Маьруза. Чизиқсиз моделлар ҳамда уларни ечиш

МАЬРУЗА. ЧИЗИҚСИЗ МОДЕЛЛАР ҲАМДА УЛАРНИ ЕЧИШ
Режа:

1. 
   Транцендент тенгламалар ва уларнинг ва уларнинг ечими жойлашган оралиқларни аниқлаш.
   
2. 
   Берилган оралиқдаги илдизнинг тақрибий қийматини берилган аниқликда ҳисоблаш.
   

3. Оралиқни тенг иккига бўлиш усули.
4. Ватарлар усули.
5. Уринмалар усули.
Баъзи бир инженерлик масалаларнинг математик модели чизиқсиз ёки транцендент тенглама ёки уларнинг системаларини ечишга келтирилади. Бу тенгламаларнинг ечимини хар доим хам аналитик кўринишда тасвирлаш имкони бўлавермади. Шу сабабли уларни ечиш учун бир қатор тақрибий сонли ечиш усуллари ишлаб чиқилган. Шулардан айримлари билан танишиб чиқамиз.
Фараз қилайлик, бизга чекли оралиқда аниқланган ва узлуксиз функия берилган бўлиб, унинг биринчи ва иккинчи тартибли хосилалари шу оралиқда мавжуд бўлсин. Шу билан бирга да (функциянинг биринчи тартибли хосиласи) ўз ишорасини сақласин.
(1)
(1) тенглама оралиқда ягона ечимга эга бўлиб, бу ечимни берилган аниқликда топиш талаб қилинган бўлсин. Бу тенгламани тақрибий ечиш усулларидан баъзилари билан танишиб чиқамиз.
О ралиқни тенг иккига бўлиш усули. оралиқни нуқта орқали иккита тенг ва оралиқларга ажратамиз. Агар бўлса, (1) тенгламанинг  аниқ-
ликдаги тақрибий ечими бўлади. Бу шарт
бажарилмаса, ва оралиқлардан
(12) тенглама илдизи жойлашганини танлаб
оламиз ва уни деб белгилаймиз. нуқта ёрдамида оралиқни иккита тенг ва оралиқларга ажратамиз. бўлса, (1) тенгламанинг аниқликдаги тақрибий ечими бўлади, акс холда ва оралиқлардан (1) тенглама илдизи жойлашганини танлаб оламиз ва уни деб белгилаймиз. Бу оралиқ учун юқоридаги бажарилган хисоблашлар кетма-кетлигини шарт бажарилгунча давом эттирамиз. Натижада (1) тенгламанинг тақрибий ечимини хосил қиламиз.
Мисол. тенгламанинг оралиқдаги илдизини аниқликда хисобланг.
Ечиш. 7- қадамда ва бўлиб, шарт бажарилади.
(жавоб: =-1,73(0,01)).
Ватарлар усули. Аниқлик учун бўлсин. ,
нўқталардан тўғри чизиқ ўтказамиз
ва бу тўғри чизиқни ўқи билан кесишиш
нўқтасини деб
белгилаймиз. Агар бўлса, (12) тенгламанинг аниқликдаги тақрибий ечими бўлади. Бу шарт бажарилмаса, деб оламиз. нўқталардан тўғри чизиқ ўтказамиз ва унинг ўқи билан кесишиш нўқтасини деб оламиз. Агар шарт бажарилса, (12) тенгламанинг аниқликдаги тақрибий ечими бўлади, акс холда деб олиб, юқоридаги амаллар кетма-кетлигини шарт бажарилгунча давом эттирамиз. Натижада (1) тенгламанинг тақрибий ечимини хосил қиламиз.
ларнинг кетма-кет хисоблаш формуласи қуйидаги кўринишга эга бўлади:
.
Мисол. тенгламанинг оралиқдаги илдизини аниқликда хисобланг.
Ечиш. тақрибий ечимлар учун бажарилади. Демак, тақрибий ечим сифатида бундан ни олиш мумкин.
Уринмалар усули. ораликда ва нинг ишоралари ўзгармасдан қолсин. функция графигининг нўқтасидан уринма ўтказамиз. Бу уринманинг ўқи билан кесишган нўқтасини деб белгилаймиз. функция графигининг нўқтасидан яна уринма ўтказамиз ва бу уринманинг ўқи билан кесишган нўқтасини деб белгилаймиз. Бу жараённи бир неча марта такрорлаб, ларни хосил қиламиз. шарт бажарилганда хисоблаш тўхтатилади. Уринмалар усули бўйича тақрибий ечим
,
формуладан аниқланади.
Мисол. тенгламанинг оралиқдаги илдизини аниқликда хисобланг.
Ечиш. Топилган , лар учун шарт бажарилади. Демак
Оддий итерация усули. (1) тенглама кўринишдаги тенг кучли тенгламага алмаштирилади. Дастлаб тақрибий илдиз танлаб олинади ва

формула ёрдамида кетма-кетлик хосил қилинади. шарт бажарилса киймат тенгламанинг аниқликдаги тақрибий илдизи деб юритилади.
Саволлар:

1. 
   Чизиқсиз ёки транцендент тенглама тушунчаси.
   
2. 
   Чизиқсиз тенглама ечимининг мавжудлик шарти.
   
3. 
   Оралиқни тенг иккига бўлиш усули ва унинг алгоритми.
   
4. 
   Ватарлар усули ва унинг алгоритми.
   
5. 
   Уринмалар усули ва унинг алгоритми.