Maktab, akademik litsey, kasb-hunar kollejlari matematikasida Evklid vektor fazolar

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARGO’NA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
20.05-GURUH MATEMATIKA YO'NALISHI TALABASI
BORONBOEV SHOHJAHONNING
Algebra va sonlar nazariya fanidan
TAYYORLAGAN
KURS ISHI
Mavzu: Maktab, akademik litsey, kasb-hunar kollejlari matematikasida Evklid vektor fazolar.

Bajardi__________________Sh. Boronboev

Qabul qildi______________

Farg’ona-2021

Mundarija
I.Kirish………………………………………………………………………4
II.Asosiy qism ………………………………………………………………4
1. Vektor fazo haqida tushuncha……………………………….…………. 11
2. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha……………………….………..15
3 Fazodagi koordinatalar metodi…………………………….……………..25
4. Evklid fazosining ta'rifi…………………………………...……………..30
5. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ……………………………….………..31
V. Xulosa……………………………………………..…………………40
VI. Foydalangan adabiyotlar……………………………………………41

REJA;
I.Kirish

II.Asosiy qism
1. Vektor fazo haqida tushuncha
2. Evklid vektor fazolar haqida tushuncha
3 Fazodagi koordinatalar metodi
4. Evklid fazosining ta'rifi
5 Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi
V. Xulosa
VI. Foydalangan adabiyotlar

Kirish
Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb, ertangitaqdirmizni hal qiluvchimuammoga aylanmoqda. Jamiyatimizning yangilanishi, hayotimiz taraqqiyoti va istiqboli, amalga oshirilayotgan islohotlar rejasining samarali taqdiri – bularning barchasi, avvalombor, zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutahassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog'liq.

Shu bois mamlakatimizning istiqlol yo'lidagi birinchi qadamidanoq ma'naviyatimizni yuksaltirish, ta'lim-tarbiya tizimini takomillashtirish, unuing milliy zaminini mustahkamlash, zamon talablari bilan uyg'unlashtirish asosida jahon andozalari va ko'nikmalari darajasiga chiqarishga katta ahamiyat berilmoqda.
Mustaqil O'zbekiston o'z xalqi tanlab olgan yo'l – ochiq, erkin bozor iqtisodiyotiga asoslangan odil jamiyat, kuchli demokratik huquqiy davlat qurish yo'lidan bosqichma-bosqich olg'a bormoqda. Davlatimiz oldida turgan g'oyatda muhim vazifalar – mamlakatni ijtimoiy va iqtisodiy jihatdan isloh qilish, iqtisodiy munosabatlarni demokratiyalash, kelajak poydevori bo'lmish yuksak ma'naviyatimizni rivojlantirishdan, ta'lim-tarbiya tizimi shakli va mazmunini tubdan isloh qilib o'zgartirish, uni yangi zamon darajasiga ko'tarishdan iborat. Buning uchun muqaddas zaminda yashayotgan har qaysi inson Vatan istiqboli, uning ravnaqi va kelajagi uchun kurashishi lozim. Mustaqil mamlakatimizga mustaqil fikrlaydigan ijodkor kadrlar zarur.
Mustaqil fikrlaydigan, o'z bilimlarini hayotga tadbiq eta oladigan ijodkor kadrlarni tayyorlash maktabdan boshlanadi. Birinchi Prezidentimiz I.A.Karimov ta'kidlaganlaridek, «O'qituvchi va o'quvchi mimosabatlaridagi majburiy itoatkorlik o'rninini ongli intizom egallashi juda qiyin kechayapti. O'qituvchining bosh vazifasi o'quvchilarda mustaqil fikr yuritish ko'nikmalarini hosil qilishdan iboratligini ko'pincha yaxshi tushunamiz, lekin, afsuski, amalda tajribamizda unga rioya qilmaymiz»
Huquqiy demokratik davlatda o'quvchilar, umuman olganda har bir jamiyat a'zosi erkin fikrlaydigan qilib tarbiyalanadi. Zero, «Agar bolalar erkin fikrlashni o'rganmasa, berilgan ta'lim samarasi past bo'lishi muqarrar.Albatta, bilim kerak.Ammo bilim o'z yo'liga. Mustaqil fikrlash ham katta boylikdir»
Darhaqiqat, bugungi bozor iqtisodiga o'tish jarayonida yaxshi kasbiy tayyorgarlikka ega bo'lgan, mustaqil fikrlaydigan yoshlarga ehtiyoj sezilmoqda. Bizning tadqiqotimizda maktab o'quvchilarining mustaqil fikr yuritib, olgan nazariy bilimlarini kelgusi hayotga tadbiq qila oladigan darajadagi ta'lim berishning jihatlari qarab chiqildi.
Matematika o'quv fani sifatida, o'quvchilarning tadqiqiy ko'nikmalarini shakillantirishda alohida xususiyatga ega. Har bir matematikning faoliyati masala yechishga keltiriladi va barcha nostandart masalalarni yechish va tadqiqiy faoliyat hisoblanadi.
Hozirgi zamon matematikning amaliy faoliyatga chuqur kirib borishi, uni fan-tehnika va iqtisodda qo'llanishi bilan xarakterlanadi. Boshqacha aytganda, matematika amaliy masalalarni yechishda metodalogik asos bo'lib qoldi.Shu bilan birga masalalar yechishda matematikadan tadqiqiy ko'nikma va malakalarni shakllantirmasdan turib, foydalanish mutlaqo mumkin emas. Tadqiqiy bilim, amaliy ko'nikma va malakalar matematikaning nazariy qurilishi bilan uning amaliy muamolarini bog'laydi. Matematik tushunchalarning asosiy negzini tasvirlaydi, amaliy masalalarni yechishda matematikani qo'llash vositasi bo'lib hizmat qiladi. Bu esa, hozirgi paytda tadqiqiy ko'nikmalarning ummumta'lim va umummadaniy qimmatga ega ekanligini ko'rsatadi.
Jamiyatimizning tez sur'artlar bilan rivojlanishi, xalqimizning milliy qadriyatlari, an'analarining tiklanishi, ijtimoiy va iqtisodiy munosabatlarning takomillashishi xalq ta'limi tizimiga murakkab vazifalarni yukladi. Davlat rahbariyatining tinimsiz g'amxo'rligi va fidoiyligi, xalq ta'limi tizimidagi qayta qurishlar va o'zgarishlar ham izlanishlarimizning izchilligidan dalolat berib turadi. Shu bilan birga jamiyatimizning rivojlanishini, siyosiy tizim barqarorligi hamda bozor iqtisodiyotiga o'tishning boshqarib borilishi, xalqimizning ma'naviy va ma'rifiy saviyasi madaniyatning rivojlanishi, hozirgi kunda matematika ta'limiga bo'lgan talab va ehtiyojning kundan- kunga orib borishi noan'anaviy shakldagi talablarni o'qitish tizimi oldiga asosiy maqsad qilib qo'yadi.
Bugun ana shunday mushtarak maqsadlarimizni amalga oshirish, mustahkam qaror toptirish va rivojlantirish uchun istiqlol sharofati tufayli qulay muhit yaratdi.
Ushbu bitiruv malakaviy ishi kirish,ikki bob va to’rtta paragrafdan iborat bo’lib,birinchi va ikkinchi paragraflarida chiziq hamda ikkinchi tartibli egri chiziqlarni kanonik tenglamalari o’rganilgan.
Ikkinchi bobni birinchi paragrafida ikkinchi tartibli egri chiziqni invariantlari haqida ma’lumotlar keltirilib,bu invariantlar uchun formulalar keltirib chiqarilgan.Ikkinchi paragrafida esa ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamalari invariantlar yordamida soddalashtirilib tenglama koeffitsientlari invariantlar orqali ifodalangan.
Har bir paragraf oxirlarida mavzularga doir misollar keltirilib ularni yechish usullari ko’rsatilgan.
Kurs ishining dolzarbligi. O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2012-yil 28-maydagi ―Malakali kadrlar tayyorlash hamda o‘rta mahsus kasb hunar ta‘limi muaasalarini shunday kadrlar bilan ta‘minlash yanada takomillashtirishga oid chora tadbirlar to‘g‘risida‖gi qarori ta‘lim mazmunini uning samaradorligini yanada yaxshilashga qaratilgan. Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan o‘rta maxsus kasb-hunar kollejlari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta‘lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish va tayyorlanayotgan o‘rta bo‘gin mutaxasislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Ushbu vazifalarning samarali bajarilishining asosiy omili o‘quv vositalaridir. Ta‘lim vositalari svilizatsiyaning ajralmas qismi umuminsoniy madaniyatning muhum elementi hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir. Shiddatli axboratlashuv jarayoni amalga oshib borayotgan hozirgi davrda har bir soha kishisi zamon bilan hamnafas ravishda innovatsion tehnalogiyalarga, innovatsion vositalarga murojaat qilishiga to‘g‘ri kelmoqda shu jumladan matematika fani ham bunday oqimdan chetda qolayotgani yo‘q. O’zbekiston Respublikasi taraqqiyotida halqning boy ma‘naviy salohiyati va umuminsoniy qadriyatlarga hamda hozirgi zamon madaniyati, iqtisodiyoti, ilmi, texnikasi va texnologiyasining so’nggi yutuqlariga asoslangan mukammal ta‘lim tizimini barpo etish dolzarb ahamiyatga ega. Ma‘lumki, kadrlar tayyorlash milliy dasturida ilg’or pedagogic texnologiyalarni joriy qilish va o’zlashtirish zarurligi ko’p marta takrorlanib yangi pedagogik va axborot texnologiyalardan foydalanib, talabalarni o‗qitishni jadallashtirish ko‗zda tutilgan.Pedagogik texnologiyaga UNESCO ning bergan ta‘rifini keltiramiz: Pedagogik texnologiya – bu butun o’qitish va bilimlarni o’zlashtirish jarayonida o’z oldiga ta‘lim shakllarini samaradorlashtirish vazifasini qo’yuvchi texnik hamda shaxs resurslari va ularning o’zaro aloqasini hisobga olib, bilimlarni yaratish, qo’llash va belgilashning tizimli usulidir‖. Bu ta‘rifdagi 4 asosiy tushuncha tizimli usul‖ bo’lib, aynan tizimli yondashuv pedagogik texnologiyaning, o‗qitishga boshqa yondashuvlardan farqlanuvchi asosiy belgisi hisoblanadi. Ta‘lim maqsadlari, uning mazmuni, o’qitish va ta‘lim berish usullari, nazorat va natijalarni baholashni o’zaro bog’liklikda loyihalash ko’pincha an‘anaviy o‗quv jarayonida yetishmaydigan narsadir.Jaxon pedagogika fani ilmiy – texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib, psixologiya, kibernetika, tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar yutuqlarini birlashtirib, hozirgi davrda faol yangilanish innovatsiya jarayonlari bosqichida turar ekan, inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish amaliyotiga boy mahsul bermoqda. Pedagogik texnologiya usullari dastlab o’qitishning harakatini namunaviy vaziyatdagi belgilangan qoida bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan mahsuldor darajasi uchun ishlab chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning zaruriy tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg‗argan tajribani aniq o‗quv fani doirasida o‗zlashtirish bilan bog’liq. Ta‘lim oluvchilarda bilim va ko‗nikmalarning ma‘lum poydevori‖ hosil qilingandan keyingina ta‘limning natijali va ijodiy yondashish usullariga ko‗chish mumkin.Pedagogik texnalogiya oqimi 70-80 yillarda AQSh da yuzaga keldi va UNESCO kabi nufuzli tashkilot tomonidan tan olindi va qo‗llab – quvvatlandi va hozirgi kunda ko‗pgina mamlakatlarda muvaffaqiyatli o‗zlashtirilmoqda. Malumki, tubdan farq qiluvchi uchta talim turlarini ajratish mumkin. Bular: ogzaki- ko‗rgazmali, texnologik va izlanuvchan-ijodiy ta‘lim turlari hisoblanadi. 1. Ogzaki – korgazmali an‘anaviy bo’lib, o’qituvchining axborot berishi, talabalarning bilimlarni qabul qilishi, to‗plashi va xotirasida saqlashi bilan belgilanadi. Ta‘limda ogzaki-ko’rgazmali yondashuv juda katta tajribaga ega bo‗lib, qismlarga ajratib ishlab chiqilgan va ta‘lim tizimida ulkan xizmat ko‗rsatdi.Jadal suratlar bilan o’sib borayot-gan fan va texnika talablari, ta‘lim tizimidagi istlohatlar, raqobotbardosh kadrlar tayyorlash, shaxsni rivojlantirish, uning ma‘lumot olish istaklarini to’laroq qondirishga bo‗lgan jamiyat ehtiyojlari o‗qitish usullariga yangicha yondashishni talab qilmoqda. Ta‘limga texnologik yondashuvning umumiy tavsifnomasi qismlarga ajratilmagan holda, ta‘limning juda oddiy mahsuldor darajasi sifati misolida qaraladi. O’quv ishlari yuqori natijalarga erishishga qaratilgan bo’lib, yo’naltirilganlik, mashg’ul bo’lish, musobaqalashish va o’zaro yordamlashish tushunchalari mavjud bo’ladi. 3. Izlanuvchan yondashuvdagi maqsad, talabalarda muammoni hal etish, yangi, oxirigacha tugallanmagan tajribani o’zlashtirish, ta‘sir etishning yangi yo’llarini yaratish qobiliyatlarini, shaxsiy idrokni rivojlantirishdan iboratdir. Izlanuvchan ta‘lim andozasining ta‘lim mazmuni, tabiat va jamiyat bilan o‗zaro ta‘siri natijasida shaxsda tadqiqotchilik va jadal ijodiy xarakterli faoliyat yo‗li boshlanadi. O‗quv jarayonining texnologik shakl modeli va uning amaliy tadbiqi yangilik xususiyatiga ega bo‗lib, an‘anaviy ta‘limni qayta shakllantiradi. Bu tushuncha orqali sanoatda tayyor mahsulotni olish uchun bajariladigan ishlarning ketma – ketligi haqidagi hujjat, ta‘limda esa fan bo’yicha uslubiy tadbirlar majmuasi tushuniladi. Pedagogik texnologiyada asosiy yo’l aniq belgilan-gan maqsadlargaqaratilganlik, ta‘lim oluvchi bilan muntazam o‗zaro aloqani o’rnatish, pedagogik texnologiyaning falsafiy asosi hisoblangan ta‘lim oluvchining xatti – harakati orqali o’qitishdir. O’zaro aloqa pedagogik texnologiya asosini tashkil qilib, o’quv jarayonini to’liq qamrab olish kerak. Pedagogik texnologiyada nazarda tutiladigan maqsadlarni qo’yish usuli,o’qitish maqsadlari o’quvchilar harakatida ifodalanadigan va aniq ko‗rinadigan hamda o‗lchanadigan natijalar orqali belgilanadi. Maqsadlar o‗qituvchining faoliyatidan kelib chiqqan holda o‗rgatish, tushuntirish, ko‗rsatish, aytib berish va hokazo atamalar orqali qo‗yila-di. O‗quvchining harakatlarida ifodalanadigan vazifalar esa ta‘limining natijalarda ifodalanadi. Natija, talabaning tugallangan xatti –harakatini ifodalovchi keltirib chiqaring, sanab o‗ting, so‗zlab bering tanlang, ko‗rsatib bering, hisoblang kabi atamalar bilan ifodalanishi kerak.Shunday qilib, an‘anaviy o‗quv jarayonlarida asosiy 6 omil – bu pedagog va uning faoliyati hisoblansa, pedagogik texnologiyada birinchi o‗ringa o‗qish jarayonidagi o‗quvchilarning faoliyati qo‗yiladi. Har bir vazifa raqamlanib, u bitta natijani ko‗zlashi lozim. Har bir vazifani shunday qo‗yish kerakki, u o‗qituvchining o‗tadigan darsining bosqichlarini emas, balki, talabaning o‗zini keyin qanday tutishi kerakligiga ishora qilsin. Ma‘lumki, ilg‗or texnologiyalarni qo‗llashda asosiy e‘tibor loyihalash bosqichiga qaratiladi, bunday tizimli yondoshuv asosida o‗quv jarayonini loyihalash, kutilayotgan natija shaklidagi o‗quv maqsadlarini mumkin qadar aniqlashtirish, rejalashtirilgan o‗quv maqsadlariga kafolatli erishishga undaydi. Biz ushbu mavzuda matematika sohasi uchun innovatsion vositalar bilan tanishib chiqamiz. Kurs ishining maqsadi: Innovatsion pedagogika asoslarini va innovatsion ta‘lim jarayonini , maktabda matematikani o‘qitishning innovatsion vositalarini o‘rganishdan iborat. Kurs ishining obyekti: O‘zbekistondagi barcha ta‘lim muassasalarida matematikani o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti: Innovatsion ta‘lim muhiti mazmuni, metodlari va innovatsion muhitni shakllantiruvchi vositalar. Kurs ishining vazifalari: Mavzuga doir manba topish, axborotlarni tartiblash, rejani shakllantirish; Innovatsion pedagogik faoliyatni o‘rganish; Innovatsion ta‘lim jarayoni, shakl, metod, vositalarini o‘rganish; Innovatsion ta‘lim muhitini o‘rganish;

1. Vektor fazolar va ularning xossalari

Bizga to’plam berilgan bo’lsin. Ixtiyori e’lementlarga ularning yig’indisi deb, ataluvchi elementni mos qo’yib uning ko’rinishda belgilab olamiz. Shuningdek, ixtiyoriy sonini elementga ko’paytmasi sifatida elamentni mos qo’yamiz va uni ko’rinishda belgilaymiz
1-ta’rif. Agar to’plamda aniqlangan qo’shish va songa ko’paytirish amallari qo’yidagi shartlarni qanoatlantirsa , to’plam vector fazo deyiladi.
1 (kommumtativ sharti)
2. ( Asosiativlik sharti)
3. Shunday element mavjud bo’lib, har qanday uchun, bu yerdagi 0 element nol element deyiladi.
4. Har qanday uchun bilan belgilanadigan shunday element mavjud bo’lib. To’plamlar birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi, simmetrik ayirmasi; Dekart ko’paytma, refleksiv, simmetrik, tranzitiv munosabatlar; funksiyalar kompozitsiyasi; ekvivalentlik, tartib munosabatlari. Binar algebraik amallarning xossalari, neytral, simmetrik elementlar, kongruensiya; algebra, algebralar gomomorfizmi, algebraosti, faktor-algebra; gruppa, gruppalar gomomorfizmi; halqa, halqalar gomomorfizmi; butunlik sohasi, jism, maydon, maydonlar gomomorfizmi. Matematik induksiya prinsipi; butun sonlar halqasi; ratsional sonlar maydoni; haqiqiy sonlar maydoni; kompleks sonlar maydoni; kompleks son moduli, ko’shmasi; kompleks sonni trigonometrik shaklga keltirish; Muavr formulalari; kompleks sondan ildiz chiqarish; algebraik sistemalar gomomorfizmi. Vektorlar chekli sistemalarini chiziqli bog’liq, chiziqli erkliligi; vektorlarning chekli sistemalarining ekvivalentligi; vektorlar chekli sistemasining bazisi va rangi; Chiziqli tenglamalar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi, natijasi, teng kuchli sistemalar; Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini tahlil qilish; bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining fundamental sistemasi; noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish. Matritsalarni qo’shish, skalyarni matritsaga ko’paytirish, matritsalarni ko’paytirish, transponirlash; teskari matritsani topish; n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini matritsali tenglamaga keltirish va yechish. O’rniga qo’yishlar gruppasi; juft-toqligi, ishorasi; determinantni hisoblash; minorlar va algebraik to’ldiruvchilar yordamida teskari matritsani, matritsa rangini topish; Kramer formulalari yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish. Vektorlar to’plamining chiziqli qobig’i; fazoostilar va ularning kesishmasi, yig’indisi, to’g’ri yig’indisi; vektor fazo bazisi va o’lchovi; vektor fazolar izomorfizmi; skalyar ko’paytmali vektor fazolar; vektorlarning ortogonal sistemasi; fazoostining ortogonal to’ldiruvchisi; vektor normasi, Yevklid fazosining ortonormal bazisi; Yevklid fazolar izomorfizmi. Chiziqli akslantirish va chiziqli operatorlar; chiziqli akslantirishlar ustida amallar; chiziqli operator yadrosi va aksi (obrazi); chiziqli operator matritsasi; x va ф(x) vektorlar ustun koordinatalari orasidagi bog’lanish; vektorning turli bazislarga nisbatan ustun koordinatalari orasidagi bog’lanish; teskarilanuvchi chiziqli operatorlar; chiziqli operatorlar va matritsalar chiziqli algebralari orasida izomorfizm; chiziqli operatorning xos vektorlari va xos qiymatlari. Chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish usullari; teng kuchli tengsizliklar sistemasi; qavariq konus; chiziqli tengsizliklar sistemasining natijasi. Butun sonning tub ko’paytuvchilarga yoyilmasi; qoldiqli bo’lish; natural son natural bo’luvchilarining soni va yig’indisi; Yevklid algoritmi; eng katta umumiy bo’luvchi va eng kichik umumiy bo’linuvchini 2 usul bilan topish; chekli zanjir kasrlar, munosib kasrlar. Chegirmalarning to’la va keltirilgan sistemalari; berilgan sonning Eyler funksiyasi; birinchi darajali taqqoslamalarni yechish usullari; tub modul bo’yicha yuqori darajali 2 taqqoslamalar va ularni soddalashtirish; berilgan sonning ko’rsatkichini topish; tub modul bo’yicha boshlang’ich ildizlar; tub modul bo’yicha indekslar, ularning tatbiqlari; ikki hadli taqqoslamalarni yechish. Ko’phad darajasini aniqlash; ko’phadlar ustida amallar; ko’phadni x-c ikkihadga bo’lish; ko’phadni qoldiqli bo’lish; Gorner sxemasi; ko’phadni keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyish; karrali ildizlarni aniqlash; ko’phadlar eng katta umumiy bo’luvchi va eng kichik umumiy bo’linuvchisini topish; Yevklid algoritmi; ko’phadni x-c ikkihad darajalari bo’yicha yoyish. Viyet formulasi yordamida tenglamalarni yechish; haqiqiy sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan ko’phadlar; uchinchi darajali tenglamalarni yechish; haqiqiy koeffitsientli ko’phad mavhum ildizining qo’shmaligi; Shturm ko’phadlar sistemasi. Ko’phadning butun va ratsional ildizlarini topish; Eyzenshteynning keltirilmaslik kriteriyasi; maydonning oddiy kengaytmasini qurish; algebraik elementning minimal ko’phadini aniqlash; maydonning oddiy algebraik kengaytmasini qurish; maydonning chekli va murakkab kengaytmalari; uchinchi darajali tenglamalarning kvadrat radikallarda yechilishi. Halqaning karali kengaytmasini qurish. Ko’phadlar halqalarining izomorfizmi. Ko’phadning normal ifodasi. Ko’phad darajasi va uning xossalari. Ko’p o’zgaruvchili ko’phadlarni keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyish. Berilgan ko’p o’zgaruvchili ko’phadni simmetrik ko’phadga aylantirish. Simmetrik ko’phadni elementar simmetrik ko’phadlar yordamida ifodalash. Ikki ko’phad rezultanti. Ko’phad rezultanti. Yuqori darajali tenglamalar sistemasini rezultant yordamida yechish. Mulohazalar ustida mantiq amallari. Formula turini aniqlash. Formulaning rostlik qiymati. Formulalarning teng kuchliligini isbotlash. Ikki qiymatli funksiyalarni mulohazalar algebrasining formulalari orqali ifodalash. Normal forma, mukammal diz’yunktiv normal forma (MDNF) va mukammal kon’yunktiv normal forma (MKNF)ni hosil qilish. Ikkilik prinsipi va ikkilik qonuni yordamida qo’shma formulalarni hosil qilish. Funksiyalarning to’liq sistemasi. Aksiomalar va keltirib chiqarish qoidalari yordamida formulalarning keltirib chiqariluvchiligini isbotlash. Gipotezalardan keltirib chiqarish. Deduksiya teoremasini qo’llash. Formulalarda teng kuchli almashtirishlar bajarish. Teng kuchli formulalarni isbotlash. Formulani normal formaga keltirish. Predikatning rostlik sohasi. Matematik tasdiqlarni predikatlar algebrasining tilida ifodalash. Predikatli formulalarning teng kuchliligini isbotlash. Keltirilgan formani hosil qilish. Predikatlar algebrasining formulasini umumqiymatli, bajariluvchiligini aniqlash. Aksiomalardan keltirib chiqarish qoidalari. Predikatlar hisobi uchun hosilaviy keltirib chiqarish qoidalari. Ba’zi tavtologiyalarning isboti. Algoritmga misollar. Algoritmning xossalarini tekshirish. Qismiy rekursiv funksiyalar. Qismiy rekursiv funksiyalarni Tyuring mashinalarida hisoblash. Umumrekursiv funksiyalar. Algebra, algebraik sistema kengaytmasini qurish. Berilgan algebra, algebraik sistemalar orasida gomomorfizm va izomorfizm o’rnatish. Natural sonlar aksiomatik nazariyasi aksiomalari yordamida natural sonlarni qo’shish va ko’paytirishning xossalarini isbotlash. Butun sonlar, ratsional sonlar, haqiqiy, kompleks sonlar xossalarini isbotlash. Chekli rangli chiziqli algebralarga doir misollar tuzish. Kvaternionlar to’plamining chiziqli algebra tashkil etishini isbotlash. Vektorlar va ular ustidagi amallar, vektorlarning chiziqli boqliqligi. Tekislikdagi koordinata metodi. Tekislikdagi to’g’ri chiziq. To’g’ri chiziqning turli berilish usullari. Tekislikning almashtirishlari. Tekislikdagi xarakatlar. O’xshash almashtirishlar. Gomotetiya. Tekislikdagi affin almashtirishlar. Ikkinchi tartibli chiziqlar. Ellips, giperbola, parabolani kanonik tenglamasi yordamida taqlil qilish.