundan tashqari (u, u) \u003d 0 \\ o'ng tirnoq u \u003d 0.
Evklid fazosiga misol - koordinatalar fazosi \\ mathbb R ^ n, haqiqiy
sonlarning mumkin bo'lgan barcha kataklaridan iborat (x_1, x_2, \\ ldots,
x_n), formulada aniqlangan nuqta mahsuloti (x, y) \u003d \\ sum_ (i \u003d
1) ^ n x_iy_i \u003d x_1y_1 + x_2y_2 + \\ cdots + x_ny_n.Uzunliklar va
burchaklar Evklid fazosida berilgan skalar mahsulot uzunlik va burchak
geometrik tushunchalarini kiritish uchun etarli. Vektor uzunligi siz sifatida
belgilangan \\ sqrt ((u, u)) va belgilangan | u |. Skalyar mahsulotning ijobiy

---

27
aniqligi nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi nolga teng bo'lishini
kafolatlaydi, va aniqlik shuni anglatadiki | au | \u003d | a || u |, ya'ni
mutanosib vektorlarning uzunligi mutanosibdir.Vektorlar orasidagi burchak
siz va v formula bo'yicha aniqlanadi \\ varphi \u003d \\ arccos \\ chap (\\
frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng). Kosinus teoremasi shuni anglatadiki, ikki
o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid samolyoti) burchakning bu ta'rifi
odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli kosmosdagi kabi,
orasidagi burchakka teng bo'lgan vektorlar sifatida aniqlanishi mumkin \\
frac (\\ pi) Psixologiya Evklid fazosining ta'rifi va misollari. Evklid
bo'shliqlari. Evklid fazosidagi chiziqli algebra izlash.Bunday vektor
maydoniga mos keladi. Ushbu maqolada boshlang'ich nuqta sifatida
birinchi ta'rif olinadi.n-o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi \\ mathbb E ^ n,
yozuv ham tez-tez ishlatiladi \\ mathbb R ^ n (agar kontekstdan kosmik
evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa).Rasmiy ta'rif
Evklid makonini aniqlash uchun skalar mahsuloti tushunchasini asosiy
tushuncha sifatida qabul qilish eng osondir. Evklid vektorlari maydoni
haqiqiy sonlar maydoni bo'ylab cheklangan o'lchovli vektor maydoni sifatida
aniqlanadi, uning vektorlarida haqiqiy qiymat berilgan funktsiya berilgan (\\
cdot, \\ cdot), quyidagi uchta xususiyatga ega:
Bilinearlik: har qanday vektorlar uchun u, v, w va har qanday haqiqiy sonlar
uchun a, b \\ quad (au + bv, w) \u003d a (u, w) + b (v, w) va (u, av + bw) \u003d
a (u, v) + b (u, w);Simmetriya: har qanday vektorlar uchun u, v \\ to'rtlik (u, v)
\u003d (v, u);Ijobiy aniqlik: har qanday kishi uchun u \\ quad (u, u) \\ geqslant 0,
bundan tashqari (u, u) \u003d 0 \\ o'ng tirnoq u \u003d 0.Evklid fazosiga misol
- koordinatalar fazosi \\ mathbb R ^ n, haqiqiy sonlarning mumkin bo'lgan
barcha kataklaridan iborat (x_1, x_2, \\ ldots, x_n), formulada aniqlangan nuqta
mahsuloti (x, y) \u003d \\ sum_ (i \u003d 1) ^ n x_iy_i \u003d x_1y_1 + x_2y_2
+ \\ cdots + x_ny_n.Uzunliklar va burchaklarEvklid fazosida berilgan skalar
mahsulot uzunlik va burchak geometrik tushunchalarini kiritish uchun etarli.

---

28
Vektor uzunligi siz sifatida belgilangan \\ sqrt ((u, u)) va belgilangan | u |.
Skalyar mahsulotning ijobiy aniqligi nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi
nolga teng bo'lishini kafolatlaydi, va aniqlik shuni anglatadiki | au | \u003d | a ||
u |, ya'ni mutanosib vektorlarning uzunligi mutanosibdir.Vektorlar orasidagi
burchak siz va v formula bo'yicha aniqlanadi \\ varphi \u003d \\ arccos \\ chap
(\\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng). Kosinus teoremasi shuni anglatadiki, ikki
o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid samolyoti) burchakning bu ta'rifi
odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli kosmosdagi kabi,
orasidagi burchakka teng bo'lgan vektorlar sifatida aniqlanishi mumkin \\ frac
(\\ pi). Koshi - Bunyakovskiy - Shvarts tengsizligi va uchburchak tengsizligi
Yuqorida keltirilgan burchakning ta'rifida bitta bo'sh joy qoldi: uchun \\
arccos \\ chap (\\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng) aniqlandi, bu tengsizlik zarur
\\ chap | \\ frac ((x, y)) (| x || y |) \\ o'ng | \\ leqslant 1. Ushbu tengsizlik
aslida o'zboshimchalik bilan Evklid fazosida bo'ladi, u Koshi - Bunyakovskiy
- Shvarts tengsizligi deb ataladi. Bu tengsizlik, o'z navbatida, uchburchak
tengsizligini anglatadi: | u + v | \\ leqslant | u | + | v |. Uchburchak tengsizligi,
yuqorida sanab o'tilgan uzunlik xususiyatlari bilan birga, vektorning uzunligi
Evklid vektor fazosidagi me'yor va funktsiyani anglatadi. d (x, y) \u003d | x-y
| Evklid fazosidagi metrik bo'shliqning tuzilishini belgilaydi (bu funktsiya
Evklid metrikasi deb ataladi). Xususan, elementlar (nuqtalar) orasidagi
masofa x va y koordinata maydoni \\ mathbb R ^ n formula bilan berilgan d
(\\ mathbf (x), \\ mathbf (y)) \u003d \\ | \\ mathbf (x) - \\ mathbf (y) \\ |
\u003d \\ sqrt (\\ sum_ (i \u003d 1) ^ n (x_i - y_i) ^ 2).
Algebraik xususiyatlar. Ortonormal asoslarBo'sh joylar va operatorlar
Har qanday vektor x Evklid fazosi chiziqli funktsionallikni belgilaydi x ^ *
sifatida belgilangan bu bo'shliqda x ^ * (y) \u003d (x, y). Ushbu taqqoslash
Evklid fazosi va uning er-xotin fazosi orasidagi izomorfizmdir va ularni
hisob-kitoblarni buzmasdan aniqlashga imkon beradi. Xususan, qo'shma
operatorlarni uning er-xotinida emas, balki asl maydonda harakat qilayotgan

---

29
sifatida ko'rish mumkin va o'z-o'ziga qo'shilgan operatorlarni ularning
konjugatiga to'g'ri keladigan operatorlar sifatida aniqlash mumkin.
Ortonormal asosda qo'shilgan operator matritsasi asl operator matritsasiga,
o'z-o'ziga qo'shilgan operator matritsasi esa nosimmetrik bo'ladi.
4.Evklid fazosining ta'rifi
Ta'rif 1. Haqiqiy chiziqli bo'shliq deyiladi evklid, agar a har qanday ikkita
vektorni bog'laydigan operatsiyani belgilaydi x va y bundan vektorlarning
nuqta hosilasi deb nomlangan son x va y va belgilangan(x, y) buning uchun
quyidagi shartlar bajariladi:(x, y) \u003d (y, x);
(x + y, z) \u003d (x, z) + (y, z), bu erda z - berilgan chiziqli fazoga tegishli har
qanday vektor;(? X, y) \u003d? (x, y), qaerda ? - istalgan raqam;(x, x)? 0 va (x, x)
\u003d 0 x \u003d 0.Masalan, bitta ustunli matritsalarning chiziqli fazosida,
vektorlarning skalar ko'paytmasi

---

30
formula bo'yicha aniqlanishi mumkin
Evklid o'lchamlari maydoni n En-ni belgilang. e'tibor bering, bu cheklangan
va cheksiz o'lchovli Evklid bo'shliqlari mavjud.mTa'rif 2. X vektorining
uzunligi (moduli) evklid fazosida En deb nomlangan (x, x) va buni
quyidagicha belgilang: | x | \u003d (x, x) ... Evklid fazosidagi har qanday
vektoruzunlik bor va nol vektorda u nolga teng. Nolga teng bo'lmagan
vektorni ko'paytirish x raqam bo'yicha , biz vektorni olamiz , uzunligi bu
biriga teng. Ushbu operatsiya chaqiriladi me'yorlash vektor x.Masalan, bitta
ustunli matritsalar oralig'ida vektorning uzunligi quyidagi formula bilan
aniqlanishi mumkin:

---

31
5. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
X ga ruxsat bering? En va y? En - istalgan ikkita vektor. Keling, ular uchun
quyidagi tengsizlik mavjudligini isbotlaylik:(Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi)
Dalillar. Bo'lsinmi? - har qanday haqiqiy raqam. Bu aniq (? x? y,? x? y)? 0.
Boshqa tomondan, skalar mahsulotining xususiyatlari tufayli biz buni qila
olamizyozmoqTushundimUshbu kvadrat trinomialning diskriminanti ijobiy
bo'lishi mumkin emas, ya'ni. , qaerdan kelib chiqadi:Tengsizlik

---

32
isbotlangan.Uchburchak tengsizligiBo'lsin x va y Evklidlar makonining ixtiyoriy
vektorlari En, ya'ni. x? En va y ? En. Keling, buni isbotlaylik . (Uchburchak
tengsizligi).Dalillar. Bu aniq
Boshqa tomondan,. Koshi-
Bunyakovskiy tengsizligini hisobga olsak, biz olamiz Evklid kosmik normasi
Ta'rif 1 . Lineer bo'shliq? deb nomlangan metrikagar mavjud bo'lsa bu
bo'shliqning ikkita elementi x va y salbiy bo'lmagan tayinlanganraqammi? (x,
y) orasidagi masofa deb nomlangan x va y , (? (x, y) ? 0) vashartlar
(aksiomalar):
? (x, y) = 0 x = y
? (x, y) = ? (y, x) (simmetriya);
istalgan uch vektor uchun x, y va z bu joymi? (x, y) ? ? (x, z) + ? (z, y).
Izoh. Metrik bo'shliqning elementlari odatda nuqta deb ataladi.
Evklid kosmik En metrik va orasidagi masofa sifatida vektorlar x? En va y? En
olinishi mumkin x ? y.Masalan, bitta ustunli matritsalar oralig'ida, qaerda
Ta'rif 2 . Lineer bo'shliq? deb nomlangan
normallashtirilgan, agar a har bir vektor x bu bo'shliqdan, salbiy emas raqam
unga qo'ng'iroq qildi norma x... Bunday holda, aksiomalar bajariladi:
Normalashtirilgan bo'shliq metrik bo'shliq ekanligini ko'rish oson estom.
Darhaqiqat, orasidagi masofa x va y siz olishingiz mumkin. Evkliddabo'sh joy
har qanday x vektorning normasi sifatida? En uning uzunligi,o'sha. ...
Shunday qilib, Evklid kosmik En metrik makon va bundan tashqari, evklid
maydoni En - normalangan fazo. Vektorlar orasidagi burchak
Ta'rif 1 . Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak a va b Evklid
fazosidavlat E n

---

33
bu raqam Ta'rif 2 . Vektorlar x va y Evklidlar maydoni En deyiladi
ortogonzig'iragar ular tenglikni qondirsa (x, y) = 0.
Agar a x va y nolga teng, demak, ta'rifdan kelib chiqadiki, ular orasidagi
burchak
E'tibor bering, nol vektor ta'rifi bo'yicha har qanday vektor uchun ortogonal
hisoblanadi.Misol ... Geometrik (koordinatali) fazoda? 3, bu qaysi evklid
fazosining ma'lum bir hodisasi, birlik vektorlari men, jva k o'zaro
ortogonal.Ortonormal asos
Ta'rif 1. E1 asoslari Evklid fazosining En, e2, ..., enlari deyiladi ortogonzig'iragar
ushbu asosning vektorlari juftlik bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. agar a
Ta'rif 2 . Agar ortogonal asosning barcha vektorlari e1 bo'lsa, e2, ..., en birlikdir,
ya'ni. e i \u003d 1 (i \u003d 1,2, ..., n), keyin asos chaqiriladi ortonormal, ya'ni
uchunortonormal asos
-
Dalillar ... Keling, ishning teoremasini
isbotlaylik n = 3.E1, E2, E3 evklidlar fazosining ba'zi bir ixtiyoriy asoslari E3
bo'lsin Keling, ba'zi bir ortonormal asoslarni yarataylik bu bo'shliqda.Biz
qayerga qo'ydik ? - biz tanlagan ba'zi haqiqiy raqamlarshunday qilib (e1, e2)
\u003d 0, biz olamizva bu aniq? \u003d 0, agar E1 va E2 ortogonal bo'lsa,
ya'ni. bu holda e2 \u003d E2 va beri bu asosiy vektor.
(E1, e2) \u003d 0 ekanligini hisobga olsak, olamiz
Shubhasiz, agar e1 va e2 E3 vektori bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e3

---

34
\u003d E3 ni olish kerak. Vektor E3? 0 chunki E1, E2 va E3 chiziqli
mustaqil,shuning uchun e3? 0.Bundan tashqari, yuqoridagi mulohazalardan
kelib chiqadiki, e3 shaklda ifodalanishi mumkin emas e1 va e2
vektorlarining chiziqli birikmasi, shuning uchun e1, e2, e3 vektorlari chiziqli
mustaqilsimlar va juft-juft ortogonaldir, shuning uchun ularni Evklid asosiga
olish mumkinbo'shliq E3. Faqatgina qurilgan asosni normallashtirish qoladi,
buning uchun u etarliqurilgan vektorlarning har birini uzunligiga bo`ling.
Keyin olamiz evklidovy.html ©
Shunday qilib, biz asos yaratdik - ortonormal asos. Teorema isbotlangan.
O'zboshimchalik bilan ortonormal asosni yaratish uchun qo'llaniladigan usul
asos deyiladi ortogonalizatsiya jarayoni ... E'tibor bering, isbot paytidateorema,
biz juftlik bilan ortogonal vektorlar chiziqli ravishda mustaqil ekanligini
aniqladik. Bundan tashqariagar Enda ortonormal asos bo'lib, u holda har
qanday x vektor uchunmi? Enfaqat bitta parchalanish mavjudbu erda x1, x2, ...,
xn bu ortonormal asosda x vektorning koordinatalari.Chunki
keyin skalar tengligini (*) ga ko'paytiring , biz olamiz. Keyinchalik, biz faqat
ortonormal asoslarni ko'rib chiqamiz va shuning uchun ularni yozishning
soddaligi uchun asosiy vektorlar uchun yuqoridan nollar biz tashlab
ketamiz.Bunday vektor maydoniga mos keladi. Ushbu maqolada
boshlang'ich nuqta sifatida birinchi ta'rif olinadi.N (\\ displaystyle n)-
o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi E n, (\\ displaystyle \\ mathbb (E) ^ (n),)
yozuv ham tez-tez ishlatiladi (agar kontekstdan bo'shliq evklid tuzilishiga
ega ekanligi aniq bo'lsa).
3. Vektor makonining o'lchamlari va asoslari
Maydon ustida bir qancha vektorli bo'shliqni (V, M,
∘
) ko'rib chiqing R... V

---

35
to'plamining ba'zi elementlari bo'lsin, ya'ni. vektorlar.
Lineer birikma vektorlar maydonning ixtiyoriy elementlari tomonidan ushbu
vektorlar ko'paytmalarining yig'indisiga teng bo'lgan har qanday vektor deyiladi
R (ya'ni skalar bo'yicha):Agar barcha skalar nolga teng bo'lsa, unda bunday
chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz(eng oddiy) va.
Agar kamida bitta skalar nolga teng bo'lsa, chiziqli kombinatsiya chaqiriladi
ahamiyatsiz.Vektorlar deyiladi chiziqli mustaqilagar bu vektorlarning
ahamiyatsiz chiziqli birikmasi bo'lsa:Vektorlar deyiladi chiziqli bog'liqagar bu
vektorlarning kamida bitta ahamiyatsiz chiziqli birikmasi bo'lsa, unga
teng.Misol... Haqiqiy sonlarning to'rtburchaklarining tartiblangan to'plamlari
to'plamini ko'rib chiqing - bu haqiqiy sonlar maydoni bo'ylab vektor maydoni.
Topshiriq: Vektorlar mavjudligini aniqlang, va chiziqli bog'liq. ruQaror.Keling,
ushbu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz, bu erda noma'lum
sonlar. Ushbu chiziqli birikmaning nol vektorga teng bo'lishini talab
qilaylik.Ushbu tenglikda biz vektorlarni raqamlar
ustunlari shaklida yozamiz:
Agar bu tenglik saqlanadigan raqamlar mavjud bo'lsa va ularning kamida
bittasi nolga teng bo'lmasa, unda bu noan'anaviy chiziqli birikma va vektorlar
chiziqli bog'liqdir.Keling, quyidagilarni bajaramiz:

---

36
Shunday qilib, muammo chiziqli tenglamalar tizimini echishga qisqartiriladi:
Buni hal qilib, quyidagilarni olamiz:
Tizimning kengaytirilgan va asosiy matritsalarining saflari noma'lumlar soniga
teng va kamroq, shuning uchun tizim cheksiz echimlar to'plamiga ega.Keling,
keyin va.Shunday qilib, ushbu vektorlar uchun nolga teng bo'lmagan chiziqli
birikma mavjud, masalan, at, bu vektorlar chiziqli bog'liqligini anglatadi.Biroz
vektorlarning chiziqli bog'liqligi bilan bog'liq vektor fazoviy xususiyatlari:Agar
vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, unda ularning kamida bittasi boshqalarning
chiziqli birikmasidir.Agar vektorlar orasida nol vektor bo'lsa, u holda bu
vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Agar ba'zi vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, unda bu vektorlarning barchasi
chiziqli bog'liqdir.V vektor maydoni deyiladi p- o'lchovli vektor maydoniagar u
o'z ichiga olgan bo'lsa p chiziqli mustaqil vektorlar va ( p + 1) vektorlar chiziqli
bog'liq.Raqam p deb nomlangan vektor makonining o'lchamiva belgilanadi xira
(V) inglizcha "o'lchov" dan - o'lchov (o'lchov, o'lchov, o'lchov, o'lcham, uzunlik
va boshqalar).Yig'ish p chiziqli mustaqil vektorlar p-o'lchovli vektor maydoni
deyiladi asos.
Teorema (vektorning asos jihatidan kengayishi haqida): Vektorli makonning
har bir vektori asos vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi
mumkin (va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda).:

---

37
(*) Formulasi deyiladi vektorning parchalanishi asosida va raqamlar –
vektor koordinatalari shu asosda.Vektorli bo'shliq bir nechta yoki hatto
cheksiz ko'p asoslarga ega bo'lishi mumkin. Har bir yangi asosda bir xil
vektor turli koordinatalarga ega bo'ladi. Yangi asosga o'tish
Lineer algebrada, agar eski asosdagi koordinatalari ma'lum bo'lsa, ko'pincha
vektorning koordinatalarini yangi asosda topish muammosi paydo
bo'ladi.Ba'zilarini ko'rib chiqing p- maydon bo'ylab o'lchovli vektor maydoni (V,
+,) R... Bu makonda ikkita taglik bo'lsin: eski va yangi
Vazifa: vektor koordinatalarini yangi asosda toping.
Eski asosdagi yangi asos vektorlari parchalanishga ega bo'lsin:
Vektorlarning koordinatalarini matritsaga tizimda yozilganidek qatorlarda
emas, ustunlarda yozamiz:
Natijada paydo bo'lgan matritsa deyiladi o'tish matritsasi eski asosdan
yangisiga.
O'tish matritsasi har qanday vektorning eski va yangi bazalaridagi
koordinatalarini quyidagicha bog'laydi:

---

38
yangi asosda vektorning kerakli koordinatalari qaerda.Shunday qilib,
vektorning koordinatalarini yangi asosda topish masalasi matritsa
tenglamasini echishga kamayadi:, bu erda X - eski asosdagi vektor
koordinatalarining matritsa-ustuni, VA - eski asosdan yangisiga o'tish
matritsasi, X * - yangi asosda vektor koordinatalarining kerakli matritsa-ustuni.
Matritsa tenglamasidan quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, vektor koordinatalari yangi asosda tenglikdan topilgan:
Misol. Ma'lum bir asosda vektor kengayishlari berilgan:Vektorning
koordinatalarini asosda toping.
Qaror.Yangi asosga o'tish matritsasini yozamiz, ya'ni qadimgi asosdagi
vektorlarning koordinatalari ustunlarga yoziladi:
Matritsani toping VA –1:
Vektorning koordinatalari qaerda ko'paytirilishini bajaring:
Javob:

---

39
Xulosa
Bu tushuncha orqali sanoatda tayyor mahsulotni olish uchun bajariladigan
ishlarning ketma – ketligi haqidagi hujjat, ta‘limda esa fan bo’yicha uslubiy
tadbirlar majmuasi tushuniladi. Pedagogik texnologiyada asosiy yo’l aniq
belgilan-gan maqsadlargaqaratilganlik, ta‘lim oluvchi bilan muntazam
o’zaro aloqani o’rnatish, pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi
hisoblangan ta‘lim oluvchining xatti – harakati orqali o’qitishdir. O’zaro
aloqa pedagogik texnologiya asosini tashkil qilib, o’quv jarayonini to’liq
qamrab olish kerak. Pedagogik texnologiyada nazarda tutiladigan
maqsadlarni qo’yish usuli,o’qitish maqsadlari o’quvchilar harakatida
ifodalanadigan va aniq ko’rinadigan hamda o’lchanadigan natijalar orqali
belgilanadi. Maqsadlar o’qituvchining faoliyatidan kelib chiqqan holda
o’rgatish, tushuntirish, ko’rsatish, aytib berish va hokazo atamalar orqali
qo’yila-di.

---

40
Foydalangan adabiyotlar
1.И.А.Каримов. Баркамолавлод – Ўзбекистон тараққиётининг
пойдевори. Тошкент:-1998
2. Ўзбекистон Республикасининг Кадрлар тайёрлаш миллий дастури.
Тошкент: 1997.
3. Kulikov. L. Ya. Nazarov. R.N Algebra va nazariyasi.
www.ziyonet.uz
www.hozir.org
www.fayllar.org
www.aim.uz